冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题:23与三角函数有关的应用题(含解析).pdf
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1、 专题 23 与三角函数有关的应用题 专题 23 与三角函数有关的应用题 【自主热身,归纳总结】【自主热身,归纳总结】 1、 如图, 两座建筑物 AB, CD 的高度分别是 9 m和 15 m, 从建筑物AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的张角CAD45 ,则这两座建筑物 AB 和 CD 的底部之间的距离 BD_m. 【答案】【答案】 18 【解析】:设 BDx m,作 AHCD,垂足为 H,记HAC,HAD,则45. 因为tan ,tan ,且tan()1,得1, 6 x 9 x 6 x 9 x 16 x 9 x 即 x215x540,即(x3)(x18)0,解得 x18. 在解方程的过程中
2、,若记 t,则 5t16t2,因为方程中出现的系数较小,所以更易解出方程解后反思 3 x 的根 2.如图 1, 为测量山高MN, 选择A和另一座山的山顶C为测量观测点 从A点测得M点的仰角MAN60,C 点的仰角CAB45以及MAC75;从C点测得MCA60.已知山高BC100 m,则山高MN _m. 【答案】 150 【解析】 根据图示,AC100 m.在MAC中,2 CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中, AC sin 45 AM sin 60 3 MN AM sin 60,MN100150(m)3 3 2 3.如图 2,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇
3、形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条 平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了 2 分钟, 从D沿着DC走到C用了 3 分钟.若此人步行的 速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径为_米. 【答案】 750 4、如图,某城市有一块半径为 40 m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心,AB为直径),现计划对其进行改 建在AB的延长线上取点D,OD80 m,在半圆上选定一点C,改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形 区域COD组成,其面积为S m2.设AOCx rad. (1) 写出S关于x的函数关系式S(x),并指出x的取值范围; (2) 试问AOC多大时,改建后的绿化区域面积
4、S取得最大值? 思路分析 对于(1), 面积S由两部分组成, 一个是扇形面积, 根据扇形面积公式Sr2可得, 另一个是 1 2 OCD的面积,根据三角形的面积公式absinC可得;对于(2),注意到所研究的函数不是基本初等函数,因 1 2 此,采用导数法来研究它的最值 【解析】 : (1) 因为扇形AOC的半径为 40 m, AOCx rad, 所以扇形AOC的面积S扇形AOC xOA2 2 800x,0x.(2 分) 在COD中,OD80,OC40,CODx, 所以COD的面积SCODOCODsinCOD1 600sin(x)1 600sinx,(4 分) 1 2 从而SSCODS扇形AOC
5、1600sinx800x,0x.(6 分) 【问题探究,变式训练】【问题探究,变式训练】 例 1、如图,准备在墙上钉一个支架,支架由两直杆 AC 与 BD 焊接而成,焊接点 D 把杆 AC 分成 AD,CD 两段, 其中两固定点 A,B 间距离为 1 米,AB 与杆 AC 的夹角为 60,杆 AC 长为 1 米若制作 AD 段的成本为 a 元/ 米,制作 CD 段的成本是 2a 元/米,制作杆 BD 的成本是 4a 元/米设ADB,制作整个支架的总成本记 为 S 元 (1) 求 S 关于 的函数表达式,并指出 的取值范围; (2) 问 AD 段多长时,S 最小? 【解析】:【解析】: (1)
6、在ABD 中,由正弦定理得,(1 分) 1 sin BD sin 3 AD sin(2 3 ) 所以 BD,AD ,(3 分) 3 2sin 3cos 2sin 1 2 则 Sa2a4aa,.(7 分) ( 3cos 2sin 1 2)1( 3cos 2sin 1 2)( 3 2sin)( 4 3 3cos 2sin 3 2) ( 3 ,2 3) (2) 令 Sa0,设cos0 .(9 分)3 14cos 2sin2 1 4 ( 3 ,0)0 ( 0,2 3) cos ( 1 4, 1 2) 1 4 ( 1 2, 1 4) S0 S单调递减极小单调递增 (11 分) 所以当cos 时,S 最小
7、,此时sin,AD .(12 分) 1 4 15 4 3cos 2sin 1 2 5 5 10 答:(1)S 关于 的函数表达式为 Sa,且 ; ( 4 3 3cos 2sin 3 2) ( 3 ,2 3) (2)当 AD时,S 最小(14 分) 5 5 10 【变式 1】 、【变式 1】 、如图, 某景区内有一半圆形花圃, 其直径 AB 为 6, O 是圆心, 且 OCAB.在 OC 上有一座观赏亭 Q, 其中AQC.计划在上再建一座观赏亭 P,记POB. 2 3 BC (0 0,且 (0,),所以当tan取最大值时,也取得最大值 2 2 答:游客在观赏亭 P 处的观赏效果最佳时,sin.(
8、16 分) 3 3 解法 2 2 记 T, , 则TcosTsin(1, T)(cos,sin), 得 cos 3 sin (0, 2) 31T2 T,当且仅当tan,即sin时取等号(13 分) 2 2 2 2 3 3 所以tan的最大值为.显然tan0,所以当tan时,取最大值 2 2 2 2 答:游客在观赏亭 P 处的观赏效果最佳时,sin.(16 分) 3 3 【变式 2】 、【变式 2】 、 ) )(2017 苏锡常镇调研(一) ) (C13,(C13,17. (本小题满分 14 分) 某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图)设计要求彩门的面积为 S
9、(单位:m2),高为h(单位:m)(S,h为常数)彩门的下底BC固定在广场底面上,上底和两腰由不锈钢支 架构成,设腰和下底的夹角为,不锈钢支架的长度之和记为l. (1) 请将l表示成关于的函数lf(); (2) 问:当为何值时l最小,并求最小值 (2) f()hh,(8 分) ( 2cos sin2 1 sin2) 12cos sin2 令f()h0,得.(9 分) 12cos sin2 3 当变化时,f(),f()的变化情况如下表: (0, 3) 3( 3 , 2) f()0 f()极小值 所以lminfh .(12 分) ( 3) 3 S h 答:(1) l表示成关于的函数为lf() h;
10、 S h( 2 sin 1 tan)(0 2) (2) 当时,l有最小值,为h .(14 分) 3 3 S h 【变式 3】 、【变式 3】 、 在一水域上建一个演艺广场 演艺广场由看台, 看台, 三角形水域ABC, 及矩形表演台 BCDE四个部分构成(如图) 看台,看台是分别以AB,AC为直径的两个半圆形区域,且看台的面积 是看台的面积的 3 倍 ; 矩形表演台BCDE中,CD10 米 ; 三角形水域ABC的面积为 400平方米 设BAC3 (1)求BC的长(用含的式子表示) ; (2)若表演台每平方米的造价为 0.3 万元,求表演台的最低造价 【解析】:(1)因为看台的面积是看台的面积的
11、3 倍,所以ABAC3 在ABC中,SABCABACsin400, 1 2 3 所以AC2 3 分 800 sin 由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos, 4AC22AC2 cos3 (42cos) ,3 800 sin 即BC 40 (42cos) 所以 BC40 ,(0,) 7 分 (2)设表演台的总造价为W万元 因为CD10m,表演台每平方米的造价为 0.3 万元, 所以W3BC120 ,(0,) 9 分 记f(),(0,) 2cos sin 则f () 11 分 2cos sin2 由f ()0,解得 6 当(0,)时,f ()0;当(,)时,f ()0 6 6 故f()在
12、(0,)上单调递减,在(,)上单调递增, 6 6 从而当 时,f()取得最小值,最小值为f()1 6 6 所以Wmin120(万元) 答:表演台的最低造价为 120 万元 14 分 例 2、如图,海上有A,B两个小岛相距 10km,船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为 60,现从船O上 派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业,且OCBO.设ACxkm. (1) 用x分别表示OA2OB2和OAOB,并求出x的取值范围; (2) 晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛,B岛至光线CA的距离为BD,求BD的最大值 【解析】: (1) 在OAC中,AOC120,ACx. 由余弦定理得OA2OC22O
13、AOCcos120x2. 又OCBO,所以 OA2OB22OAOBcos120x2 .(2 分) 在OAB中,AB10,AOB60.由余弦定理得 OA2OB22OAOBcos60100 .(4 分) 得OA2OB2. x2100 2 得 4OAOBcos60x2100,即OAOB.(6 分) x2100 2 又OA2OB22OAOB,所以2,即x2300.又OAOB0,即x2100,所以 x2100 2 x2100 2 x2100 2 100,(14 分) 3 2(1 100 x2) 则f(x)在(10,10上是单调增函数,所以f(x)的最大值为f(10)10,即BD的最大值为 10.(16
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