2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第1章 1.2.2 全称量词和存在量词含解析.pdf
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1、12.2 全称量词和存在量词 全称量词和存在量词 读教材读教材填要点填要点 1全称量词与存在量词全称量词与存在量词 (1)全称量词:“任意、“所有” 、“每一个”等叫作全称量词,数学上用符号“”表全称量词:“任意、“所有” 、“每一个”等叫作全称量词,数学上用符号“”表 示示 (2)存在量词 : “存在” 、 “某一个” 、 “至少有一个” 等叫作存在量词, 数学上用符号 “”存在量词 : “存在” 、 “某一个” 、 “至少有一个” 等叫作存在量词, 数学上用符号 “” 表示表示 2含有“全称量词”或“存在量词”的命题的否定含有“全称量词”或“存在量词”的命题的否定 (1)命题“命题“xI,
2、 p(x)”的否定是“”的否定是“xI,綈,綈 p(x)” ;” ; (2)命题“命题“xI,p(x)”的否定是“”的否定是“xI,綈,綈 p(x)” ” 小问题小问题大思维大思维 1命题命题 p:任何一个实数除以:任何一个实数除以 1 等于这个数;等于这个数;q:等边三角形的三边都相等它们各使 用了什么量词? :等边三角形的三边都相等它们各使 用了什么量词? 提示:命题提示:命题 p 使用了全称量词“任何一个” ,“等边三角形的三边相等”是指“任意一 个等边三角形的三边都相等” ,命题 使用了全称量词“任何一个” ,“等边三角形的三边相等”是指“任意一 个等边三角形的三边都相等” ,命题 q
3、 使用了全称量词“任意” 使用了全称量词“任意” 2下列命题使用了什么量词?下列命题使用了什么量词? p:存在实数:存在实数 x,使,使 x230; q:有的实数既不是质数也不是合数:有的实数既不是质数也不是合数 提示:命题提示:命题 p 使用存在量词“存在” ,命题使用存在量词“存在” ,命题 q 使用存在量词“有的” 使用存在量词“有的” 3如何用符号表示下列命题?如何用符号表示下列命题? (1)对任意实数对任意实数 ,有,有 sin2cos21; (2)存在实数存在实数 x,使得,使得2. 1 x2x1 提示:提示:(1)用符号表示为“用符号表示为“R,sin2cos21” ” (2)用
4、符号表示为“用符号表示为“xR,2” ” 1 x2x1 用“”或“”表述命题用“”或“”表述命题 将下列命题用量词符号“”或“”表示,并判断真假将下列命题用量词符号“”或“”表示,并判断真假 (1)实数的平方是非负数;实数的平方是非负数; (2)整数中整数中 1 最小;最小; (3)方程方程 ax22x10(a1)至少存在一个负根;至少存在一个负根; (4)对于某些实数对于某些实数 x,有,有 2x10. 自主解答自主解答 (1)xR,x20;真;真 (2)xZ,x1;假;假 (3)x0,有,有 ax22x10(a1);真;真 (4)xR,有,有 2x10;真;真 同一个含全称量词或存在量词的
5、命题,可能有不同的表述方法,现列表总结如下,在 实际应用中可以灵活选择: 同一个含全称量词或存在量词的命题,可能有不同的表述方法,现列表总结如下,在 实际应用中可以灵活选择: 命题命题 含全称量词的命题 “含全称量词的命题 “xA, p(x)” 含存在量词的命题 “ 含存在量词的命题 “xA,p(x)” 表述 方法 表述 方法 所有的所有的 xA, p(x)成立成立 对一切对一切 xA, p(x) 成立成立 对每一个对每一个 xA, p(x)成立成立 任意一个任意一个 xA, p(x)成立成立 凡凡 xA,都有,都有 p(x)成立成立 使使 p(x)成立成立 存在存在 xA, 至少有一个至少有
6、一个 xA, 使 , 使 p(x)成立成立 对有些对有些 xA, p(x)成立成立 对某个对某个 xA, p(x)成立成立 有一个有一个 xA, 使使 p(x)成立成立 1用全称量词或存在量词表示下列语句:用全称量词或存在量词表示下列语句: (1)不等式不等式 x2x10 恒成立;恒成立; (2)当当 x 为有理数时,为有理数时, x2 x1 也是有理数;也是有理数; 1 3 1 2 (3)等式等式 sin()sin sin 对有些角对有些角 , 成立;成立; (4)方程方程 3x2y10 有整数解有整数解 解:解:(1)对任意实数对任意实数 x,不等式,不等式 x2x10 成立成立 (2)对
7、任意有理数对任意有理数 x, x2 x1 是有理数是有理数 1 3 1 2 (3)存在角存在角 ,使,使 sin()sin sin 成立成立 (4)存在一对整数存在一对整数 x,y,使,使 3x2y10 成立成立 含全称量词或存在量词的命题的真假判断含全称量词或存在量词的命题的真假判断 (1)下列命题中的假命题是下列命题中的假命题是( ) AxR,lg x0 BxR,tan x1 CxR,x20 DxR,ex0 (2)下列命题中的真命题是下列命题中的真命题是( ) AR,函数,函数 f(x)sin(2x)都不是偶函数都不是偶函数 B,R,使,使 cos()cos cos C向量向量 a(2,1
8、),b(1,0),则,则 a 在在 b 方向上的投影为方向上的投影为 2 D“|x|1”是“”是“x1”的既不充分又不必要条件”的既不充分又不必要条件 自主解答自主解答 (1)对于对于 A,x1 时,时,lg x0; 对于对于 B,xk (kZ)时,时,tan x1; 4 对于对于 C,当,当 x0 时,时,x20,所以,所以 C 中命题为假命题;中命题为假命题; 对于对于 D,ex0 恒成立恒成立 (2)对于对于 A,当,当 时, 时,f(x)cos 2x,为偶函数,故,为偶函数,故 A 为假命题;为假命题; 2 对于对于 B,令,令 , , ,则 ,则 cos()cos,cos cos 0
9、, 4 2 ( ( 4) ) 2 2 2 2 2 2 cos()cos cos 成立,故成立,故 B 为真命题;为真命题; 对于对于 C,向量,向量 a(2,1),b(1,0),则,则 a 在在 b 方向上的投影为方向上的投影为2,故,故 C ab |b| 20 1 为假命题;为假命题; 对于对于 D, |x|1, 即, 即1x1, 故充分性成立, 若, 故充分性成立, 若 x1, 则, 则|x|1 不一定成立, 所以 “不一定成立, 所以 “|x|1” 为“ ” 为“x1”的充分不必要条件,故”的充分不必要条件,故 D 为假命题为假命题 答案答案 (1)C (2)B 全称命题与特称命题的真假
10、判断的技巧全称命题与特称命题的真假判断的技巧 (1)要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合 M 中的每个元素中的每个元素 x 验证验证 p(x)成立;成立; 但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合 M 中的一个中的一个 x0,使得,使得 p(x0)不成立即可不成立即可 (2)要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合 M 中,能找到一个中,能找到一个 x0使使 p(x0)成立 即可;否则,这个特称命题就是假命题 成立 即可;否则,这个特称命题就是假命题 2判断下列命
11、题是含全称量词还是存在量词,并判断其真假判断下列命题是含全称量词还是存在量词,并判断其真假 (1)一次函数都是单调函数;一次函数都是单调函数; (2)至少有一个实数至少有一个实数 x,使,使 x20; (3)xZ,log4x0; (4)xx|x 是无理数是无理数,x4是无理数是无理数 解:解:(1)命题中含有全称量词“都” ,命题为真命题命题中含有全称量词“都” ,命题为真命题 (2)命题中含有存在量词“至少有一个” ,当命题中含有存在量词“至少有一个” ,当 x0 时,时,x20,命题为真命题,命题为真命题 (3)命题中含有存在量词的符号“” ,当命题中含有存在量词的符号“” ,当 x4 时
12、,时,log4x10,命题为真命题,命题为真命题 (4)命题中含有全称量词的符号“” ,由于命题中含有全称量词的符号“” ,由于 x时时 x44 是有理数因此命题是假命是有理数因此命题是假命2 题题 含有量词的命题的否定含有量词的命题的否定 (1)设命题设命题 p:nN,n22n,则綈,则綈 p 为为( ) AnN,n22n BnN,n22n CnN,n22nDnN,n22n (2)(2016浙江高考浙江高考)命题“命题“xR,nN*,使得,使得 nx2”的否定形式是”的否定形式是( ) AxR,nN*,使得,使得 nx2 BxR,nN*,使得,使得 nx2 CxR,nN*,使得,使得 nx2
13、 DxR,nN*,使得,使得 nx2 自主解答自主解答 (1)因为 “因为 “xM, p(x)” 的否定是 “” 的否定是 “xM, 綈, 綈 p(x)” , 所以命题 “” , 所以命题 “nN, n22n”的否定是“”的否定是“nN,n22n” ,故选” ,故选 C. (2)由于特称命题的否定形式是全称命题, 全称命题的否定形式是特称命题, 所以 “由于特称命题的否定形式是全称命题, 全称命题的否定形式是特称命题, 所以 “x R,nN*,使得,使得 nx2”的否定形式为“”的否定形式为“xR,nN*,使得,使得 nx2” ” 答案答案 (1)C (2)D (1)“xM,p(x)”的否定为
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