2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第3章 章末小结含解析.pdf
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1、1空间向量基本定理空间向量基本定理 设设 e1,e2,e3是空间中的三个不共面的单位向量,则是空间中的三个不共面的单位向量,则 (1)空间中任意一个向量空间中任意一个向量 v 可以写成这三个向量的线性组合:可以写成这三个向量的线性组合: vxe1ye2ze3. (2)上述表达式中的系数上述表达式中的系数x, y, z由由v唯一决定, 即 : 如果唯一决定, 即 : 如果vxe1ye2ze3xe1ye2 ze3,则,则 xx,yy,zz. 2空间向量的坐标运算公式空间向量的坐标运算公式 (1)加减法:加减法:(x1,y1,z1)(x2,y2,z2)(x1x2,y1y2,z1z2) (2)与实数的
2、乘法:与实数的乘法:a(x,y,z)(ax,ay,az) (3)数量积:设数量积:设 v(x,y,z),则,则|v|.x2y2z2 (4)向量的夹角:向量的夹角:cos v1v2 |v1|v2| . x1x2y1y2z1z2 x2 1y2 1z2 1x2 2y2 2z2 2 3空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用 设直线设直线 l,m 的方向向量分别为的方向向量分别为 a,b,平面,平面 , 的法向量分别为的法向量分别为 u,则,则 线线平行线线平行lmabakb,kR 线面平行线面平行lauau0 面面平行面面平行uvukv,kR 线线垂直线线垂直lmabab0 线面垂直线面
3、垂直lauaku,kR 面面垂直面面垂直uv uv0 线线夹角线线夹角l,m 的夹角为的夹角为 ,cos ( (0 2) ) |ab| |a|b| 线面夹角线面夹角l, 的夹角为的夹角为 ,sin ( (0 2) ) |au| |a|u| 面面夹角面面夹角, 的夹角为的夹角为 ,cos ( (0 2) ) |u| |u| 其中,线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合其中,线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合 空间向量与空间位置关系空间向量与空间位置关系 例例 1 如图所示, 已知 如图所示, 已知 PA平面平面 ABCD, ABCD 为矩形
4、,为矩形, PAAD, M, N 分别为分别为 AB, PC 的中点求证:的中点求证: (1)MN平面平面 PAD; (2)平面平面 PMC平面平面 PDC. 证明证明 如图所示, 以 如图所示, 以 A 为坐标原点,为坐标原点, AB, AD, AP 所在的直线分别为所在的直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系 Axyz. 设设 PAADa,ABb.则有,则有, (1)P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0) M,N 分别为分别为 AB,PC 的中点,的中点, M,N. ( ( b 2, ,0, ,0) ) ( (
5、 b 2, , a 2, , a 2) ) ,(0,0,a),(0,a,0),MN ( (0, , a 2, , a 2) ) AP AD .MN 1 2 AD 1 2 AP 又又MN平面平面 PAD,MN平面平面 PAD. (2)由由(1)可知:可知: (b,a,a),PC PM ( ( b 2, ,0, , a) ) (0,a,a)PD 设平面设平面 PMC 的一个法向量为的一个法向量为 n1(x1,y1,z1),则,则 Error!Error!Error!Error! 令令 z1b,则,则 n1(2a,b,b) 设平面设平面 PDC 的一个法向量为的一个法向量为 n2(x2,y2,z2)
6、,则,则 Error!Error!Error!Error! 令令 z21,则,则 n2(0,1,1), n1n20bb0,n1n2. 平面平面 PMC平面平面 PDC. (1)用向量法证明立体几何中的平行或垂直问题,主要应用直线的方向向量和平面的法 向量,同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理 用向量法证明立体几何中的平行或垂直问题,主要应用直线的方向向量和平面的法 向量,同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理 (2)用向量法证明平行或垂直的步骤:建立空间图形与空间向量的关系用向量法证明平行或垂直的步骤:建立空间图形与空间向量的关系(通过取基或建 立空间直角坐标系的方法 通
7、过取基或建 立空间直角坐标系的方法), 用空间向量或以坐标形式表示问题中涉及的点、 直线和平面 ; 通过向量或坐标,研究向量之间的关系;根据的结论得出立体几何问题的结论 , 用空间向量或以坐标形式表示问题中涉及的点、 直线和平面 ; 通过向量或坐标,研究向量之间的关系;根据的结论得出立体几何问题的结论 (3)在用向量法研究线面平行或垂直时, 上述判断方法不唯一, 如果要证直线在用向量法研究线面平行或垂直时, 上述判断方法不唯一, 如果要证直线 l平面平面 , 只需证 , 只需证 la,l ,其中,其中 l 是直线是直线 l 的方向向量,的方向向量,a;如果要证;如果要证 l,只需在平面,只需在
8、平面 内选 取两个不共线向量 内选 取两个不共线向量 m,n,证明,证明Error!Error!即可即可 1.如图所示, 在棱长为如图所示, 在棱长为 2 的正方体的正方体 ABCDA1B1C1D1中,中, O 为为 AC 与与 BD 的交点,的交点, G 为为 CC1 的中点,求证:的中点,求证:A1O平面平面 GBD. 证明:法一:设证明:法一:设a,b,c,A1B1 A1D1 A1A 则则 ab0,bc0,ac0, ()A1O A1A AO A1A 1 2 AB AD c (ab), 1 2 ba,BD AD AB ( ) (ab) c,OG OC CG 1 2 AB AD 1 2CC
9、1 1 2 1 2 (ba)A1O BD ( (c 1 2a 1 2b) ) c(ba) (ab)(ba) 1 2 cbca (b2a2) (|b|2|a|2)0, 1 2 1 2 .A1OBD.A1O BD 同理可证同理可证.A1OOG.A1O OG 又又 OGBDO, A1O平面平面 GBD. 法二:如图所示,以法二:如图所示,以 D 为坐标原点,为坐标原点,DA,DC,DD1分别为分别为 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系,则 轴建立如图 所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),G(0,2,1),O(1,1,0), 所以
10、所以(1,1,2),(2,2,0), , (0,2,1),A1O DB DG 则则(1,1,2)(2,2,0)0,A1O DB (1,1,2)(0,2,1)0,A1O DG 所以,所以,.即即 A1ODB,A1ODG.A1O DB A1O DG 又又 DBDGD,故,故 A1O平面平面 GBD. 法三:以法三:以 D 为坐标原点,为坐标原点,DA,DC,DD1分别为分别为 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系,则 轴建立如图所示的空间 直角坐标系,则 D(0,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),G(0,2,1),O(1,1,0), 所以所以(1,1,2),(
11、2,2,0),(0,2,1)A1O DB DG 设向量设向量 n(x,y,z)为平面为平面 GBD 的一个法向量,的一个法向量, 则则 n,n.DB DG 即即 n0,n0.DB DG 所以所以Error!Error! 令令 x1,则,则 y1,z2, 所以所以 n(1,1,2) 所以所以n.即即n.A1O A1O 所以所以 A1O平面平面 GBD. 2.如图,正方体如图,正方体 ABCDA1B1C1D1中,中,M,N 分别为分别为 AB,B1C 的中点的中点 (1)用向量法证明平面用向量法证明平面 A1BD平面平面 B1CD1; (2)用向量法证明用向量法证明 MN平面平面 A1BD. 证明
12、:证明:(1)在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中,中, ,BD AD AB B1D1 A1D1 A1B1 又,又,AD A1D1 AB A1B1 BD B1D1 BDB1D1. 同理可证同理可证 A1BD1C, 又又 BDA1BB,B1D1D1CD1, 所以平面所以平面 A1BD平面平面 B1CD1. (2) ()MN MB BC CN 1 2 AB AD 1 2 CB BB1 () 1 2 AB AD 1 2 AD AA1 . 1 2 AB 1 2 AD 1 2AA 1 设设a,b,c,则,则 (abc)AB AD AA1 MN 1 2 又又ba,BD AD AB (abc)(ba
13、)MN BD 1 2 (b2a2cbca) 1 2 又又A1AAD,A1AAB,cb0,ca0. 又又|b|a|,b2a2.b2a20. 0.MNBD.MN BD 同理可证同理可证 MNA1B. 又又 A1BBDB, MN平面平面 A1BD. 空间向量与空间角空间向量与空间角 例例 2 四棱锥 四棱锥 PABCD 的底面是正方形,的底面是正方形,PA底面底面 ABCD,PAAD2,点,点 M,N 分别在棱分别在棱 PD,PC 上,且上,且 PC平面平面 AMN. (1)求求 AM 与与 PD 所成的角;所成的角; (2)求二面角求二面角 PAMN 的余弦值;的余弦值; (3)求直线求直线 CD
14、 与平面与平面 AMN 所成角的余弦值所成角的余弦值 解解 建立如图所示的空间直角坐标系 建立如图所示的空间直角坐标系 A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),D(0,2,0), (2,2,2),(0,2,2)PC PD 设设 M(x1,y1,z1),PM PD 则则(x1,y1,z12)(0,2,2) x10,y12,z122. M(0,2,22) PC平面平面 AMN,PC AM 0.PC AM (2,2,2)(0,2,22)042(22)0. .M(0,1,1) 1 2 设设 N(x2,y2,z2),t,PN PC 则则(x2,y2,z22)t(2,2,2) x22t,y2
15、2t,z22t2. N(2t,2t,22t) ,0.PC AN AN PC (2t,2t,22t)(2,2,2)0. 4t4t2(22t)0, t .N. 1 3 ( ( 2 3, , 2 3, , 4 3) ) (1)cos,0,AM PD 0, ,1, ,1 0, ,2, , 2 01 1 04 4 AM 与与 PD 所成角为所成角为 90. (2)AB平面平面 PAD,PC平面平面 AMN, ,分别是平面,分别是平面 PAD,平面,平面 AMN 的法向量的法向量AB PC (2,0,0)(2,2,2)4,AB PC |2,|2,AB PC 3 cos,.AB PC 4 43 3 3 二面
16、角二面角 PAMN 的余弦值为的余弦值为. 3 3 (3)是平面是平面 AMN 的法向量,的法向量,PC CD 与平面与平面 AMN 所成角即为所成角即为 CD 与与 PC 所成角的余角所成角的余角 (2,0,0)(2,2,2)4,CD PC cos,.CD PC 4 2 23 3 3 直线直线 CD 与与 PC 所成角的正弦值为,所成角的正弦值为, 6 3 即直线即直线 CD 与平面与平面 AMN 所成角的余弦值为所成角的余弦值为. 6 3 (1)求异面直线所成的角:求异面直线所成的角: 设两异面直线的方向向量分别为设两异面直线的方向向量分别为 n1,n2,那么这两条异面直线所成的角为,那么
17、这两条异面直线所成的角为 n1,n2 或 或 n1,n2 , , cos |cosn1,n2|. (2)求二面角的大小:求二面角的大小: 如图, 设平面如图, 设平面 , 的法向量分别为的法向量分别为 n1, n2.因为两平面的法向量所 成的角就等于平面 因为两平面的法向量所 成的角就等于平面 , 所成的锐二面角所成的锐二面角 , 所以, 所以 cos |cosn1, n2 |. (3)求斜线与平面所成的角:求斜线与平面所成的角: 如图,设平面如图,设平面的法向量为的法向量为n1, 斜线, 斜线OA的方向向量为的方向向量为n2, 斜线, 斜线OA 与平面所成的角为与平面所成的角为 , 则 ,
18、则 sin |cosn1,n2|. 3.如图所示,在矩形如图所示,在矩形 ABCD 中,中,AB4,AD3,沿对角线,沿对角线 AC 折 起,使 折 起,使 D 在平面在平面 ABC 上的射影上的射影 E 恰好落在恰好落在 AB 上,求这时二面角上,求这时二面角 BACD 的余弦值的余弦值 解:如图所示,作解:如图所示,作 DGAC 于于 G,BHAC 于于 H. 在在 RtADC 中,中, AC5,AD2DC2 cosDAC . AD AC 3 5 在在 RtAGD 中,中, AGADcosDAC3 , , 3 5 9 5 DG .AD2AG2981 25 12 5 同理,同理,cosBCA
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