2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义:第1章 1.2 1.2.3 简单复合函数的导数含解析.pdf
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1、12.3简单复合函数的导数 对应学生用书 P11 已知函数 f(x)sin,g(x)(3x2)2. (2x 6) 问题 1:这两个函数是复合函数吗? 提示:是复合函数 问题 2:试说明 g(x)(3x2)2是如何复合的? 提示:函数 g(x)(3x2)2是由 g(u)u2,u3x2 复合而成的 问题 3:试求 g(x)(3x2)2,g(u)u2,u3x2 的导数 提示:g(x)(3x2)29x212x418x12.g(u)2u,u3. 问题 4:观察问题 3 中导数有何关系? 提示:g(x)g(u)u. 若 yf(u),uaxb,则 yxyuux,即 yxyua. 1求复合函数的导数,关键在于
2、分清函数的复合关系,选好中间变量 2利用复合关系求导前,若函数关系可以化简,则先化简再求导会更简单 3判断复合函数的复合关系的一般方法是:从外向里分析,最外层的主体函数结构是 以基本函数为主要形式,各层的中间变量结构也都是基本函数关系,这样一层一层分析,最 里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的 函数 对应学生用书P11 复合函数的求导 例 1 求下列函数的导数 (1)y; 1 (2x3)3 (2)ye0.05x1; (3)ycos(x)(其中 、 为常数); (4)ylog2(53x) 思路点拨 先分清函数自身结构,再合理地选取中间变量,利用复合函数
3、的求导法则 求解 精解详析 (1)y(2x3) 是函数 yu ,u2x3 的复合函数, 1 (2x3)3 3 2 3 2 所以 yxyuux(u )(2x3) 3 2 u 23u 3(2x3) . 3 2 5 2 5 2 5 2 (2)ye0.05x1是函数 yeu,u0.05x1 的复合函数,所以 yxyuux(eu) (0.05x1) 0.05eu0.05e0.05x1. (3)ycos(x)是 ycos u,ux 的复合函数, 所以 yxyuux(cos u)(x) sin usin(x) (4)ylog2(53x)是 ylog2u,u53x 的复合函数, 所以 yxyuux(log2u
4、)(53x)3 1 uln 2 . 3 (53x)ln 2 3 (3x5)ln 2 一点通 对于简单复合函数的求导,其一般步骤为“分解求导回代” ,即 : (1) 弄清复合关系,将复合函数分解成基本初等函数形式;(2)利用求导法则分层求导;(3)最终 结果要将中间变量换成自变量 1若函数 f(x)ln ,则 f(x)_. 1 x 解析:f(x)ln 是 f(u)ln u 与 u 的复合函数, 1 x 1 x 所以 yxyuux(ln u) ( 1 x) . 1 u( 1 x2) 1 x 答案:1 x 2函数 ysin3xsin x3的导数为_ 解析:y(sin3xsin x3)(sin3x)(
5、sin x3) 3sin2xcos xcos x33x2 3sin2xcos x3x2cos x3. 答案:3sin2xcos x3x2cos x3 3求下列函数的导数: (1)ye2x23x;(2)y. 1 (13x)4 解:(1)yeu,u2x23x, 所以 yxyuuxeu(2x23x) eu(4x3)(4x3)e2x23x. (2)y(13x)4, 1 (13x)4 可设 yu4,u13x, yu4u5,ux3, yxyuux4u5(3)12(13x)5. 求导法则的综合应用 例 2 求下列函数的导数 (1)y31xsin(2x1); (2)y. ln(2x1) 2x1 思路点拨 根据
6、导数的运算法则及复合函数的求导公式求解 精解详析 (1)y(31x)sin(2x1)31xsin(2x1) 31xln 3sin(2x1)31x2cos(2x1) 31x2cos(2x1)sin(2x1)ln 3 (2)yln(2x1) 2x1ln(2x1)(r(2x1) (r(2x1)2 22x1 2x1 ln(2x1)1 2(2x1) 1 22 2x1 2 2x1 ln(2x1) 2x1 2x1 . 2ln(2x1) (2x1)2x1 一点通 (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法, 都能由基本初等函数生成 一些新的函数,认清这一点可帮助我们分析函数结构 (2)认清函数结构之后,不
7、要急于求导,应注意恰当利用代数、三角变换方法,化简函 数解析式,以达到准确套用法则,明确求导过程的目的 4若函数 f(x)xcos 2x,则 f(x)_. 解析:f(x)xcos 2xx(cos 2x) cos 2x2xsin 2x. 答案:cos 2x2xsin 2x 5求下列函数的导数: (1)y;(2)y sin2(1x) 2x1 x 1 2 解:(1)y(r(2x1)x 2x1x x2 x 2x1 2x1 x2 . 1x x22x1 (2)y sin2(1x) 1cos(22x) 1 2 1 4 cos(22x) cos(2x2) 1 4 1 4 1 4 1 4 y sin(2x2)
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