2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第2章 2.1.2 椭圆的简单几何性质含解析.pdf
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1、21.2 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 第一课时 椭圆的简单几何性质第一课时 椭圆的简单几何性质 读教材读教材填要点填要点 1椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点的位置焦点在焦点在 x 轴上轴上焦点在焦点在 y 轴上轴上 图形图形 标准方程标准方程1(ab0) x2 a2 y2 b2 1(ab0) y2 a2 x2 b2 范围范围axa 且且bybbxb 且且aya 顶点顶点 A1(a,0), A2(a,0), B1(0, , b), B2(0,b) A1(0, , a), A2(0, a), B1(b,0), B2(b,0) 轴长轴长短轴长短轴长2b,长轴长,长轴长
2、2a 焦点焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c) 焦距焦距|F1F2|2c 对称性对称性对称轴对称轴 x 轴和轴和 y 轴,对称中心轴,对称中心(0,0) 离心率离心率e (0e1) c a 2椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度间的关系椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度间的关系 (1)当椭圆的离心率越接近于当椭圆的离心率越接近于 1,则椭圆越扁;,则椭圆越扁; (2)当椭圆的离心率越接近于当椭圆的离心率越接近于 0,则椭圆越圆,则椭圆越圆 小问题小问题大思维大思维 1 椭圆 椭圆 1的长轴长、 短轴长、 离心率各为何值?焦点坐标和顶点坐标各是什么?的长轴长、 短轴长、 离心率各为
3、何值?焦点坐标和顶点坐标各是什么? x2 25 y2 9 提示:根据椭圆的标准方程 提示:根据椭圆的标准方程 1, x2 25 y2 9 得得 a5,b3,则,则 c4.259 因此,长轴长因此,长轴长 2a10,短轴长,短轴长 2b6. 离心率离心率 e 0.8. c a 4 5 焦点为焦点为 F1(4,0)和和 F2(4,0), 顶点为顶点为 A1(5,0),A2(5,0),B1(0,3),B2(0,3) 2如何用如何用 a,b 表示离心率?表示离心率? 提示:由提示:由 e 得 得 e2, c a c2 a2 a2b2 a2 e .1( (b a) ) 2 e.1b 2 a2 3借助椭圆
4、图形分析,你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些?借助椭圆图形分析,你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些? 提示 : 短轴端点提示 : 短轴端点 B1和和 B2到中心到中心 O 的距离最近 ; 长轴端点的距离最近 ; 长轴端点 A1和和 A2到中心到中心 O 的距离最远的距离最远 4借助椭圆图形分析,你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值?借助椭圆图形分析,你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值? 提示:点提示:点(a,0),(a,0)与焦点与焦点 F1(c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点的距离分别是椭圆上的点与焦点 F1的最大距离 和最小距离,分别
5、为 的最大距离 和最小距离,分别为 ac 和和 ac. 由椭圆方程研究简单几何性质由椭圆方程研究简单几何性质 求椭圆求椭圆 x29y281 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标 自主解答自主解答 把已知方程化成标准方程为 把已知方程化成标准方程为 1,于是,于是 a9,b3,c6 x2 81 y2 9 81 9 ,2 所以椭圆的长轴长所以椭圆的长轴长 2a18,短轴长,短轴长 2b6,离心率,离心率 e . c a 22 3 两个焦点的坐标分别为两个焦点的坐标分别为 F1(6,0),F2(6,0),四个顶点的坐标分别为,四个顶点的坐标分别为 A1(9
6、,0),22 A2(9,0),B1(0,3),B2(0,3) 已知椭圆的方程讨论其性质时,应先把椭圆的方程化成标准形式,找准已知椭圆的方程讨论其性质时,应先把椭圆的方程化成标准形式,找准 a 与与 b,才能正 确地写出其相关性质在求顶点坐标和焦点坐标时,应注意焦点所在的坐标轴 ,才能正 确地写出其相关性质在求顶点坐标和焦点坐标时,应注意焦点所在的坐标轴 1已知椭圆已知椭圆 C1:1,设椭圆,设椭圆 C2与椭圆与椭圆 C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭的长轴长、短轴长分别相等,且椭 x2 100 y2 64 圆圆 C2的焦点在的焦点在 y 轴上轴上 (1)求椭圆求椭圆 C1的长半轴长、短半轴长、
7、焦点坐标及离心率;的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率; (2)写出椭圆写出椭圆 C2的方程,并研究其性质的方程,并研究其性质 解 :解 : (1)由椭圆由椭圆 C1:1 可得其长半轴长为可得其长半轴长为 10,短半轴长为,短半轴长为 8,焦点坐标,焦点坐标(6,0),(6,0), x2 100 y2 64 离心率离心率 e ; ; 3 5 (2)椭圆椭圆 C2:1, y2 100 x2 64 性质:范围:性质:范围:8x8,10y10; 对称性:关于对称性:关于 x 轴、轴、y 轴、原点对称;轴、原点对称; 顶点:长轴端点顶点:长轴端点(0,10),(0,10),短轴端点,短轴端点(8,0
8、),(8,0); 焦点:焦点:(0,6),(0,6); 离心率:离心率:e . 3 5 由椭圆的简单几何性质求方程由椭圆的简单几何性质求方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程:求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)过点过点(3,0),离心率,离心率 e; 6 3 (2)焦距为焦距为 6,在,在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直 自主解答自主解答 (1)当椭圆的焦点在当椭圆的焦点在 x 轴上时,轴上时, 因为因为 a3,e, 6 3 所以所以 c.从而从而 b2a2c23,6 所以椭圆的标准方程为 所以椭圆的标准方程为 1; x2 9 y2 3
9、 当椭圆的焦点在当椭圆的焦点在 y 轴上时,因为轴上时,因为 b3,e, 6 3 所以所以.所以所以 a227. a2b2 a 6 3 所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为1. y2 27 x2 9 综上可知,所求椭圆的标准方程为 综上可知,所求椭圆的标准方程为 1 或或1. x2 9 y2 3 y2 27 x2 9 (2)设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为1(ab0), x2 a2 y2 b2 由已知,得由已知,得 c3,b3,a2b2c218. 故所求椭圆的标准方程为 故所求椭圆的标准方程为 1. x2 18 y2 9 (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法利用椭圆的几
10、何性质求标准方程通常采用待定系数法 (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数” ,一般步骤是:确定 焦点所在的坐标轴;求出 根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数” ,一般步骤是:确定 焦点所在的坐标轴;求出 a2,b2的值;写出标准方程的值;写出标准方程 2求满足下列各条件的椭圆的标准方程求满足下列各条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长是短轴长的长轴长是短轴长的 2 倍且经过点倍且经过点 A(2,0); (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为 . 3 解:解:(1)若椭圆
11、的焦点在若椭圆的焦点在 x 轴上,轴上, 设方程为设方程为1(ab0), x2 a2 y2 b2 椭圆过点椭圆过点 A(2,0), 1,a2. 4 a2 2a22b,b1.方程为方程为y21. x2 4 若椭圆的焦点在若椭圆的焦点在 y 轴上轴上 设椭圆方程为设椭圆方程为1(ab0), y2 a2 x2 b2 椭圆过点椭圆过点 A(2,0),1. 02 a2 4 b2 b2,2a22b. a4. 方程为方程为1. y2 16 x2 4 综上所述,椭圆方程为综上所述,椭圆方程为y21 或或1. x2 4 y2 16 x2 4 (2)由已知由已知Error!Error!Error!Error! 从
12、而从而 b29, 所求椭圆的标准方程为 所求椭圆的标准方程为 1 或或1. x2 12 y2 9 x2 9 y2 12 求椭圆的离心率求椭圆的离心率 设椭圆设椭圆 C:1(ab0)的左、 右焦点分别为的左、 右焦点分别为 F1, F2, P 是是 C 上的点,上的点, PF2 x2 a2 y2 b2 F1F2,PF1F230,则,则 C 的离心率为的离心率为( ) A. B. C. D. 3 6 1 3 1 2 3 3 自主解答自主解答 法一:由题意可设 法一:由题意可设|PF2|m,结合条件可知,结合条件可知|PF1|2m,|F1F2|m,故,故3 离心率离心率 e . c a 2c 2a
13、|F1F2| |PF1|PF2| 3m 2m m 3 3 法二:由法二:由 PF2F1F2可知可知 P 点的横坐标为点的横坐标为 c,将,将 xc 代入椭圆方程可解得代入椭圆方程可解得 y,所,所 b2 a 以以|PF2|.又由又由PF1F230可得可得|F1F2|PF2|,故,故 2c,变形可得,变形可得(a2c2) b2 a 33 b2 a 3 2ac,等式两边同除以,等式两边同除以 a2,得,得(1e2)2e,解得,解得 e或或 e(舍去舍去)3 3 3 3 答案答案 D 若将本例中“若将本例中“PF2F1F2,PF1F230”改为“”改为“C 上存在点上存在点 P,使,使F1PF2为钝
14、角” , 求 为钝角” , 求 C 的离心率的取值范围的离心率的取值范围 解:由题意,知解:由题意,知 cb,c2b2. 又又 b2a2c2,c2a2c2,即,即 2c2a2.e2 , c2 a2 1 2 e.故故 C 的离心率的取值范围为的离心率的取值范围为. 2 2 ( ( 2 2 , ,1) ) 椭圆的离心率的求法椭圆的离心率的求法 求椭圆的离心率,关键是寻找求椭圆的离心率,关键是寻找 a 与与 c 的关系,一般地:的关系,一般地: (1)若已知若已知 a,c,则直接代入,则直接代入 e 求解; 求解; c a (2)若已知若已知 a,b,则由,则由 e 求解;求解;1( (b a) )
15、 2 (3)若已知若已知 a,b,c 的关系,则可转化为的关系,则可转化为 a,c 的齐次式,再转化为含的齐次式,再转化为含 e 的方程求解即可的方程求解即可 3 已知椭圆的两个焦点 已知椭圆的两个焦点 F1, F2与短轴的端点与短轴的端点 B 构成等腰直角三角形, 求椭圆的离心率构成等腰直角三角形, 求椭圆的离心率 解:如图,解:如图,|F1F2|2c, |BF1|BF2|2a,且,且BF1F2为等腰直角三角形为等腰直角三角形 |BF1|BF2|ac.2 离心率离心率 e . c a 2 2 解题高手解题高手 妙解题妙解题 什么是智慧,智慧就是简单、高效、不走弯路什么是智慧,智慧就是简单、高
16、效、不走弯路 椭圆椭圆1(ab0)的右顶点是的右顶点是 A(a,0),其上存在一点,其上存在一点 P,使,使APO90,求椭圆的,求椭圆的 x2 a2 y2 b2 离心率的取值范围离心率的取值范围 巧思巧思 由 由APO90可知:点可知:点 P(x,y)在以在以 OA 为直径的圆上,且为直径的圆上,且 P 点又在椭圆上点又在椭圆上 然后由圆的方程和椭圆的方程组成方程组 求出然后由圆的方程和椭圆的方程组成方程组 求出 P 点的横坐标 利用点的横坐标 利用 0. ab2 a2b2 2 2 又又0b0)的一个焦点和一个顶点, 则该椭圆的离的一个焦点和一个顶点, 则该椭圆的离 x2 a2 y2 b2
17、心率心率 e_. 解析:由题意知椭圆焦点在解析:由题意知椭圆焦点在 x 轴上,轴上, 在直线在直线 x2y20 中,中, 令令 y0 得得 c2;令;令 x0 得得 b1. a.e .b2c25 c a 25 5 答案:答案:2 5 5 5已知椭圆已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为,且轴上,离心率为,且 G 上一点到上一点到 G 的的 3 2 两个焦点的距离之和为两个焦点的距离之和为 12,则椭圆,则椭圆 G 的方程为的方程为_ 解析:解析:e,2a12,a6,b3, 3 2 椭圆方程为 椭圆方程为 1. x2 36 y2 9 答案: 答案: 1
18、 x2 36 y2 9 6 已知椭圆 已知椭圆 1(m0)的离心率的离心率 e, 求, 求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、的值及椭圆的长轴和短轴的长、 x2 2m 1 y2 m 3 2 焦点坐标、顶点坐标焦点坐标、顶点坐标 解:椭圆方程为 解:椭圆方程为 1, x2 2m 1 y2 m a22m1,b2m. c.a2b2m1 由由 e,得,得 ,解得,解得 m , , 3 2 m 1 2m 1 3 2 1 2 椭圆的标准方程为 椭圆的标准方程为 1. x2 2 y2 1 2 a,b,c.2 2 2 6 2 椭圆的长轴长为椭圆的长轴长为 2,短轴长为,短轴长为,22 两焦点坐标分别为两焦点坐标
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- 2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第2章 21.2椭圆的简单几何性质含解析 2019 数学 同步 湘教版 选修 讲义 精练 1.2 椭圆 简单 几何 性质 解析
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