2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义:第1章 1.2 1.2.1 常见函数的导数含解析.pdf
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1、_1.2导数的运算 1.2.1 常见函数的导数 几个常见函数的导数 已知函数 (1)f(x)c,(2)f(x)x,(3)f(x)x2, (4)f(x) ,(5)f(x). 1 x x 问题 1:函数 f(x)x 的导数是什么? 提示:1, y x f(xx)f(x) x xxx x 当 x0 时,1,即 x1. y x 问题 2:函数 f(x) 的导数是什么? 1 x 提示: y x f(xx)f(x) x 1 xx 1 x x , x(xx) x(xx)x 1 x2xx 当 x0 时, ,即 . y x 1 x2 ( 1 x) 1 x2 1(kxb)k(k,b 为常数); 2C0(C 为常数
2、); 3(x)1; 4(x2)2x; 5(x3)3x2; 6. ; ( 1 x) 1 x2 7() .x 1 2x 基本初等函数的导数公式 1(x)x1( 为常数); 2(ax)axln_a(a0,且 a1); 3(logax) logae (a0,且 a1); 1 x 1 x ln a 4(ex)ex; 5(ln x) ; 1 x 6(sin x)cos_x; 7(cos x)sin_x. 函数f(x)logax的导数公式为f(x)(logax), 当ae时, 上述公式就变形为(ln 1 x ln a x) , 即f(x)ln x是函数f(x)logax当ae时的特殊情况 类似地, 还有f(
3、x)ax与f(x)ex. 1 x 对应学生用书P7 求函数的导数 例 1 求下列函数的导数 (1)yx8; (2)y ; 1 x3 (3)yx;x (4)ylog2x. 思路点拨 解答本题可先将解析式化为基本初等函数,再利用公式求导 精解详析 (1)y(x8)8x7; (2)y(x3)3x4 ; ( 1 x3) 3 x4 (3)y(x)(x ) x ;x 3 2 3 2 1 2 3x 2 (4)y(log2x). 1 xln 2 一点通 用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度解题时应根据所给函 数的特征,恰当地选择求导公式,有时需将题中函数的结构进行调整,如根式、分式转化为 指数式,利
4、用幂函数的求导公式求导 1函数 ysin的导数是_ ( 2x) 解析:ysincos x,所以 ysin x. ( 2x) 答案:sin x 2下列结论中不正确的是_ 若 y3,则 y0; cos ; (sin 3) 3 ; ( 1 x) 1 2x x 若 yx,则 y1. 解析 : 正确 ; sin ,而()0,不正确 ; 对于,(x ) 3 3 2 3 2 ( 1 x) 1 2 x ,正确;正确 1 2 3 2 1 2x x 答案: 3求下列函数的导函数 (1)y10x;(2)ylog x; 1 2 (3)y;(4)y 21. 4 x3 (sin x 2cos x 2) 解:(1)y(10
5、x)10xln 10; (2)y(log x); 1 2 1 xln 1 2 1 xln 2 (3)yx , 4 x3 3 4 y(x ) x ; 3 4 3 4 1 4 3 4 4 x (4)y(sin cos )21 x 2 x 2 sin22sin cos cos21sin x, x 2 x 2 x 2 x 2 y(sin x)cos x. 求函数在某一点处的导数 例 2 求函数 f(x)在 x1 处的导数 1 6 x5 思路点拨 先求导函数,再求导数值 精解详析 f(x)x , 1 6 x5 5 6 f(x)x, (x 5 6) ( 5 6) 11 6 f(1) . 5 6 一点通 求
6、函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简,然后求导,最后将变量的 值代入导函数便可求解 4若函数 f(x),则 f(1)_. 3 x 解析:f(x)()(x ) x , 3 x 1 3 1 3 2 3 f(1) . 1 3 答案:1 3 5若函数 f(x)sin x,则 f(6)_. 解析:f(x)(sin x)cos x. f(6)cos 61. 答案:1 6已知 f(x) 且 f(1) ,求 n. 1 n x 1 2 解:f(x)(x ) x 1 x, ( 1 n x) 1 n 1 n 1 n 1 n n1 n f(1) , 1 n 由 f(1) 得 ,得 n2. 1 2 1 n 1 2
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