2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义:第2章 2.3 第一课时 利用数学归纳法证明等式、不等式问题含解析.pdf
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1、2.3数学归纳法 第一课时 利用数学归纳法证明等式、不等式问题 对应学生用书 P48 在学校,我们经常会看到这样的一种现象 : 排成一排的自行车,如果一个同学将第一辆 自行车不小心弄倒了,那么整排自行车就会倒下 问题 1:试想要使整排自行车倒下,需要具备哪几个条件? 提示:(1)第一辆自行车倒下;(2)任意相邻的两辆自行车,前一辆倒下一定导致后一辆 倒下 问题 2:利用这种思想方法能解决哪类数学问题? 提示:一些与正整数 n 有关的问题 数学归纳法 一般地,对于某些与正整数有关的数学命题,我们有数学归纳法公理:如果 (1)当 n 取第一个值 n0(例如 n01,2 等)时结论正确; (2)假设
2、当 nk(kN*,且 kn0)时结论正确,证明当 nk1 时结论也正确 那么,命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都成立 数学归纳法的两个步骤之间的联系: 第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可, 只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断,可能得不出正确的结论,因为单靠步骤(1),无法 递推下去,即 n 取 n0以后的数时命题是否正确,我们无法判断同样只有步骤(2)而缺少步 骤(1)时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步 骤(2)也就没有意义了 对应学生用书P48 用数学归纳法证明恒等式 例 1 用数学归纳法证明:
3、 1 . 1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n 思路点拨 等式的左边有 2n 项,右边共有 n 项,f(k)与 f(k1)相比左边增二项,右边 增一项,而且左右两边的首项不同因此,从 nk 到 nk1 时要注意项的合并 精解详析 (1)当 n1 时,左边1 , 1 2 1 2 右边 ,命题成立 1 2 (2)假设当 nk 时命题成立,即 1 , 1 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 k1 1 k2 1 2k 那么当 nk1 时, 左边1 1 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 k1 1 k2 1 2k 1 2k
4、1 1 2k2 . 1 k2 1 k3 1 2k 1 2k1 1 2k2 右边, 1 k2 1 k3 1 2k 1 2k1 1 2k2 左边右边, 上式表明当 nk1 时命题也成立 由(1)和(2)知,命题对一切非零自然数均成立 一点通 (1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题,关键在于“先看项” , 弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,项的多少与 n 的取值是否有关由 nk 到 nk1 时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项 (2)证明 nk1 时成立,必须用到假设 nk 成立的结论 1用数列归纳法证明:当 nN*时, 135 (1)n(2n1)(1)nn. 证明:(1)当
5、 n1 时,左边1,右边1, 所以左边右边,等式成立 (2)假设当 nk(k1,kN*)时等式成立, 即135 (1)k(2k1)(1)kk. 那么当 nk1 时, 135 (1)k(2k1)(1)k1(2k1) (1)kk(1)k1(2k1) (1)k1(k)(1)k1(2k1) (1)k1(2k1k) (1)k1(k1) 这就是说 nk1 时等式也成立, 由(1)(2)可知,对任何 nN*等式都成立 2用数学归纳法证明: 12223242(2n1)2(2n)2n(2n1) 证明:(1)当 n1 时,左边12223,右边1(211)3, 所以左边右边,等式成立 (2)假设当 nk 时等式成立
6、, 即 12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)成立 则当 nk1 时, 左边12223242(2k1)2(2k)22(k1)122(k1)2 k(2k1)(2k1)2(2k2)2 (2k1)(k1)4(k1)2 (k1) 2k14(k1)(k1)(2k3) (k1)2(k1)1右边, 所以当 nk1 时,等式成立 由(1)(2)可知对于任意正整数 n,等式都成立 用数学归纳法证明不等式 例 2 求证: (n2,nN*) 1 n1 1 n2 1 3n 5 6 思路点拨 运用数学归纳法证明,证明时仔细观察不等式的结构特征,在第二步证明 当 nk1 时,如何进行不等式的变换是关键另外,要
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