冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题:14直线与圆(1)(含解析).pdf
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1、专题 14 直线与圆(1)专题 14 直线与圆(1) 【自主热身,归纳总结】【自主热身,归纳总结】 1、 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知过点 A(2, 1)的圆 C 与直线 xy1 相切, 且圆心在直线 y2x 上, 则圆 C 的标准方程为_ _ 【答案】: (x1)2(y2)22 解法 1 1(几何法) 点 A(2,1)在直线 xy1 上,故点 A 是切点过点 A(2,1)与直线 xy10 垂直 的直线方程为 xy3,由解得所以圆心 C(1,2) xy3, y2x,) x1, y2,) 又 AC,(21)2(12)22 所以圆 C 的标准方程为(x1)2(y2)22. 2、 在平面直角
2、坐标系xOy中,直线x2y30 被圆(x2)2(y1)24 截得的弦长为 【答案】:. 2 55 5 【解析】 圆心为(2,1),半径r2. 圆心到直线的距离d, |22 13| 14 3 5 5 所以弦长为 22.r2d222 3 5 5 2 2 55 5 3、 若直线与圆始终有 公共点,则实数m的取值范围是 【答案】:0m10. 【解析】 因为,所以由题意得: ,化简得55m即 0m10. 4、 在平面直角坐标系xOy中, 以点)0 , 1 (为圆心且与直线( mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 【答案】:(x1)2y22. 【解析】 由直线mxy2m10 得m(x2)(y1)
3、0, 故直线过点(2, 1) 当切线与过(1, 0), (2, 1)两点的直线垂直时,圆的半径最大,此时有r,故所求圆的标准方程为(x1)2y22.112 5、圆心在抛物线yx2上,并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为_ 1 2 【答案】: (x1)2 21 (y 1 2) 思路分析 求圆的方程就是要确定它的圆心与半径,根据圆与抛物线的准线以及与y轴都相切,得到圆心的 一个等式,再根据圆心在抛物线上,得到另一个等式,从而可求出圆心的坐标,由此可得半径 因为圆心在抛物线yx2上,所以设圆心为(a,b),则a22b.又圆与抛物线的准线及y轴都相切,故b 1 2 |a|r,由此解得a1,
4、b ,r1,所以所求圆的方程为(x1)2 21. 1 2 1 2 (y 1 2) 解后反思 凡涉及抛物线上点到焦点的距离或到准线的距离时, 一般运用定义转化为到准线的距离或到焦点 的距离来进行处理,本题中充分运用抛物线定义实施转化,其关键在于求圆心的坐标 6、在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1: (x4)2(y8)21,圆C2: (x6)2(y6)29,若圆心在x 轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周,则圆C的方程是_ 7、. 在平面直角坐标系xOy中, 已知过点M(1,1)的直线l与圆(x1)2(y2)25相切, 且与直线ax y10 垂直,则实数a_. 【答案】: 1 2 思路分析 可
5、用过圆上一点的切线方程求解;也可用垂直条件,设切线方程(x1)a(y1)0,再令圆心 到切线的距离等于半径 因为点M在圆上, 所以切线方程为(11)(x1)(12)(y2)5, 即 2xy10.由两直线的法向量(2, 1)与(a,1)垂直,得 2a10,即a . 1 2 思想根源 以圆(xa)2(yb)2r2上一点T(x0,y0)为切点的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb) r2. 8、 若直线l1:yxa和直线l2:yxb将圆(x1)2(y2)28 分成长度相等的四段弧,则a2b2 _. 【答案】: 18 9、 若直线 3x4ym0 与圆 x2y22x4y40 始终有公共点,则实数
6、 m 的取值范围是_ 【答案】: 0,10 【解析】: 圆的标准方程为(x1)2(y2)21,故圆心到直线距离d1. |38m| 3242 即|m5|5,解得 0m10. 10、 在平面直角坐标系xOy中, 过点P(2,0)的直线与圆x2y21 相切于点T, 与圆(xa)2(y)233 相交于点R,S,且PTRS,则正数a的值为_ 【答案】: 4 【解析】 : 因为PT与圆x2y21 相切于点T, 所以在 RtOPT中,OT1,OP2, OTP, 从而OPT 2 ,PT,故直线PT的方程为xy20,因为直线PT截圆(xa)2(y)23 得弦长RS, 6 3333 设圆心到直线的距离为d, 则d
7、, 又2, 即d , 即|a32|3, 解得a8, 2,4, |a 32| 2 33d2 3 2 因为a0,所以a4. 11、 定 义 : 点 00 (,)M xy到 直 线的 有 向 距 离 为 已知点( 1,0)A ,(1,0)B, 直线m过点(3,0)P, 若圆 上存在一点C,使得, ,A B C三点到直线m的有向距离之和为 0,则直线l的斜率的取值范围为 【答案】: 3 (, 4 【思路分析】由“, ,A B C三点到直线m的有向距离之和为 0”知,动点C在一条直线上,又因为点C在圆 上,故问题转化为该直线与圆有公共点,此时圆心(0,18)到该直线的距离小于等于半径 9. 【解析】 :
8、 设直线m的斜率为k,则直线m的方程为(3)yk x,即,设 点 00 (,)C xy, 则 点, ,A B C三 点 到 直 线m的 有 向 距 离 分 别 为, ,由得, ,即,又因为点在C圆上,故 ,即 3 4 k . 12、 已知圆O:x2y24,若不过原点O的直线l与圆O交于P,Q两点,且满足直线OP,PQ,OQ的斜率 依次成等比数列,则直线l的斜率为_ 【答案】: 1 思路分析 由直线PQ的方程与圆的方程联立成方程组, 将点P,Q的坐标用直线方程中的参数k,b表示出来, 进而将OP,OQ的斜率用k,b表示,再根据OP,PQ,OQ的斜率成等比数列求出k的值 当直线PQ垂直于x轴时,
9、显然不成立, 所以设直线PQ为ykxb(b0), 将它与圆方程联立并消去y得(k2 1)x22kbxb240, 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则x1x2,x1x2, 因为y1y2(kx1b)(kx2b) b24 k21 2kb k21 k2x1x2kb(x1x2)b2k2b2, 故kOPkOQk2, 即b2(k21) b24 k21 2k2b2 k21 4k2b2 k21 y1y2 x1x2 4k2b2 b24 0,因为b0,所以k21,即k1. 解后反思 本题可推广到椭圆中 : 已知椭圆C:1(ab0),若不过原点O的直线l与椭圆C交于P,Q x2 a2 y2 b2 两点,且满足直
10、线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,则直线l的斜率为 . b a 13、已知线段AB的长为 2,动点C满足(1.当两圆外切或外离时,OB1 , 解得 ; 圆B内切或内含于圆C时,OB11 1 2 3 4 ,解得 (舍),故负数的最大值是 .1 1 2 5 4 3 4 【问题探究,变式训练】 【问题探究,变式训练】 例 1、已知圆C:(xa)2(ya)21(a0)与直线y3x相交于P,Q两点,则当CPQ的面积最大时,实 数a的值为_ 【答案】 5 2 【解析】: 因为CPQ的面积等于 sinPCQ,所以当PCQ90时,CPQ的面积最大,此时圆心到直 1 2 线y3x的距离为,因此,解得a.
11、2 2 2 2 |3aa| 10 5 2 【变式 1】 、【变式 1】 、. 已知直线l过点P(1,2)且与圆C:x2y22 相交于A,B两点,ABC的面积为 1,则直线 l的方程为_ 【答案】3x4y50 或x1 当直线斜率存在时, 设直线的方程为yk(x1)2, 即kxyk20.因为SCACBsinACB1, 1 2 所以sinACB1,所以 sinACB1,即 sinACB90,所以圆心C到直线AB的距离为 1, 1 2 22 所以1,解得k ,所以直线方程为 3x4y50;当直线斜率不存在时,直线方程为x1, |k2| k21 3 4 经检验符合题意综上所述,直线方程为 3x4y50
12、或x1. 【变式 2】 、【变式 2】 、在平面直角坐标系xOy中,圆C1: (x1)2y22,圆C2: (xm)2(ym)2m2,若圆C2上存 在点P满足 : 过点P向圆C1作两条切线PA,PB, 切点为A,B, ABP的面积为1, 则正数m的取值范围是_ 【答案】: 1,323 注意到ABP 的面积是定值,从而点 P 的位置应该具有某种确定性,故首先由ABP 的面积来确定思路分析 点 P 所满足的条件,进而将问题转化为以 C1为圆心的圆与以 C2为圆心的圆有公共点的问题来加以处理 如图,设 P(x,y),设 PA,PB 的夹角为 2. ABP 的面积 S PA2sin2PA2sincosP
13、A21,即PA3PC PA22,解得 PA 1 2 2 PC1 PA PC1 2 2 1 ,2 所以 PC12,所以点 P 在圆(x1)2y24 上 所以m2,解得 1m32.|m2|m12m23 本题的本质是两个圆的位置关系问题,要解决这个问题,首先要确定点 P 所满足的条件,为此,解后反思 由ABP 的面积来确定点 P 所满足的条件是解决本题的关键所在 【变式 3】 、【变式 3】 、已知点 A(1,0)和点 B(0,1),若圆 x2y24x2yt0 上恰有两个不同的点 P,使得PAB 的面积为 ,则实数 t 的取值范围是_ 1 2 【关联 1】 、【关联 1】 、过圆 x2y216 内一
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