2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第2章 2.2.2 双曲线的简单几何性质含解析.pdf
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1、22.2 双曲线的简单几何性质 双曲线的简单几何性质 第一课时 双曲线的简单几何性质第一课时 双曲线的简单几何性质 读教材读教材填要点填要点 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 标准方程标准方程1(a0,b0) x2 a2 y2 b2 1(a0,b0) y2 a2 x2 b2 图形图形 焦点焦点(c,0)(0,c) 焦距焦距2c2c 范围范围xa 或或 xa,yRya 或或 ya,xR 对称性对称性对称轴:对称轴:x 轴和轴和 y 轴,中心:轴,中心:(0,0) 顶点顶点(a,0)(0,a) 轴长轴长实轴长实轴长2a,虚轴长,虚轴长2b 离心率离心率e (1,) c a 性 质 性 质
2、渐近线渐近线y x b a y x a b 小问题小问题大思维大思维 1你能求出双曲线 你能求出双曲线 1 的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程吗?的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程吗? x2 4 y2 3 提示:由题意得提示:由题意得 a24,b23, 解得解得 a2,b,则,则 c.3a2b27 因此,实轴长因此,实轴长 2a4,虚轴长,虚轴长 2b2 . 3 离心率离心率 e . c a 7 2 渐近线方程为渐近线方程为 yx. 3 2 2如何用如何用 a,b 表示双曲线的离心率?表示双曲线的离心率? 提示:提示: e . c a a2b2 a2 1b 2 a2 3双曲线的离心率与开口
3、大小有关系吗?怎样反映这种关系?双曲线的离心率与开口大小有关系吗?怎样反映这种关系? 提示:提示:e ,当,当 e 越大时,双曲线开口越大,当越大时,双曲线开口越大,当 e 越小接近于越小接近于 1 时,双曲线时,双曲线 c a 1b 2 a2 开口越小开口越小 4双曲线双曲线1 与与1 的渐近线有什么关系?的渐近线有什么关系? x2 a2 y2 b2 y2 b2 x2 a2 提示:双曲线提示:双曲线1 与与1 的渐近线相同的渐近线相同 x2 a2 y2 b2 y2 b2 x2 a2 由双曲线的标准方程研究其几何性质由双曲线的标准方程研究其几何性质 求双曲线求双曲线 9y24x236 的顶点坐
4、标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率 和渐近线方程 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率 和渐近线方程 自主解答自主解答 将 将 9y24x236 变形为 变形为 1, x2 9 y2 4 即即1,a3,b2,c. x2 32 y2 22 13 因此顶点为因此顶点为 A1(3,0),A2(3,0), 焦点坐标焦点坐标 F1(,0),F2(,0),1313 实轴长是实轴长是 2a6,虚轴长是,虚轴长是 2b4, 离心率离心率 e , , c a 13 3 渐近线方程渐近线方程 y x x. b a 2 3 若将“若将“36”改换为”改换为“36”呢?呢? 解:把方程解:把方程 9y24x
5、236 化为标准形式为 化为标准形式为 1, y2 4 x2 9 a2,b3,c.13 顶点为顶点为(0,2),(0,2), 焦点坐标为焦点坐标为(0,),(0,),1313 实轴长是实轴长是 2a4, 虚轴长是虚轴长是 2b6, 离心率离心率 e . c a 13 2 渐近线方程为渐近线方程为 y x. 2 3 已知双曲线的方程求其几何性质时, 若不是标准形式的先化为标准方程, 确定方程中已知双曲线的方程求其几何性质时, 若不是标准形式的先化为标准方程, 确定方程中 a, b 的对应值,利用的对应值,利用 c2a2b2得到得到 c,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出双曲线的几何 性质 ,然后
6、确定双曲线的焦点位置,从而写出双曲线的几何 性质 1已知双曲线已知双曲线1 与与1,下列说法正确的是,下列说法正确的是( ) x2 9 y2 16 y2 16 x2 9 A两个双曲线有公共顶点两个双曲线有公共顶点 B两个双曲线有公共焦点两个双曲线有公共焦点 C两个双曲线有公共渐近线两个双曲线有公共渐近线 D两个双曲线的离心率相等两个双曲线的离心率相等 解析:双曲线解析:双曲线1 的焦点和顶点都在的焦点和顶点都在 x 轴上,而双曲线轴上,而双曲线1 的焦点和顶点的焦点和顶点 x2 9 y2 16 y2 16 x2 9 都在都在 y 轴上,因此可排除选项轴上,因此可排除选项 A、B;双曲线;双曲线
7、1 的离心率的离心率 e1 ,而双曲 ,而双曲 x2 9 y2 16 9 16 9 5 3 线线1 的离心率的离心率 e2 ,因此可排除选项 ,因此可排除选项 D;易得;易得 C 正确正确 y2 16 x2 9 16 9 16 5 4 答案:答案:C 2(2017北京高考北京高考)若双曲线若双曲线 x2 1 的离心率为,则实数的离心率为,则实数 m_. y2 m 3 解析:由双曲线的标准方程可知解析:由双曲线的标准方程可知 a21,b2m, 所以所以 e,解得,解得 m2.1b 2 a2 1 m3 答案:答案:2 由双曲线的几何性质求标准方程由双曲线的几何性质求标准方程 求适合下列条件的双曲线
8、的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程 (1)一个焦点为一个焦点为(0,13),且离心率为;,且离心率为; 13 5 (2)与双曲线与双曲线 x22y22 有公共渐近线,且过点有公共渐近线,且过点 M(2,2) 自主解答自主解答 (1)依题意可知,双曲线的焦点在依题意可知,双曲线的焦点在 y 轴上,且轴上,且 c13,又 ,又 , c a 13 5 所以所以 a5,b12,c2a2 故其标准方程为故其标准方程为1. y2 25 x2 144 (2)所求双曲线与双曲线所求双曲线与双曲线 x22y22 有公共渐近线,有公共渐近线, 设所求双曲线方程为设所求双曲线方程为 x22y2. 又双曲线过
9、点又双曲线过点 M(2,2),则,则 222(2)2,即,即 4. 所求双曲线方程为 所求双曲线方程为 1. y2 2 x2 4 (1)待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤是:待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤是: 根据焦点所在的位置设双曲线的标准方程;根据焦点所在的位置设双曲线的标准方程; 由已知条件求出待定系数由已知条件求出待定系数 a,b; 将求得的系数将求得的系数 a,b 代入所设方程,即得所求双曲线的标准方程代入所设方程,即得所求双曲线的标准方程 (2)如果已知双曲线的渐近线方程为如果已知双曲线的渐近线方程为 y x,那么此双曲线方程可设为,那么此双曲线方程可设为(0) b a x
10、2 a2 y2 b2 3根据下列条件,求双曲线的标准方程根据下列条件,求双曲线的标准方程 (1)已知双曲线的渐近线方程为已知双曲线的渐近线方程为 y x,焦距为,焦距为 10; 1 2 (2)已知双曲线与曲线已知双曲线与曲线1 共焦点,与曲线共焦点,与曲线1 共渐近线共渐近线 x2 24 y2 49 x2 36 y2 64 解:解:(1)当焦点在当焦点在 x 轴上时,设所求双曲线方程为轴上时,设所求双曲线方程为1(a0,b0) x2 a2 y2 b2 由渐近线方程为由渐近线方程为 y x,得,得 1 2 , ,2c10. b a 1 2 又又 c2a2b2,得,得 a220,b25, 双曲线的
11、标准方程为 双曲线的标准方程为 1; x2 20 y2 5 当焦点在当焦点在 y 轴上时,可得双曲线的方程为 轴上时,可得双曲线的方程为 1, y2 5 x2 20 所求双曲线的方程为所求双曲线的方程为 1 或 或 1. x2 20 y2 5 y2 5 x2 20 (2)由由1 得双曲线的焦点为得双曲线的焦点为(0,5) x2 24 y2 49 又双曲线又双曲线1 的渐近线为的渐近线为 y x, x2 36 y2 64 4 3 设所求双曲线的标准方程为设所求双曲线的标准方程为1(a0,b0), y2 a2 x2 b2 则:则:Error!Error!解得解得 b29,a216. 所求双曲线方程
12、为所求双曲线方程为1. y2 16 x2 9 求双曲线的离心率求双曲线的离心率 过双曲线过双曲线 C:1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,的右焦点作一条与其渐近线平行的直线, x2 a2 y2 b2 交交 C 于点于点 P.若点若点 P 的横坐标为的横坐标为 2a,则,则 C 的离心率为的离心率为_ 自主解答自主解答 如图所示,不妨设与渐近线平行的直线 如图所示,不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为的斜率为b a ,又直线,又直线 l 过右焦点过右焦点 F(c,0), 则直线, 则直线l的方程为的方程为y (xc) 因为点 因为点P的的 b a 横坐标为横坐标为2a,代入双曲
13、线方程得,代入双曲线方程得1,化简得,化简得 yb 或或 y 4a2 a2 y2 b2 33 b(点点 P 在在 x 轴下方,故舍去轴下方,故舍去), 故点, 故点 P 的坐标为的坐标为(2a,b), 代入直线方程得, 代入直线方程得b (2a33 b a c),化简可得离心率,化简可得离心率 e 2. c a 3 答案答案 23 求双曲线离心率的两种方法求双曲线离心率的两种方法 (1)直接法:若已知直接法:若已知 a,c 可直接利用可直接利用 e 求解,若已知 求解,若已知 a,b,可利用,可利用 e 求求 c a 1( (b a) ) 2 解解 (2)方程法:若无法求出方程法:若无法求出
14、a,b,c 的具体值,但根据条件可确定的具体值,但根据条件可确定 a,b,c 之间的关系, 可通过 之间的关系, 可通过 b2c2a2, 将关系式转化为关于, 将关系式转化为关于 a, c 的齐次方程, 借助于的齐次方程, 借助于 e , 转化为关于 , 转化为关于 e 的的 n c a 次方程求解次方程求解 注意注意 求离心率的范围时,常结合已知条件构建关于 求离心率的范围时,常结合已知条件构建关于 a,b,c 的不等关系的不等关系 4(1)已知双曲线已知双曲线1(a0,b0)若 若 2,求双曲线的离心率;,求双曲线的离心率; x2 a2 y2 b2 b a (2)设点设点 P 在双曲线在双
15、曲线1(a0, b0)的右支上, 双曲线两焦点的右支上, 双曲线两焦点 F1, F2, |PF1|4|PF2|, x2 a2 y2 b2 求双曲线离心率的取值范围求双曲线离心率的取值范围 解:解:(1)c,a2b2 e . c a a2b2 a2 1( (b a) ) 2 1 225 (2)由双曲线定义得:由双曲线定义得:|PF1|PF2|2a, 与已知与已知|PF1|4|PF2|联立解得:联立解得: |PF1| a,|PF2| a. 8 3 2 3 由由|PF1|PF2|F1F2 |得:得: a a2c,解得,解得 10,b0),依题意,依题意, x2 a2 y2 b2 得得 Error!E
16、rror!解得解得Error!Error! 所求双曲线方程为所求双曲线方程为1. x2 35 9 y2 35 法二:由渐近线方程法二:由渐近线方程 3xy0, 可设所求双曲线方程为可设所求双曲线方程为y2(0)(*) x2 1 9 将点将点 P(2,1)的坐标代入的坐标代入(*),得,得 35, 所求的双曲线方程为所求的双曲线方程为1. x2 35 9 y2 35 1双曲线 双曲线 1 的渐近线方程是的渐近线方程是( ) x2 25 y2 4 Ay x By x 2 5 5 2 CyxDyx 4 25 25 4 解析:由 解析:由 0,得,得 y2x2,即,即 y x. x2 25 y2 4
17、4 25 2 5 答案:答案:A 2双曲线双曲线1 的离心率是的离心率是( ) x2 25 y2 16 A.B. 3 5 5 3 C.D. 41 5 5 41 解析:解析:a225,b216,c2a2b241, e . c a 41 5 答案:答案:C 3已知双曲线已知双曲线 C:1 的离心率的离心率 e ,且其右焦点为 ,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲线,则双曲线 C 的方的方 x2 a2 y2 b2 5 4 程为程为( ) A. 1B.1 x2 4 y2 3 x2 9 y2 16 C. 1D. 1 x2 16 y2 9 x2 3 y2 4 解析:解析:e , ,F2(5,0), c
18、a 5 4 c5,a4,b2c2a29, 双曲线双曲线 C 的标准方程为 的标准方程为 1. x2 16 y2 9 答案:答案:C 4已知双曲线已知双曲线 x21(b0)的一条渐近线的方程为的一条渐近线的方程为 y2x,则,则 b_. y2 b2 解析:双曲线解析:双曲线 x21(b0)的渐近线方程为的渐近线方程为 ybx,比较系数得,比较系数得 b2. y2 b2 答案:答案:2 5已知双曲线的顶点到渐近线的距离为已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的 离心率为 ,则该双曲线的 离心率为_ 解析:画图可得相似直角三角形,因此有解析:
19、画图可得相似直角三角形,因此有OAAOFF, , 3, c a 6 2 即即 e3. 答案:答案:3 6求中心在原点,两顶点间距离为求中心在原点,两顶点间距离为 6,渐近线为,渐近线为 y3x 的双曲线的标准方程的双曲线的标准方程 解:因为两顶点间的距离为解:因为两顶点间的距离为 6, 即即 2a6,a3. 当焦点在当焦点在 x 轴上时,则有 轴上时,则有 3,b9. b a 双曲线方程为双曲线方程为1. x2 9 y2 81 当焦点在当焦点在 y 轴上时,轴上时, 则有 则有 3,b1. a b 双曲线方程为 双曲线方程为 x21. y2 9 一、选择题一、选择题 1若双曲线 若双曲线 1(
20、a0)的离心率为的离心率为 2,则,则 a 等于等于( ) x2 a2 y2 3 A2 B.3 C.D1 3 2 解析:很明显,双曲线的焦点在解析:很明显,双曲线的焦点在 x 轴上,轴上, 则离心率则离心率 e2,解得,解得 a1. a23 a 答案:答案:D 2(2017全国卷全国卷)若若 a1,则双曲线,则双曲线y21 的离心率的取值范围是的离心率的取值范围是( ) x2 a2 A(,)B(,2)22 C(1,)D(1,2)2 解析:由题意得双曲线的离心率解析:由题意得双曲线的离心率 e. a21 a 即即 e21. a21 a2 1 a2 a1,01, 1 a2 112,1e. 1 a2
21、 2 答案:答案:C 3 已知双曲线 已知双曲线1(a0, b0)的一个焦点为的一个焦点为 F(2,0), 且双曲线的渐近线与圆, 且双曲线的渐近线与圆(x2)2 x2 a2 y2 b2 y23 相切,则双曲线的方程为相切,则双曲线的方程为( ) A.1B. 1 x2 9 y2 13 x2 13 y2 9 C.y21Dx2 1 x2 3 y2 3 解析:由双曲线的渐近线解析:由双曲线的渐近线 y x 与圆与圆(x2)2y23 相切可知,相切可知, b a | |( ( b a) ) 2| | 1( (b a) ) 2 3 又又Error!Error!解得解得Error!Error! 故所求双曲
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