2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义:高考七大高频考点例析含解析.pdf
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1、高考七大高频考点例析对应学生用书 P64 导数的几何意义及运算 考 查 方 式 从近几年的高考试题分析,对该部分内容的考查,主要考查利用导 数的几何意义求切线方程 ; 导数的有关计算, 尤其是简单的复合函数求导 ; 题型既有填空题,又有解答题,难度中等左右,在考查导数的概念及其 运算的基础上,又注重考查解析几何的相关知识 备 考 指 要 函数 yf(x)在 x0处的导数 f(x0)就是曲线 yf(x)在点 P(x0,f(x0)处 的切线的斜率 k,即 kf(x0),于是曲线 yf(x)在点 P(x0,f(x0)处的切 线方程为:yf(x0)f(x0)(xx0)求切线方程时,应明确“在某点处的
2、切线方程”和“过某点的切线方程”的不同;熟练掌握基本函数的导数 及导数的四则运算. 考题印证 例 1 (广东高考)曲线 ye5x2 在点(0,3)处的切线方程为_ 解析 由 ye5x2y5e5x切线的斜率 ky|x05, 于是切线方程为 y 35(x0)5xy30. 答案 5xy30 例 2 曲线 yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_ 解析 yx(3ln x1), y3ln x1x 3ln x4, 3 x ky|x14, 所求切线的方程为 y14(x1),即 y4x3. 答案 y4x3 跟踪演练 1曲线 yex在点 A(0,1)处的切线的斜率为_ 解析:y(ex)ex, 所以当
3、x0 时,ye01. 答案:1 2曲线 yx33x2在点(1,2)处的切线方程为_ 解析:y3x26x,当 x1 时,y3, 即斜率 k3. 所以切线方程为 y23(x1),即 3xy10. 答案:3xy10 3 如果曲线yx4x在点P处的切线垂直于直线y x, 那么点P的坐标为_ 1 3 解析:由 y4x31,当 y3 时,有 4x313,可解得 x1,此时,点 P 的坐标 为(1,0) 答案:(1,0) 4(北京高考)已知函数 f(x)x2xsin xcos x. (1)若曲线 yf(x)在点(a,f(a)处与直线 yb 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 yf(x)与直线 yb
4、有两个不同交点,求 b 的取值范围 解:由 f(x)x2xsin xcos x,得 f(x)x(2cos x),f(x)为偶函数 (1)因为曲线 yf(x)在点(a,f(a)处与直线 yb 相切, 所以 f(a)a(2cos a)0,bf(a) 解得 a0,bf(0)1. (2)令 f(x)0,得 x0. f(x)与 f(x)的变化情况如下: x(,0)0(0,) f(x)0 f(x)1 所以函数 f(x)在区间(,0)上单调递减,在区间(0,)上单调递增,f(0)1 是 f(x) 的最小值 当 b1 时,曲线 yf(x)与直线 yb 最多只有一个交点; 当 b1 时, f(2b)f(2b)4
5、b22b14b2b1b, f(0)11时曲线yf(x)与直线yb 有且仅有两个不同交点 综上可知, 如果曲线 yf(x)与直线 yb 有两个不同交点, 那么 b 的取值范围是(1, ) 利用导数研究函数的单调性 考 查 方 式 利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用之一主要考查求函数的单 调区间、证明或判断函数的单调性,在高考命题中,若以填空题的形式出现,难 度则以中低档为主,若以解答题形式出现,难度则以中等偏上为主 备 考 指 要 利用导数的符号判断函数的单调性是导数几何意义在研究曲线变化规律时的 一个应用,它充分体现了数形结合思想在利用导数讨论函数的单调区间时,首 先要确定函数的定义域
6、,解决问题的过程中,只能在定义域内,通过讨论导数的 符号,来判断函数的单调区间 特别要注意写单调区间时,区间之间用“和”或“, ”隔开,绝对不能用“” 连接 . 考题印证 例 3 (山东高考)已知函数 f(x)ax2bxln x(a,bR) (1)设 a0,求 f(x)的单调区间; (2)设 a0,且对任意 x0,f(x)f(1)试比较 ln a 与2b 的大小 解 (1)由 f(x)ax2bxln x,x(0,), 得 f(x). 2ax2bx1 x 当 a0 时,f(x). bx1 x ()若 b0,当 x0 时,f(x)0,当 0 时,f(x)0,函数 f(x)单调递增 1 b 所以函数
7、 f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是. (0, 1 b) ( 1 b,) 当 a0 时,令 f(x)0, 得 2ax2bx10. 由 b28a0,得 x1, b b28a 4a x2. bb28a 4a 当 0x2时,f(x)0,函数 f(x)单调递增 所 以 函 数 f(x)的 单 调 递 减 区 间 是, 单 调 递 增 区 间 是 (0, bb28a 4a ) . ( bb28a 4a ,) 综上所述, 当 a0,b0 时,函数 f(x)的单调递减区间是(0,); 当 a0,b0 时,函数 f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是; (0, 1 b) ( 1 b,) 当 a0 时,
8、函数 f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是 (0, b b28a 4a ) ,. b b28a 4a (2)由题意知,函数 f(x)在 x1 处取得最小值 由(1)知是 f(x)的唯一极小值点, bb28a 4a 故1,整理得 2ab1 即 b12a. bb28a 4a 令 g(x)24xln x, 则 g(x). 14x x 令 g(x)0,得 x , 1 4 当 00,g(x)单调递增; 1 4 当 x 时,g(x)0, 解之得 x2 或 x0 时,g(x)0,求 b 的最大值; (3)已知 1.414 20,g(x)0; ()当 b2 时, 若 x 满足 20,2 3 2 2 ln
9、20.692 8; 823 12 当 b1 时,ln(b1)ln, 32 4 b22b2 g(ln) 2(32)ln 20. 所以 Mmaxf(0),f(k) max1,(k1)ekk3 令 h(k)(k1)ekk31,则 h(k)k(ek3k), 令 (k)ek3k,则 (k)ek3e30, ( 1 2,1 ( 1 2,x 0) 当 k(x0,1)时,(k)0,h(1)0, ( 1 2) 1 2 e 7 8 所以 h(k)0 在上恒成立,当且仅当 k1 时取得“” ( 1 2,1 综上,函数 f(x)在0,k上的最大值 M(k1)ekk3. 例 5 (山东高考)设函数 f(x) k ex x
10、2 ( 2 xln x) (k 为常数,e2.718 28是自然对数的底数) (1)当 k0 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求 k 的取值范围 解 (1)函数 yf(x)的定义域为(0,) f(x)k x2ex2xex x4 ( 2 x2 1 x) xex2ex x3 k(x2) x2 (x2)(exkx) x3 由 k0 可得 exkx0, 所以当 x(0,2)时,f(x)0,函数 yf(x)单调递增 所以 f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,) (2)由(1)知,k0 时,函数 f(x)在(0,2)内单调递减, 故
11、 f(x)在(0,2)内不存在极值点; 当 k0 时,设函数 g(x)exkx,x0,), 因为 g(x)exkexeln k, 当 00,yg(x)单调递增 故 f(x)在(0,2)内不存在两个极值点; 当 k1 时,得 x(0,ln k)时,g(x)0,函数 yg(x)单调递增 所以函数 yg(x)的最小值为 g(ln k)k(1ln k) 函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点, 当且仅当Error!Error!解得 e0 时,f(x)与 f (x)的情况如下: x(,k)k(k,k)k(k,) f (x)00 f(x)4k2e10 所以,f(x)的单调递增区间是(,k)和(k,);
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