冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题:11基本不等式及其应用(含解析).pdf
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1、专题 11 基本不等式及其应用专题 11 基本不等式及其应用 【自主热身,归纳总结】【自主热身,归纳总结】 1、已知 a0, b0,且 ,则 ab 的最小值是_ 2 a 3 b ab 【答案】:【答案】:2 6 【解析】 利用基本不等式,化和的形式为积的形式 因为 2,所以 ab2,当且仅当 时,取等号ab 2 a 3 b 2 a 3 b 6 2 a 3 b 6 2、已知正数, x y满足22xy,则 8xy xy 的最小值为 【答案】9 【解析】: =9 3、已知正实数x,y满足,则x y 的最小值为 【答案】: 2 63 4、已知a,b为正数,且直线 axby60 与直线 2x(b3)y5
2、0 互相平行,则 2a3b的最小值为 _ 【答案】25 【解析】 : 由于直线axby60 与直线 2x(b3)y50 互相平行, 所以a(b3)2b, 即 1(a,b 2 a 3 b 均为正数),所以2a3b(2a3b)136136225(当且仅当 即ab5 ( 2 a 3 b) ( b a a b) b a a b b a a b 时取等号) 5、已知正实数, x y满足,则xy的最小值为 【答案】8 【解析】:因为,0x y ,所以10y 又因为,所以10x ,所以 ,当且仅当 ,即5,3xy时等号成立 易错警示 易错警示 在应用基本不等式时,要注意它使用的三个条件“一正二定三相等” 另
3、外,在应用基本不等式 时,要注意整体思想的应用 6、设实数x,y满足x22xy10,则x2y2的最小值是_ 【答案【答案】 51 2 思路分析 1 注意到条件与所求均含有两个变量,从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有 一个变量的函数,从而求它的最小值注意中消去y较易,所以消去y. 解法 1 由x22xy10 得y,从而x2y2x2 2 2 ,当且仅 1x2 2x( 1x2 2x) 5x2 4 1 4x2 1 2 5 16 1 2 51 2 当x时等号成立 4 1 5 思路分析 2 由所求的结论x2y2想到将条件应用基本不等式,构造出x2y2,然后将x2y2求解出来 解法 2 由x
4、22xy10 得 1x22xymx2ny2, 其中mn1(m,n0), 所以(m1)x2ny21, 令m1n, 与mn1 联立解得m,n,从而x2y2. 51 2 51 2 1 51 2 51 2 7、若正实数x y,满足1xy,则 4 y xy 的最小值是 【答案】 、8 【解析】: 因为正实数x y,满足1xy, 所以 ,当且仅当 4yx xy ,即2yx,又1xy,即, 等号成立,即 4 y xy 取得最小值8. 8、若实数x,y满足xy3x3,则 的最小值为_ (0x 1 2) 3 x 1 y3 【答案】: 8 解法 1 因为实数x,y满足xy3x3,所以y 3(y3), (0x 1
5、2) 3 x 所以 y3y36268,当且仅当y3,即y4 时 3 x 1 y3 1 y3 1 y3 y3 1 y3 1 y3 取等号,此时x ,所以 的最小值为 8. 3 7 3 x 1 y3 解法 2 因为实数x,y满足xy3x3,所以y 3(y3),y3 60, (0x 1 2) 3 x 3 x 所以 66268, 当且仅当 6, 即x 时取等号, 3 x 1 y3 3 x 1 3 x6 3 x 1 3 x6 ( 3 x6) 1 3 x6 3 x 1 3 x6 3 7 此时y4,所以 的最小值为 8. 3 x 1 y3 解后反思 从消元的角度看,可以利用等式xy3x3 消“实数x”或消“
6、实数y” ,无论用哪种消元方式, 消元后的式子结构特征明显,利用基本不等式的条件成熟 9、 已知正数a,b满足 5,则ab的最小值为_ 1 a 9 b ab 【答案】. 36 【解析】 : 因为正数a,b满足 5, 所以52, 当且仅当 9ab时等号成立, 即ab5 1 a 9 b abab 9 ab ab 60,解得6 或1(舍去),因此ab36,从而(ab)min36.abab 10、已知,均为锐角,且 cos(),则 tan的最大值是_ sin sin 【答案】 2 4 11、 已知正数x,y满足 1,则的最小值为_ 1 x 1 y 4x x1 9y y1 【答案【答案】25 【解析】:
7、因为 1 ,所以9x49(x1)913 1 y 1 x 4x x1 9y y1 4x x1 9 11 y 4x x1 4 x1 4 x1 9(x1)139(x1)又因为 1 0,所以x1,同理y1,所以 139(x1)132 4 x1 1 y 1 x 4 x1 25,当且仅当x 时取等号,所以的最小值为 25.4 9 5 3 4x x1 9y y1 12、 已知ab2,b0,当取最小值时,实数a的值是_ 1 2|a| |a| b 【答案】: 2 解法 1 2 ,当且仅当a0,且, 1 2|a| |a| b ab 4|a| |a| b a 4|a| b 4|a| |a| b 1 4 b 4|a|
8、 |a| b 3 4 b 4|a| |a| b 即a2,b4 时取等号 解法 2 因为ab2,b0,所以(a2) 1 2|a| |a| b 1 2|a| |a| 2a 设f(a)(a2), 1 2|a| |a| 2a 则f(a)Error! 当a0 时,f(a),从而f(a),故当a2 时, 1 2a a 2a 1 2a2 2 a22 3a2a2 2a2a22 f(a)0;当2a0 时,f(a)0,故f(a)在(,2)上是减函数,在(2,0)上是增函数,故 当a2 时,f(a)取得极小值 ; 同理,当 0a2 时,函数f(a)在a 处取得极小值 .综上,当a2 3 4 2 3 5 4 时,f(
9、a)min . 3 4 【问题探究,变式训练】 【问题探究,变式训练】 :例 1、 已知正数 x,y 满足 xy1,则的最小值为_ 4 x2 1 y1 【答案】: 9 4 解法 1 令x2a,y1b,则ab4(a2,b1), (ab) (54) , 4 a 1 b 1 4( 4 a 1 b) 1 4(5 4b a a b) 1 4 9 4 当且仅当a ,b ,即x ,y 时取等号 8 3 4 3 2 3 1 3 解法 2 (幂平均不等式)设ax2,by1,则 . 4 x2 1 y1 4 a 1 b 22 a 12 b 122 ab 9 4 解法 3 (常数代换)设ax2,by1,则 ,当且仅当
10、a2b 4 x2 1 y1 4 a 1 b ab a ab 4b 5 4 b a a 4b 9 4 时取等号 【变式 1】 、【变式 1】 、已知实数x,y满足xy0,且xy2,则的最小值为_ 2 x3y 1 xy 【答案【答案】 32 2 4 设Error!解得Error!所以xy2, 即mn4.设t , 所以4t(mn)3 mn 2 2 x3y 1 xy 2 m 1 n( 2 m 1 n) 32.即t,当且仅当 ,即mn时取等号 2n m m n 2 32 2 4 2n m m n 2 【变式 2】 、【变式 2】 、已知x,y为正实数,则的最大值为 4x 4xy y xy .【答案】:
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- 冲刺 2019 高考 数学 二轮 复习 核心 考点 特色 突破 专题 11 基本 不等式 及其 应用 解析
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