2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第3章 3.2 空间向量的坐标含解析.pdf
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1、32空间向量的坐标空间向量的坐标 读教材读教材填要点填要点 1定理定理 1 设设 e1,e2,e3是空间中三个两两垂直的单位向量,则是空间中三个两两垂直的单位向量,则 (1)空间中任意一个向量空间中任意一个向量 v 可以写成这三个向量的线性组合:可以写成这三个向量的线性组合:vxe1ye2ze3. (2)上述表达式中的系数上述表达式中的系数x, y, z由由v唯一决定, 即 : 如果唯一决定, 即 : 如果vxe1ye2ze3xe1ye2 ze3,则,则 xx,yy,zz. 2定理定理 2(空间向量基本定理空间向量基本定理) 设设 e1,e2,e3是空间中三个不共面的单位向量,则是空间中三个不
2、共面的单位向量,则 (1)空间中任意一个向量空间中任意一个向量 v 可以写成这三个向量的线性组合:可以写成这三个向量的线性组合:vxe1ye2ze3. (2)上述表达式中的系数上述表达式中的系数x, y, z由由v唯一决定, 即 : 如果唯一决定, 即 : 如果vxe1ye2ze3xe1ye2 ze3,则,则 xx,yy,zz. 3空间向量运算的坐标公式空间向量运算的坐标公式 (1) 向量的加减法:向量的加减法: (x1,y1,z1)(x2,y2,z2)(x1x2,y1y2,z1z2), (x1,y1,z1)(x2,y2,z2)(x1x2,y1y2,z1z2) (2)向量与实数的乘法:向量与实
3、数的乘法: a(x,y,z) (ax,ay,az) (3)向量的数量积:向量的数量积: (x1,y1,z1)(x2,y2,z2)x1x2y1y2z1z2. (4)向量向量 v(x,y,z)的模的公式:的模的公式: |v|.x2y2z2 (5)向量向量(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)所成的角所成的角 的公式:的公式: cos . x1x2 y 1y2 z 1z2 x21 y 2 1 z 2 1x 2 2 y 2 2 z 2 2 4点的坐标与向量坐标点的坐标与向量坐标 (1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向
4、量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标点的坐标 (2)两点两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)的距离的距离 dAB为:为: dAB. x 2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 (3)线段的中点坐标,等于线段两端点坐标的平均值线段的中点坐标,等于线段两端点坐标的平均值 小问题小问题大思维大思维 1空间向量的基是唯一的吗?空间向量的基是唯一的吗? 提示:由空间向量基本定理可知,任意三个不共面向量都可以组成空间的一组基,所 以空间的基有无数个,因此不唯一 提示:由空间向量基本定理可知,任意三个不共面向量都可以组成空间的一组基,所 以空间的基有无数个,因此不唯一 2命题命题
5、p:a,b,c为空间的一个基底;命题为空间的一个基底;命题 q:a,b,c 是三个非零向量,则命题是三个非零向量,则命题 p 是是 q 的什么条件?的什么条件? 提示:提示:pq,但,但 q p,即,即 p 是是 q 的充分不必要条件的充分不必要条件 3空间向量的坐标运算与坐标原点的位置是否有关系?空间向量的坐标运算与坐标原点的位置是否有关系? 提示:空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关,因为一个确定的几何体,其 线线、线面、面面的位置关系是固定的,坐标系的不同,只会影响其计算的繁简 提示:空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关,因为一个确定的几何体,其 线线、线面、面面的位置关系是
6、固定的,坐标系的不同,只会影响其计算的繁简 4平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别?平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别? 提示:平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算,数乘运算,数量积运算,其算 理是相同的但空间向量要比平面向量多一竖坐标,竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一 样的 提示:平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算,数乘运算,数量积运算,其算 理是相同的但空间向量要比平面向量多一竖坐标,竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一 样的 空间向量基本定理的应用空间向量基本定理的应用 空间四边形空间四边形 OABC 中,中, G, H 分别是分别是ABC,
7、, OBC 的重心, 设的重心, 设a,OA OB b,c,试用向量,试用向量 a,b,c 表示向量和表示向量和.OC OG GH 自主解答自主解答 , ,OG OA AG 而,而,.AG 2 3 AD AD OD OA D 为为 BC 的中点,的中点, ()OD 1 2 OB OC OG OA 2 3 AD ()OA 2 3 OD OA ()OA 2 3 1 2 OB OC 2 3 OA () (abc) 1 3 OA OB OC 1 3 而,而,GH OH OG 又又 () (bc)OH 2 3 OD 2 3 1 2 OB OC 1 3 (bc) (abc) a.GH 1 3 1 3 1
8、3 (abc); a.OG 1 3 GH 1 3 本例条件不变,若本例条件不变,若 E 为为 OA 的中点,试用的中点,试用 a,b,c 表示和表示和.DE EG 解:如图,解:如图,DE OE OD () 1 2 OA 1 2 OB OC a b c. 1 2 1 2 1 2 EG OG OE () 1 3 OA OB OC 1 2 OA 1 6 OA 1 3 OB 1 3 OC a b c. 1 6 1 3 1 3 用基表示向量时:用基表示向量时: (1)若基确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘 向量的运算律进行 若基确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法
9、则和平行四边形法则,以及数乘 向量的运算律进行 (2)若没给定基时, 首先选择基, 选择时, 要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量, 再就是看基向量的模及其夹角已知或易求 若没给定基时, 首先选择基, 选择时, 要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量, 再就是看基向量的模及其夹角已知或易求 1.如图所示, 已知平行六面体如图所示, 已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1, 设, 设a,b,AB AD c, P 是是 CA1的中点,的中点,M 是是 CD1的中点用基底的中点用基底a,b,c表示以下向量:表示以下向量:AA1 (1);(2).AP AM 解:连接解:连接 AC,AD1, (
10、1) ()AP 1 2 AC AA1 () 1 2 AB AD AA1 (abc) 1 2 (2) ()AM 1 2 AC AD1 (2) 1 2 AB AD AA1 ab c. 1 2 1 2 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算 已知空间三点已知空间三点 A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),设,设 a,b.AB AC (1)设设|c|3,c,求,求 c.BC (2)若若 kab 与与 ka2b 互相垂直,求互相垂直,求 k. 自主解答自主解答 (1)(2,1,2)且且 c,BC BC 设设 c(2,2)BC |c|3|3. 2 2 2 2 2 解得解得 1, c(2,1,
11、2)或或 c(2,1,2) (2)a(1,1,0),b(1,0,2),AB AC kab(k1,k,2),ka2b(k2,k,4) (kab)(ka2b), (kab)(ka2b)0. 即即(k1,k,2)(k2,k,4)2k2k100. 解得解得 k2 或或 k . 5 2 本例条件不变,若将本例条件不变,若将(2)中“互相垂直”改为“互相平行” ,中“互相垂直”改为“互相平行” ,k 为何值?为何值? 解:解:kab(k1,k,2),ka2b(k2,k,4), 设设 kab(ka2b),则,则Error!Error!k0. 已知两个向量垂直已知两个向量垂直(或平行或平行)时,利用坐标满足的
12、条件可得到方程时,利用坐标满足的条件可得到方程(组组)进而求出参数的 值这是解决已知两向量垂直 进而求出参数的 值这是解决已知两向量垂直(或平行或平行)求参数的值的一般方法在求解过程中一定注意合理 应用坐标形式下的向量运算法则,以免出现计算错误 求参数的值的一般方法在求解过程中一定注意合理 应用坐标形式下的向量运算法则,以免出现计算错误 2若若 a(1,5,1),b(2,3,5)分别求满足下列条件的实数分别求满足下列条件的实数 k 的值:的值: (1)(kab)(a3b); (2)(kab)(a3b) 解:解:kab(k2,5k3,k5), a3b(132,533,135) (7,4,16)
13、(1)若若(kab)(a3b), 则,则, k 2 7 5k 3 4 k5 16 解得解得 k . 1 3 (2)若若(kab)(a3b), 则则(k2)7(5k3)(4)(k5)(16)0, 解得解得 k. 106 3 点的坐标与向量坐标点的坐标与向量坐标 在直三棱柱在直三棱柱ABOA1B1O1中, 中, AOB , , AO4, BO2, AA1 2 4, D 为为 A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求,的的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求,的DO A1B 坐标坐标 自主解答自主解答 (1)()DO OD OO1 O1D 1 2 ( () .OO1 1 2 OA 1 2
14、OB 又又|4,|4,|2,OO1 OA OB (2,1,4)DO (2)()A1B OB OA1 OB OA AA1 .OB OA AA1 又又|2,|4,|4,OB OA AA1 (4,2,4)A1B 用坐标表示空间向量的方法步骤为:用坐标表示空间向量的方法步骤为: 3如图所示,如图所示, PA垂直于正方形垂直于正方形ABCD所在的平面,所在的平面,M, N分别是分别是AB, PC 的中点,并且的中点,并且 PAAB1.试建立适当的空间直角坐标系,求向量 的坐标 试建立适当的空间直角坐标系,求向量 的坐标MN 解:解:PAABAD1,PA平面平面 ABCD,ABAD, ,是两两垂直的单位向
15、量,是两两垂直的单位向量AB AD AP 设设e1,e2,e3,以,以e1,e2,e3为基底建立空间直角坐标系为基底建立空间直角坐标系 Axyz.AB AD AP 法一:法一:MN MA AP PN 1 2 AB AP 1 2 PC () 1 2 AB AP 1 2 PA AC () 1 2 AB AP 1 2 PA AB AD e2 e3, 1 2 AD 1 2 AP 1 2 1 2 .MN ( (0, , 1 2, , 1 2) ) 法二:如图所示,连接法二:如图所示,连接 AC,BD 交于点交于点 O. 则则 O 为为 AC,BD 的中点,连接的中点,连接 MO,ON, ,MO 1 2
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