2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义:第2章 2.1 2.1.1 第二课时 类比推理含解析.pdf
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1、第二课时 类 比 推 理 为了回答“火星上是否有生命”这个问题,科学家们把火星与地球作为类比,发现火星 具有一些与地球类似的特征,如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星,也有大气层,在 一年中也有季节的变更, 而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存, 等 等由此,科学家猜想:火星上也可能有生命存在 问题:科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的? 提示 : 在提出上述猜想的过程中,科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征,然后 从地球的一个已知特征(有生命存在)出发,猜测火星也可能具有这个特征 1类比推理 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似
2、或 相同,像这样的推理通常称为类比推理,简称类比法其思维过程为: 观察、比较联想、类推猜测新的结论 2合情推理 合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践结果_,以及个人的经验等推测 某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理 类比推理的特点主要体现在以下几个方面: (1)类比推理是从特殊到特殊的推理 (2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究中的事物的特征所 以,类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠 (3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征所以,进 行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征 对应学生用书
3、P16 类比推理在数列中的应用 例 1 在等差数列an中,若 a100,则有等式 a1a2ana1a2a19 n(n0,则数列 dn_(nN*)也是等比数列 答案: n c1c2c3cn 2已知命题:若数列an为等差数列,且 ama,anb(mn,m,nN*),则 amn .现已知等比数列bn(bn0,nN*),且 bma,bnb(mn,m,nN*),类比上述 bnam nm 结论,求 bmn. 解:等差数列通项 an与项数 n 是一次函数关系,等比数列通项 bn与项数 n 是指数型函 数关系利用类比可得 bmn. ( bn am) 1 nm nm bn am 类比推理在几何中的应用 例 2
4、如图, 在三棱锥 SABC 中, SASB, SBSC, SASC, 且 SA、 SB、 SC 和底面 ABC 所成的角分别为 1、 2、 3, 三侧面SBC, SAC, SAB 的面积 分别为 S1, S2, S3, 类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想 思路点拨 在DEF 中,有三条边,三个角,与DEF 相对应的是 四面体 SABC,与三角形三条边长对应的是四面体三个侧面的面积,三角形三个角对应的 是 SA,SB,SC 与底面 ABC 所成的三个线面角 1,2,3.在平面几何中三角形的有关性质, 我们可以用类比的方法,推广到四面体、三棱柱等几何体中 精解详析 在DEF 中,由正弦
5、定理,得.于是,类比三角形中的 d sin D e sin E f sin F 正弦定理,在四面体 SABC 中,我们猜想成立 S1 sin 1 S2 sin 2 S3 sin 3 一点通 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要,选择适当的类比对象,可以 从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的 相关结论 (2)平面图形与空间图形类比 平面图形空间图形 点线 线面 边长面积 面积体积 线线角二面角 三角形四面体 3在平面中ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分ABC 面积所成的比,将 S AEC S BEC AC BC 这个结论类比到空间:在三棱锥
6、 ABCD 中,平面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 交 于 E,则类比的结论为_ 图(1) (2) 解析:平面中的面积类比到空间为体积, 故类比成. S AEC S BEC VACDE VBCDE 平面中的线段长类比到空间为面积, 故类比成. AC BC S ACD S BCD 故有. VACDE VBCDE S ACD S BDC 答案: VACDE VBCDE S ACD S BDC 4.如图所示, 在ABC 中, 射影定理可表示为 abcos Cccos B, 其中 a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想 解 : 如图所示,在四
7、面体 PABC 中,S1,S2,S3,S 分别表示PAB,PBC,PCA, ABC 的面积, 依次表示面 PAB,面 PBC,面 PCA 与底面 ABC 所成二面 角的大小 我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为 SS1cos S2cos S3cos . 合情推理的应用 例 3 我们已经学过了等差数列,你是否想过有没有等和数列呢? (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义; (2)探索等和数列an的奇数项和偶数项各有什么特点,并加以说明; (3)在等和数列an中,如果 a1a,a2b,求它的前 n 项和 Sn. 思路点拨 可先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义,然后再据
8、此定义探 索等和数列的奇数项、偶数项及其前 n 项和 精解详析 (1)如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的和等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等和数列 (2)由(1)知 anan1an1an2, 所以 an2an. 所以等和数列的奇数项相等,偶数项也相等 (3)当 n 为奇数时,令 n2k1,kN*,则 SnS2k1S2k2a2k1(ab)a 2k2 2 (ab)aab; n1 2 n1 2 n1 2 当 n 为偶数时,令 n2k,kN*,则 SnS2kk(ab) (ab) n 2 所以它的前 n 项和 SnError!Error! 一点通 (1)本题是一道浅显的定义类比应用问题
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