2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练:第4章 4.3.1 利用导数研究函数的单调性含解析.pdf
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1、43导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 43.1 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性 读教材读教材填要点填要点 函数在区间函数在区间(a,b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系:上的单调性与其导函数的正负有如下关系: 导函数的正负导函数的正负函数在函数在(a,b)上的单调性上的单调性 f(x)0单调递增单调递增 f(x)0,则,则 f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗?在此区间上单调递增,反之也成立吗? 提示 : 不一定成立比如提示 : 不一定成立比如 yx3在在 R 上为增函数,但其在上为增函数,但其在 0 处的导数等于零也就是说处的导数等于零也就是说 f(x
2、)0 是是 yf(x)在某个区间上递增的充分不必要条件在某个区间上递增的充分不必要条件 2右图为导函数右图为导函数 yf(x)的图象,则函数的图象,则函数 yf(x)的单调区间是 什么? 的单调区间是 什么? 提示:单调递增区间:提示:单调递增区间:(,3,2,1,3,); 单调递减区间:单调递减区间:3,2,1,3 判断判断(或证明或证明)函数的单调性函数的单调性 已知函数已知函数 f(x)ax33x21 ,讨论函数 ,讨论函数 f(x)的单调性的单调性 3 a 自主解答自主解答 由题设知由题设知 a0.f(x)3ax26x3ax, ( (x 2 a) ) 令令 f(x)0,得,得 x10,
3、x2 . 2 a 当当 a0 时,若时,若 x(,0),则,则 f(x)0. f(x)在区间在区间(,0)上为增函数上为增函数 若若 x,则,则 f(x)0, ( ( 2 a, , ) ) f(x)在区间上是增函数在区间上是增函数 ( ( 2 a, , ) ) 当当 a0. ( ( 2 a, ,0) ) f(x)在区间上为增函数在区间上为增函数 ( ( 2 a, ,0) ) 若若 x(0,),则,则 f(x)0, 即即 f(x)0. f(x)在在(0,)内为增函数内为增函数 当当 x(,0)时,时,ex10,即,即0, 6x21 x x0,6x210,x.令令 f(x)0,6x210(ax2)
4、x0x0x0 或或 x0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式解不等式 f(x)0),则,则 h(x) 0,从而,从而 f(x)0; 当当 x1 时,时,h(x) 有解 有解 1 x2 2 x 设设 G(x) ,所以只要 ,所以只要 aG(x)min即可即可 1 x2 2 x 而而 G(x) 2 1,所以,所以 G(x)min1. ( ( 1 x 1) ) 所以所以 a1.即实数即实数 a 的取值范围是的取值范围是(1,) (2)因为因为 h(x)在在1,4上单调递减,上单调递减, 所以所以 x1,4时,时,h(x) ax20 恒成立恒成立
5、 1 x 即即 a 恒成立 恒成立 1 x2 2 x 所以所以 aG(x)max.而而 G(x) 2 1. ( ( 1 x 1) ) 因为因为 x1,4,所以 ,所以 . 1 x 1 4, ,1 所以所以 G(x)max(此时此时 x4) 7 16 所以所以 a. 7 16 当当 a时,时,h(x) x2 7 16 1 x 7 16 . 16 7x232x 16x 7x 4 x 4 16x x1,4,h(x)0. 7x 4 x 4 16x 即即 h(x)在在1,4上为减函数上为减函数 故实数故实数 a 的取值范围是的取值范围是. 7 16, , ) ) 若将本例若将本例(2)中“单调递减”改为
6、“单调递增” ,如何求中“单调递减”改为“单调递增” ,如何求 a 的取值范围?的取值范围? 解:解:h(x)在在1,4上单调递增,上单调递增, x1,4时,时,h(x) ax20 恒成立恒成立 1 x 即即 a 恒成立 恒成立 1 x2 2 x 设设 G(x) ,只需 ,只需 aG(x)min. 1 x2 2 x 又又 G(x) 2 1,x1,4, , . ( ( 1 x 1) ) 1 x 1 4, ,1 G(x)min1,a1. 经验证:经验证:a1 时,时,h(x)在在1,4上单调递增,上单调递增, 综上所述,综上所述,a 的取值范围为的取值范围为(,1 已知已知 f(x)在区间在区间
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