冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题:20数列综合问题的探究(含解析).pdf
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1、 专题 20 数列综合问题的探究 专题 20 数列综合问题的探究 【自主热身,归纳提炼】 1、数列an为等比数列,且a11,a34,a57 成等差数列,则公差d_. 【答案】: 3 【解析】:设数列an的公比为q,则(a11)(a1q47)2(a1q24),即a1a1q42a1q2.因为a10,所 以q21,a1a3a5,故公差d3. 2、 设等比数列an的前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列,且a2a54,则a8的值为_ 【答案】:. 2 【解析】:当q1 时,显然不符合题意当q1 时,设Sn,因为S3,S9,S6成等差数列, a11qn 1q 所以2q9q6q30, 即2q6q31
2、0, 解得q3 或q31(舍去) 又a2a5a2(1q3)4, 故a28, 1 2 a2 2 即a8a2q62. 3、已知数列 n a为等差数列,其前 12 项和为 354,在前 12 项中,偶数项之和与奇数项之和的比为 32 27 , 则这个数列的公差为_ 【答案】:5 【解析】 由题意偶数项和为 192,奇数项和为 162,又,所以这个数列的公 差为 5 4、已知数列 n a是递增的等比数列,则数列 n a的前n项和等于 【答案】:1 2 n 5、已知数列an是等差数列,且1,它的前n项和Sn有最小值,则Sn取到最小正数时的n a7 a6 【答案】:12 【解析】 由题意可知0d , 又1
3、, 所以从而 a7 a6 ,所以Sn取到最小正数时的n的值为 12 6、 设等比数列 n a的前n项和为 n S, 若 435 aaa, ,成等差数列, 且33 k S , 1 63 k S , 其中k N, 则 2k S 的值为 【答案】:129 【解析】:设等比数列 n a的公比为q,则由题意得,也就是 ,即, 解之得1q或2q;由于33 k S,63 1 k S,所以1q不符合题意,舍; 当2q时,从而 , 所以 7、 设等比数列an的前 n 项和为 Sn.若 S3,S9,S6成等差数列,且 a83,则 a5的值为_ 8、设 n S是数列 n a的前n项和,且 1 1a , 11nnn
4、aS S ,则 n S _ 【答案】: 1 n S n 【解析】 由已知得,两边同时除以 1nn SS ,得,故数列 1 n S 是 以1为首项,1为公差的等差数列,则,所以 1 n S n 9、设数列an是首项为 1,公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则数列an 的公差为_ 【答案】:. 2 思路分析 先用公差d分别表示S2,S4,列方程求出d. 设公差为d,其中d0,则S1,S2,S4分别为 1,2d,46d.由S1,S2,S4成等比数列,得(2d)246d, 即d22d.因为d0,所以d2. 10、 设公差为 d(d 为奇数, 且 d1)的等差数列的前
5、 n 项和为 Sn,若 Sm19, Sm0, 其中 m3, 且 mN N*,an 则an_. 【答案】: 3n12 【解析】 : 因为Sm19,Sm0, 所以am9.又Sm0, 所以a1am0, 即a19.又am ma1am 2 9(m1)d9,即(m1)d18,因为m1 为正整数,d为比 1 大的奇数,故d3,m7 或d9,m 3(舍),故ana1(n1)d3n12. 11、. 若公比不为 1 的等比数列an满足 log2(a1a2a13)13,等差数列bn满足b7a7,则b1b2 b13的值为_ 【答案】:. 26 【解析】 : 因为等比数列an满足 log2(a1a2a13)13, 所以
6、a1a2a13213, (a7)13213,a72, 所以等差数列bn中,b7a72,b1b2b1313b713226. 解后反思 记住一些常用的结论可以提高解题速度在等比数列an中,若m,n,p,qN N*,且mnpq, 则amanapaq;在等差数列an中,若m,n,p,qN N*,且mnpq,则amanapaq. 12、12、 已知等比数列an的首项为 , 公比为 , 其前n项和为Sn, 若对nN N*恒成立, 则BA 4 3 1 3 的最小值为 【答案】: 59 72 【解析】 由题意可求得,令 1 () 3 n t ,则 11 39 t ,从而 84 93 n S ,所以 ,所以BA
7、的最小值为 59 72 【问题探究,变式训练】【问题探究,变式训练】 例 1、 例 1、 已知实数abc, ,成等比数列,成等差数列,则b的最大 值为 【答案】 3 4 【解析】解法 1(基本不等式)由题意知, 所以 由基本不等式的变形式 ,则有 :,解得 3 4 b ,所以 b的最大值为 3 4. 解法 2(判别式法) 由题意知, 则 ,代入得 ,即,上述关于a的方程 有解,所以 ,解得 3 4 b ,所以 b的最大值为 3 4. 【变式 1】 、【变式 1】 、在正项等比数列an中,若a4a32a22a16,则a5a6的最小值为_ 【答案】:. 48 思路分析 首先根据基本量思想,可用首项
8、a1和公比q来表示a5a6,即建立a5a6的目标函数但是它含 有两个变量a1和q,可由a4a32a22a16 再建立一个关于a1和q的等式,然后消去一个变量,那么消 谁呢?原则:一是易于消去谁,二是对谁了解得更为详细,就保留谁由这两点可知,应消去a1,保留q, 这就得到关于q的函数接下来用函数或不等式即可求出最值这里运用换元或整体思想结合基本不等式 即可求出最值,但运用基本不等式求最值,一定要检验等号成立的条件 解法 1 由a4a32a22a16, 得a1(q1)(q22)6, 所以a1(q1).因为an0, 所以q22 6 q22 0,a5a6a1(1q)q466(q22)6q22462 6
9、q4 q22 q444 q22 4 q22 4 q22 46848,当且仅当q22,即q2,a11 时,等号成立,所以a5a6q22 4 q22 4 q22 最小值为 48. 解法 2 由a4a32a22a16,得(a2a1)(q22)6,所以a2a1.因为an0,所以q220, 6 q22 即q22,a5a6(a1a2)q4.令t,则t2t22 2 ,当t 6q4 q22 6 1 q2 2 q4 1 q2(0, 1 2) 1 q2 2 q4(t 1 4) 1 8 时,式子取得最大值 ,从而a5a6取得最小值 6848. 1 4(0, 1 2) 1 q2 2 q4 1 8 6 1 q2 2 q
10、4 【变式 2】 、.【变式 2】 、. 设Sn是等比数列an的前n项和,an0,若S62S35,则S9S6的最小值为_ 【答案】: 20 思路分析 1 从研究等比数列的基本方法基本量入手,将条件用a1,q表示出来,为此消去一个变量a1, 从而将S9S6用q的表达式表示出来, 由此转化为用基本不等式来求函数的最小值 这当中要注意对公比q 是否等于 1 进行讨论 思路分析 2 注意到所研究的是等比数列的前 3 项、前 6 项、前 9 项和的关系,因此,考虑将S3作为一个整 体来加以考虑,从而将S6,S9转化为S3的形式,进而来研究问题 解法2 因为S6S3(1q3),所以由S62S35得S30,
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