2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练:第6章 章末小结含解析.pdf
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1、1两种合情推理两种合情推理 (1)归纳推理:归纳推理: 归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理,步骤如下:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理,步骤如下: 通过观察个别对象发现某些相同性质;通过观察个别对象发现某些相同性质; 由相同性质猜想一般性命题由相同性质猜想一般性命题 (2)类比推理:类比推理: 类比推理是由特殊到特殊的推理,步骤如下:类比推理是由特殊到特殊的推理,步骤如下: 找出两类对象之间的相似性或一致性;找出两类对象之间的相似性或一致性; 由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质,得出一个明确的命题由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质,得出一个明确的命题 2演绎推理演绎推
2、理 演绎推理是由一般到特殊的推理,一般模式为三段论演绎推理是由一般到特殊的推理,一般模式为三段论 演绎推理只要前提正确,推理的形式正确,那么推理所得的结论就一定正确注意错 误的前提和推理形式会导致错误的结论 演绎推理只要前提正确,推理的形式正确,那么推理所得的结论就一定正确注意错 误的前提和推理形式会导致错误的结论 3直接证明直接证明综合法和分析法综合法和分析法 (1)综合法是“由因导果” ,即从已知条件出发,利用定理、定义、公理和运算法则证明 结论 综合法是“由因导果” ,即从已知条件出发,利用定理、定义、公理和运算法则证明 结论 (2)分析法是“执果索因” ,即从结论逆向转化,寻找一个已证
3、的命题分析法是“执果索因” ,即从结论逆向转化,寻找一个已证的命题(已知条件或定义、 公理、定理、公式等 已知条件或定义、 公理、定理、公式等) 注意:分析法是从结论出发,但不可将结论当作条件注意:分析法是从结论出发,但不可将结论当作条件 在证明过程中,“只要证”“即证”等词语不能省略在证明过程中,“只要证”“即证”等词语不能省略 4间接证明间接证明反证法反证法 反证法证题的步骤为:反设归谬结论,即通过否定结论,得出矛盾来证明命题反证法证题的步骤为:反设归谬结论,即通过否定结论,得出矛盾来证明命题 注意:反证法的关键是将否定后的结论当条件使用注意:反证法的关键是将否定后的结论当条件使用 5直接
4、证明直接证明数学归纳法数学归纳法 (1)数学归纳法的两个步骤缺一不可,由数学归纳法的两个步骤缺一不可,由 nknk1 时必须使用归纳假设,否则不 算是数学归纳法 时必须使用归纳假设,否则不 算是数学归纳法 (2)数学归纳法虽然仅限于与正整数有关的命题,但并不是所有与正整数有关的命题都 能使用数学归纳法 数学归纳法虽然仅限于与正整数有关的命题,但并不是所有与正整数有关的命题都 能使用数学归纳法 归纳推理归纳推理 例例 1 给出下面的数表序列: 给出下面的数表序列: 表表1 1 表表2 1 3 4 表表3 1 3 5 4 8 12 其中表其中表 n(n1,2,3,)有有 n 行,第行,第 1 行的
5、行的 n 个数是个数是 1,3,5,2n1,从第,从第 2 行起,每 行中的每个数都等于它肩上的两数之和 行起,每 行中的每个数都等于它肩上的两数之和 写出表写出表 4,验证表,验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推 广到表 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推 广到表 n(n3)(不要求证明不要求证明) 解解 表 表 4 为为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 它的第它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是行中的数的平均数分别是 4,8,16,32,它们构成首项为,它们构成首项为 4,公比为,公比为 2 的等 比数列
6、的等 比数列 将这一结论推广到表将这一结论推广到表 n(n3),即表,即表 n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构 成首项为 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构 成首项为 n,公比为,公比为 2 的等比数列的等比数列 简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论, 较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律 简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论, 较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律 例例 2 图 图 1 是一个水平摆放的小正方体木块,图是一个水平摆放的小正方体木块,图 2,图,图 3 是由这样的小
7、正方体木块叠 放而成的, 按照这样的规律放下去, 至第七个叠放的图形中, 小正方体木块总数就是 是由这样的小正方体木块叠 放而成的, 按照这样的规律放下去, 至第七个叠放的图形中, 小正方体木块总数就是 . 解析解析 分别观察正方体的个数为: 分别观察正方体的个数为:1,15,159, 归纳可知,第归纳可知,第 n 个叠放图形中共有个叠放图形中共有 n 层,构成了以层,构成了以 1 为首项,以为首项,以 4 为公差的等差数列,为公差的等差数列, 所以所以 Snnn(n1)422n2n, 所以所以 S7272791. 答案答案 91 解答此类题目时,需要细心观察图形,寻找每一项与序号之间的关系,
8、同时还要联系 相关的知识本题注意从图形中抽象出等差数列 解答此类题目时,需要细心观察图形,寻找每一项与序号之间的关系,同时还要联系 相关的知识本题注意从图形中抽象出等差数列 1 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师, 单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形, 如图为一组蜂巢的截面图 其中第一个图有 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师, 单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形, 如图为一组蜂巢的截面图 其中第一个图有 1 个蜂巢, 第二个图有个蜂巢, 第二个图有 7 个蜂巢, 第三个图有个蜂巢, 第三个图有 19 个蜂巢,按此规律,以个蜂巢,按此规律,以 f(n)表示第表示第 n 个图的蜂巢总数个图的
9、蜂巢总数 则则 f(4)_,f(n)_. 解析:因为解析:因为 f(1)1,f(2)716,f(3)191612, 所以所以 f(4)16121837, 所以所以 f(n)1612186(n1)3n23n1. 答案:答案:37 3n23n1 2.如图给出了如图给出了 3层的六边形,图中所有点的个数层的六边形,图中所有点的个数 S3为为 28,按其规律再画 下去,可得 ,按其规律再画 下去,可得 n(nN )层六边形,试写出 层六边形,试写出 Sn的表达式的表达式 解:设每层除去最上面的一个点的点数为解:设每层除去最上面的一个点的点数为 an, 则则 an是以是以 5 为首项,为首项,4 为公差
10、的等差数列,为公差的等差数列, 则则 Sna1a2an11 n554 n1 2 2n23n1(nN ). 例例 3 在 在ABC 中,中,ABAC,ADBC 于于 D. 求证 :, 那么在四面体求证 :, 那么在四面体 ABCD 中, 类比上述论据, 你能得到怎样的猜想,中, 类比上述论据, 你能得到怎样的猜想, 1 AD2 1 AB2 1 AC2 并说明理由并说明理由 证明证明 如右图所示,由射影定理, 如右图所示,由射影定理, AD2BDDC,AB2BDBC, AC2BCDC, 1 AD2 1 BDDC . BC2 BDBCDCBC BC2 AB2AC2 BC2AB2AC2, 类比推理类比
11、推理 . 1 AD2 AB2AC2 AB2AC2 1 AB2 1 AC2 . 1 AD2 1 AB2 1 AC2 猜想:类比猜想:类比 ABAC,ADBC,猜想四面体,猜想四面体 ABCD 中,中, AB,AC,AD 两两垂直,两两垂直,AE平面平面 BCD, 则则. 1 AE2 1 AB2 1 AC2 1 AD2 证明上述猜想成立证明上述猜想成立 如右图所示,连接如右图所示,连接 BE 交交 CD 于于 F,连接,连接 AF. ABAC,ABAD, AB平面平面 ACD. 而而 AF平面平面 ACD, ABAF. 在在 RtABF 中,中,AEBF, . 1 AE2 1 AB2 1 AF2
12、在在 RtACD 中,中,AFCD, . 1 AF2 1 AC2 1 AD2 . 1 AE2 1 AB2 1 AC2 1 AD2 故猜想正确故猜想正确 (1)类比是以旧知识作基础,推测新的结果,具有发现的功能类比是以旧知识作基础,推测新的结果,具有发现的功能 (2)类比推理的常见情形有:平面与空间类比;向量与数类比;不等与相等类比等类比推理的常见情形有:平面与空间类比;向量与数类比;不等与相等类比等 3 若数列 若数列an为等差数列,为等差数列, Sn为其前为其前 n 项和, 则有性质 “若项和, 则有性质 “若 SmSn(m, nN*且且 mn), 则 , 则 Sm n 0.”类比上述性质,
13、相应地,当数列”类比上述性质,相应地,当数列bn为等比数列时,写出一个正确的性质:为等比数列时,写出一个正确的性质: _. 答案:数列答案:数列bn为等比数列,为等比数列,Tm表示其前表示其前 m 项的积,若项的积,若 TmTn(m,nN*,mn), 则 , 则 Tm n 1 4 在 在 RtABC 中, 中, C90, ACb, BCa, 则, 则ABC 的外接圆半径为的外接圆半径为 r , 1 2 a2b2 把上述结论类比到空间,写出相似的结论把上述结论类比到空间,写出相似的结论 解:取空间中三条侧棱两两垂直的四面体解:取空间中三条侧棱两两垂直的四面体 ABCD 且且 ABa,ACb,AD
14、c, 则此四面体的外接球半径为则此四面体的外接球半径为 R . 1 2 a2b2c2 综合法和分析法综合法和分析法 例例 4 设 设 a0,b0,ab1,求证: ,求证: 8. 1 a 1 b 1 ab 证明证明 法一: 法一:(综合法综合法) a0,b0,ab1, 1ab2, , ,ab , ,4.abab 1 2 1 4 1 ab 又 又 (ab)2 4, 1 a 1 b ( ( 1 a 1 b) ) b a a b 8. 1 a 1 b 1 ab ( (当 当且且仅仅当当ab1 2时 时等等号号成成立立) ) 法二:法二:(分析法分析法) a0,b0,ab1,要证 ,要证 8, 1 a
15、1 b 1 ab 只要证只要证8, ( ( 1 a 1 b) ) a b ab 只要证只要证8, ( ( 1 a 1 b) ) ( ( 1 b 1 a) ) 即证 即证 4. 1 a 1 b 也就是证也就是证4. a b a a b b 即证 即证 2. b a a b 由基本不等式可知,当由基本不等式可知,当 a0,b0 时, 时, 2 成立成立 b a a b , ( (当 当且且仅仅当当ab1 2时 时等等号号成成立立) ) 所以原不等式成立所以原不等式成立 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法,但两种证明方法思路截然相 反, 分析法既可用于寻找解题思路, 也可以是完整的证明
16、过程, 分析法和综合法可相互转换, 相互渗透,充分利用这一辩证关系,在解题中综合法和分析法联合运用,转换解题思路, 增加解题途径 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法,但两种证明方法思路截然相 反, 分析法既可用于寻找解题思路, 也可以是完整的证明过程, 分析法和综合法可相互转换, 相互渗透,充分利用这一辩证关系,在解题中综合法和分析法联合运用,转换解题思路, 增加解题途径 5已知函数已知函数 f(x)loga(ax1)(a0,a1) (1)证明:函数证明:函数 f(x)的图象在的图象在 y 轴一侧;轴一侧; (2)设设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x10,得,得 ax1.
17、 当当 a1 时,时,x0,函数图象在,函数图象在 y 轴右侧;轴右侧; 当当 00 即可即可 因为因为 y2y1loga(a x21)loga(a x11)loga. ax21 a x1 11 当当 a1 时,由时,由 01,loga0, ax21 a x1 11 ax21 a x1 11 即即 y2y10. 当当 0a x1a x21. 即即 a x11a x210. 故有故有 00,即,即 y2y10. ax21 a x1 11 综上,直线综上,直线 AB 的斜率总大于零的斜率总大于零. 反证法反证法 例例 5 已知 已知 a, b, c 均为实数, 且均为实数, 且 ax22y , ,
18、 by22z , , cz22x , 求证 : , 求证 : a, b, 2 3 6 c 中至少有一个大于中至少有一个大于 0. 证明证明 假设 假设 a,b,c 都不大于都不大于 0, 即即 a0,b0,c0,得,得 abc0, 而而 abc(x1)2(y1)2(z1)23 30, 与与 abc0 矛盾,故假设不成立矛盾,故假设不成立 a,b,c 中至少有一个大于中至少有一个大于 0. (1)用反证法证题时,先假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说 明假设错误,从而证明了原命题成立 用反证法证题时,先假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说 明假设错误,从而证明
19、了原命题成立 (2)反证法证题的思路是:“假设反证法证题的思路是:“假设归谬归谬存真” 存真” 6用反证法证明命题“设用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程为实数,则方程 x3axb0 至少有一个实根”时, 要做的假设是 至少有一个实根”时, 要做的假设是( ) A方程方程 x3axb0 没有实根没有实根 B方程方程 x3axb0 至多有一个实根至多有一个实根 C方程方程 x3axb0 至多有两个实根至多有两个实根 D方程方程 x3axb0 恰好有两个实根恰好有两个实根 解析:至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程解析:至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程
20、x3axb0 没有 实根” 没有 实根” 答案:答案:A 数学归纳法数学归纳法 例例 6 已知数列 已知数列an满足:满足:a11,4an 1 anan 1 2an9(nN ) (1)求求 a2,a3,a4; (2)由由(1)的结果猜想的结果猜想 an用用 n 表示的表达式;表示的表达式; (3)用数学归纳法证明用数学归纳法证明(2)的猜想的猜想 解解 (1)由由 a11 及及 an 1 ,得,得 9 2an 4 an a2 , , 9 2a1 4 a1 7 3 a3, 9 2a2 4 a2 92 7 3 47 3 13 5 a4. 9 2a3 4 a3 92 13 5 413 5 19 7
21、所以所以 a2 , ,a3,a4. 7 3 13 5 19 7 (2)观察观察 a1,a2,a3,a4的值,分母构成正奇数数列的值,分母构成正奇数数列 2n1,分子构成首项为,分子构成首项为 1,公差为,公差为 6 的等差数列,故猜想:的等差数列,故猜想:an,nN . 6n 5 2n 1 (3)用数学归纳法证明上面的猜想用数学归纳法证明上面的猜想 当当 n1 时,时,a11,猜想正确,猜想正确 6 15 2 11 假设当假设当 nk(k1,kN )时,猜想正确,即 时,猜想正确,即 ak. 6k 5 2k 1 所以当所以当 nk1 时,时,ak 1 . 9 2ak 4 ak 9 2 6k 5
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