2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第2章 2.3.1 抛物线的定义与标准方程含解析.pdf
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1、23抛抛_物物_线线 23.1 抛物线的定义与标准方程 抛物线的定义与标准方程 读教材读教材填要点填要点 1抛物线的定义抛物线的定义 平面上到一定点平面上到一定点 F 和定直线和定直线 l(F l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线定点距离相等的点的轨迹叫作抛物线定点 F 叫作抛物叫作抛物 线的焦点,定直线线的焦点,定直线 l 叫作抛物线的准线叫作抛物线的准线 2抛物线的标准方程抛物线的标准方程 图象图象标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程 y22px(p0) ( ( p 2, ,0) ) xp 2 y22px(p0) ( ( p 2, ,0) ) xp 2 x22py(p0)( (0,
2、 , p 2) ) yp 2 x22py(p0)( (0, , p 2) ) yp 2 小问题小问题大思维大思维 1在抛物线定义中,若去掉条件“在抛物线定义中,若去掉条件“F l” ,点的轨迹还是抛物线吗?” ,点的轨迹还是抛物线吗? 提示 : 不一定是抛物线当直线提示 : 不一定是抛物线当直线 l 经过点经过点 F 时,点的轨迹是过定点时,点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线且垂直于定直线 l 的一条直线;的一条直线;l 不经过点不经过点 F 时,点的轨迹是抛物线时,点的轨迹是抛物线 2 到定点 到定点 A(3,0)和定直线和定直线 l: x3 距离相等的点的轨迹是什么?轨迹方程又是什么?距
3、离相等的点的轨迹是什么?轨迹方程又是什么? 提示:轨迹是抛物线,轨迹方程为:提示:轨迹是抛物线,轨迹方程为:y212x. 3若抛物线的焦点坐标为若抛物线的焦点坐标为(2,0),则它的标准方程是什么?,则它的标准方程是什么? 提示:由焦点在提示:由焦点在 x 轴正半轴上,轴正半轴上, 设抛物线的标准方程为设抛物线的标准方程为 y22px(p0), 其焦点坐标为,其焦点坐标为, ( ( p 2, ,0) ) 则 则 2,故,故 p4. p 2 所以抛物线的标准方程是所以抛物线的标准方程是 y28x. 求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程 求满足下列条件的抛物线的标准方程求满足下列条件的抛物线的标准
4、方程 (1)过点过点(3,2); (2)焦点在直线焦点在直线 x2y40 上上 自主解答自主解答 (1)当抛物线的焦点在当抛物线的焦点在 x 轴上时,轴上时, 可设抛物线方程为可设抛物线方程为 y22px(p0), 把点把点(3,2)代入得代入得 222p(3),p . 2 3 所求抛物线方程为所求抛物线方程为 y2 x. 4 3 当抛物线的焦点在当抛物线的焦点在 y 轴上时,轴上时, 可设抛物线方程为可设抛物线方程为 x22py(p0), 把把(3,2)代入得代入得(3)22p2, p . 9 4 所求抛物线方程为所求抛物线方程为 x2 y. 9 2 综上,所求抛物线的方程为综上,所求抛物线
5、的方程为 y2 x 或或 x2 y. 4 3 9 2 (2)直线直线 x2y40 与与 x 轴的交点为轴的交点为(4,0), 与与 y 轴的交点为轴的交点为(0,2),故抛物线焦点为,故抛物线焦点为(4,0)或或(0,2), 当焦点为当焦点为(4,0)时,设抛物线方程为时,设抛物线方程为 y22px(p0), 4,p8,抛物线方程为,抛物线方程为 y216x, p 2 当焦点为当焦点为(0,2)时,设抛物线方程为时,设抛物线方程为 x22py(p0), 2,p4,抛物线方程为,抛物线方程为 x28y, p 2 综上,所求抛物线方程为综上,所求抛物线方程为 y216x 或或 x28y. 若把本例
6、若把本例(2)中的“焦点”改为“准线与坐标轴的交点” ,如何求解?中的“焦点”改为“准线与坐标轴的交点” ,如何求解? 解:直线解:直线 x2y40 与与 x 轴的交点是轴的交点是(4,0),与,与 y 轴的交点是轴的交点是(0,2), 则抛物线的准线方程为则抛物线的准线方程为 x4 或或 y2. 当准线方程为当准线方程为 x4 时,可设方程为时,可设方程为 y22px, 则 则 4,p8,抛物线方程为,抛物线方程为 y216x. p 2 当准线方程为当准线方程为 y2 时,可设方程为时,可设方程为 x22py, 则则2,p4,抛物线方程为,抛物线方程为 x28y. p 2 综上,抛物线的标准
7、方程为综上,抛物线的标准方程为 y216x 或或 x28y. 求抛物线标准方程的方法求抛物线标准方程的方法 (1)当焦点位置确定时,可利用待定系数法,设出抛物线的标准方程,由已知条件建立 关于参数 当焦点位置确定时,可利用待定系数法,设出抛物线的标准方程,由已知条件建立 关于参数 p 的方程,求出的方程,求出 p 的值,进而写出抛物线的标准方程的值,进而写出抛物线的标准方程 (2)当焦点位置不确定时, 可设抛物线的方程为当焦点位置不确定时, 可设抛物线的方程为 y2mx 或或 x2ny, 利用已知条件求出, 利用已知条件求出 m, n 的值的值 1若抛物线若抛物线 y22px 的焦点坐标为的焦
8、点坐标为(1,0),则,则 p_,准线方程为,准线方程为_ 解析:因为抛物线的焦点坐标为解析:因为抛物线的焦点坐标为(1,0),所以 ,所以 1,p2,准线方程为,准线方程为 x 1. p 2 p 2 答案:答案:2 x1 2抛物线的焦点抛物线的焦点 F 在在 x 轴上,直线轴上,直线 y3 与抛物线交于点与抛物线交于点 A,|AF|5,求抛物线的 标准方程 ,求抛物线的 标准方程 解:设所求焦点在解:设所求焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程为轴上的抛物线的标准方程为 y22ax(a0),点,点 A(m,3) 由抛物线的定义得由抛物线的定义得|AF|5, | |m a 2| | 又又(3)22
9、am,a1 或或 a9. 所求抛物线的标准方程为所求抛物线的标准方程为 y22x 或或 y218x. 已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程 根据下列抛物线方程,分别求出其焦点坐标和准线方程根据下列抛物线方程,分别求出其焦点坐标和准线方程 (1)y24x;(2)2y2x0. 自主解答自主解答 (1)y24x,抛物线的焦点在,抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上,轴的负半轴上, 又又 2p4,p2. 焦点坐标为焦点坐标为(1,0),准线方程为,准线方程为 x1. (2)由由 2y2x0,得,得 y2 x. 1 2 抛物线的焦点在抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,轴的正半
10、轴上, 又又 2p , ,p 1 2 1 4 焦点坐标为,准线方程为焦点坐标为,准线方程为 x . ( ( 1 8, ,0) ) 1 8 此类问题是抛物线标准方程的应用,一是要理解抛物线标准方程的结构形式,二是要 理解 此类问题是抛物线标准方程的应用,一是要理解抛物线标准方程的结构形式,二是要 理解 p 的几何意义,三是要注意焦点与坐标准线方程之间的关系的几何意义,三是要注意焦点与坐标准线方程之间的关系 步骤:化为标准方程;明确开口方向;求步骤:化为标准方程;明确开口方向;求 p 值;写焦点坐标和准线方程值;写焦点坐标和准线方程 3求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:求下列抛物线的焦点坐标和准线
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