2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练:第7章 7.2 排 列含解析.pdf
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1、72排排_列列 第一课时 排列与排列数公式及简单应用第一课时 排列与排列数公式及简单应用 读教材读教材填要点填要点 1排列排列 从从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m(mn)个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元素的一个排列用符号个元素的一个排列用符号 A 表示排列的个数时,有表示排列的个数时,有 m n A n(n1)(n2)(nm1) m n 2排列数的相关公式排列数的相关公式 n!123n,0!1. A n(n1)(n2)(nm1). m n n! n m ! 小问题小问题大思维大思
2、维 1北京北京上海,上海上海,上海北京的车票是同一个排列吗?北京的车票是同一个排列吗? 提示:由于北京提示:由于北京上海、上海上海、上海北京的车票都与顺序有关,所以不是同一个排列北京的车票都与顺序有关,所以不是同一个排列 2如何判断一个具体问题是不是排列问题?如何判断一个具体问题是不是排列问题? 提示:判断一个具体问题是不是排列问题,就是看从提示:判断一个具体问题是不是排列问题,就是看从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m(mn)个 元素时是有序还是无序,有序就是排列,无序就不是排列 个 元素时是有序还是无序,有序就是排列,无序就不是排列 3你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们
3、有什么区别?你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别? 提示:“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从提示:“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从 n 个不同元素中 取出 个不同元素中 取出 m(mn)个元素, 按照一定的顺序排成一列” , 它不是一个数, 而是具体的一件事 “排 列数” 是指 “从 个元素, 按照一定的顺序排成一列” , 它不是一个数, 而是具体的一件事 “排 列数” 是指 “从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数” , 它是一个数个元素的所有不同排列的个数” , 它是一个数 排列的概念排列
4、的概念 例例 1 判断下列问题是否是排列问题: 判断下列问题是否是排列问题: (1)某班共有某班共有 50 名同学, 现要投票选举正、 副班长各一人, 共有多少种可能的选举结果?名同学, 现要投票选举正、 副班长各一人, 共有多少种可能的选举结果? (2)从从 2,3,5,7,9 中任取两数分别作对数的底数和真数,有多少不同对数值?中任取两数分别作对数的底数和真数,有多少不同对数值? (3)从从 1 到到 10 十个自然数中任取两个数组成点的坐标,可得多少个不同的点的坐标?十个自然数中任取两个数组成点的坐标,可得多少个不同的点的坐标? (4)从集合从集合 M1,2,9中,任取相异的两个元素作为
5、中,任取相异的两个元素作为 a,b,可以得到多少个焦点 在 ,可以得到多少个焦点 在 x 轴上的椭圆方程轴上的椭圆方程1? x2 a2 y2 b2 解解 (1)是选出的是选出的 2 人,担任正、副班长任意,与顺序有关,所以该问题是排列问题人,担任正、副班长任意,与顺序有关,所以该问题是排列问题 (2)是显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系,与顺序有关是显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系,与顺序有关 (3)是任取两个数组成点的坐标,横、纵坐标的顺序不同,即为不同的坐标,与顺序 有关 是任取两个数组成点的坐标,横、纵坐标的顺序不同,即为不同的坐标,与顺序 有关 (4)不是焦点在不是焦点在
6、 x 轴上的椭圆,方程中的轴上的椭圆,方程中的 a、b 必有必有 ab,a、b 的大小一定的大小一定 排列的特点是“先取后排” ,即先从排列的特点是“先取后排” ,即先从 n 个不同的元素中取出个不同的元素中取出 m 个元素,再按一定顺序把 这 个元素,再按一定顺序把 这 m 个元素排成一列因此,判断一个问题是否为排列问题,只需考察与顺序是否有关, 有关则是排列问题,无关则不是排列问题 个元素排成一列因此,判断一个问题是否为排列问题,只需考察与顺序是否有关, 有关则是排列问题,无关则不是排列问题 1判断下列问题是不是排列问题,并说明理由判断下列问题是不是排列问题,并说明理由 (1)从从 1,2
7、,3,4 四个数字中,任选两个做加法,有多少种不同的结果?四个数字中,任选两个做加法,有多少种不同的结果? (2)从从 1,2,3,4 四个数字中,任选两个做除法,有多少种不同的结果?四个数字中,任选两个做除法,有多少种不同的结果? (3)会场有会场有 50 个座位, 要求选出个座位, 要求选出 3 个座位有多少种方法?若选出个座位有多少种方法?若选出 3 个座位安排个座位安排 3 位客人 入座,又有多少种方法? 位客人 入座,又有多少种方法? 解:解:(1)不是排列问题;不是排列问题;(2)是排列问题是排列问题 理由 : 由于加法运算满足交换律, 所以选出的两个元素做加法时, 与两元素的位置
8、无关, 但做除法时,两元素谁做除数,谁做被除数不一样,此时与位置有关,故做加法不是排列 问题,做除法是排列问题 理由 : 由于加法运算满足交换律, 所以选出的两个元素做加法时, 与两元素的位置无关, 但做除法时,两元素谁做除数,谁做被除数不一样,此时与位置有关,故做加法不是排列 问题,做除法是排列问题 (3)第一问不是,第二问是第一问不是,第二问是 理由:由于加法运算满足交换律,所以选出的两个元素做加法求结果时,与两个元素 的位置无关,但列除法算式时,两个元素谁作除数,谁作被除数不一样,此时与位置有 关选出 理由:由于加法运算满足交换律,所以选出的两个元素做加法求结果时,与两个元素 的位置无关
9、,但列除法算式时,两个元素谁作除数,谁作被除数不一样,此时与位置有 关选出 3 个座位与顺序无关,“入座”问题同“排队” ,与顺序有关,故选个座位与顺序无关,“入座”问题同“排队” ,与顺序有关,故选 3 个座位安排个座位安排 3 位客人入座是排列问题位客人入座是排列问题 用列举法求简单的排列问题用列举法求简单的排列问题 例例 2 (1)从从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位不同的数,一共可以组成多少 个? 四个数字中任取两个数字组成两位不同的数,一共可以组成多少 个? (2)写出从写出从 4 个元素个元素 a,b,c,d 中任取中任取 3 个元素的所有排列个元素的所有排列 解解
10、 (1)由题意作“树形图” ,如下由题意作“树形图” ,如下 故组成的所有两位数为故组成的所有两位数为 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有,共有 12 个个 (2)由题意作“树形图” ,如下由题意作“树形图” ,如下 故所有的排列为 :故所有的排列为 : abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. “树形图”是解决简单排列问题的有效方法,特别是元素较少时在具体操作中,先 将元
11、素按一定顺序排出,然后以安排哪个元素在首位为分类标准,进行分类,在每类中再 在前面元素不变的情况下定第二位元素,依次一直进行到完成一个排列 “树形图”是解决简单排列问题的有效方法,特别是元素较少时在具体操作中,先 将元素按一定顺序排出,然后以安排哪个元素在首位为分类标准,进行分类,在每类中再 在前面元素不变的情况下定第二位元素,依次一直进行到完成一个排列 2写出写出 A,B,C,D 四名同学站成一排照相,四名同学站成一排照相,A 不站在两端的所有可能站法不站在两端的所有可能站法 解:如图所示的树形图:解:如图所示的树形图: 故所有可能的站法是故所有可能的站法是 BACD,BADC,BCAD,B
12、DAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB, DABC,DACB,DBAC,DCAB,共,共 12 种种 与排列数公式有关的计算或证明问题与排列数公式有关的计算或证明问题 例例 3 (1)计算;计算; 2A5 87A4 8 A8 8A5 9 (2)求证:求证:AmAA . mn1m1n1m n 解解(1) 2A5 87A4 8 A8 8A5 9 2 8 7 6 5 47 8 7 6 5 8 7 6 5 4 3 29 8 7 6 5 1. 8 7 6 5 8 7 8 7 6 5 24 9 (2)证明:证明:AmAm mn1m1n1 n 1 ! n 1m ! n 1 ! n m ! n 1 !
13、 nmm n m ! A . n! n m ! m n 若若 A (55n)(56n)(69n)(nN 且 且 n55),求,求 q 的值的值 q p 解:解:55n,56n,69n 中的最大数为中的最大数为 69n,且共有,且共有 69n(55n)115 个,个, (55n)(56n)(69n)A, 1569n p69n,q15. 对排列数公式的理解应注意以下两点:对排列数公式的理解应注意以下两点: (1)排列数公式中连乘积的特点是:第一个因数是排列数公式中连乘积的特点是:第一个因数是 n,后面每一个因数都比它前面一个 因数少 ,后面每一个因数都比它前面一个 因数少 1,最后一个因数是,最后
14、一个因数是 nm1,共有,共有 m 个因数相乘个因数相乘 (2)一般来说,在直接进行具体计算时,选用连乘积形式较好;当对含有字母的排列数 的式子进行变形、解方程或论证时,采用阶乘形式较好 一般来说,在直接进行具体计算时,选用连乘积形式较好;当对含有字母的排列数 的式子进行变形、解方程或论证时,采用阶乘形式较好 3(1)用用 A 的形式表示的形式表示(x2,xN ); ; m n x 1 ! x 2 ! (2)解关于解关于 x 的方程的方程 A140A . 42x13 x (3)解不等式:解不等式:A 6A. x 9x29 解:解:(1)法一:法一:A x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)
15、(x6)(x5)(x6)A , 7 x5 x 89. x 5 x6 A5 xA5 x A5 x A 0,(x5)(x6)90. 5 x 故故 x4(舍去舍去),x15. 法二:由法二:由89,得,得 A 90A , A7 xA5 x A5 x 7 x5 x 即即90. x! x 7 ! x! x 5 ! x!0, 1 x 7 ! 90 x 5 x6 x7 ! (x5)(x6)90.解得解得 x4(舍去舍去),x15. (2)原不等式即原不等式即, 9! 9 x ! 69! 9 x2 ! 由排列数定义知由排列数定义知Error!Error! 2x9,xN . 化简得化简得(11x)(10x)6,
16、x221x1040, 即即(x8)(x13)0,x13. 又又 2x9,xN , ,2x8,xN . 故故 x2,3,4,5,6,7. 第二课时 排列数的综合应用第二课时 排列数的综合应用 特殊元素特殊元素(或位置或位置)的排列问题的排列问题 例例 1 3 名男生,名男生,4 名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数 (1)全体站成一排,其中甲只能在中间或两端;全体站成一排,其中甲只能在中间或两端; (2)全体站成一排,其中甲、乙必须在两端;全体站成一排,其中甲、乙必须在两端; (3)全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右
17、端;全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端; (4)全体站成两排,前排全体站成两排,前排 3 人,后排人,后排 4 人,其中女生甲和女生乙排在前排,另有人,其中女生甲和女生乙排在前排,另有 2 名男 生丙和丁因个子高要排在后排 名男 生丙和丁因个子高要排在后排 解解 (1)(特殊元素优先法特殊元素优先法)先考虑甲有先考虑甲有 A 种方案,再考虑其余六人全排列,故种方案,再考虑其余六人全排列,故 NA A 1 31 3 2 160(种种) 6 6 (2)(特殊元素优先法特殊元素优先法)先安排甲、乙有先安排甲、乙有 A 种方案,再安排其余种方案,再安排其余 5 人全排列,故人全排列,故 NA
18、 A 2 22 2 240(种种) 5 5 (3)法一:法一:(特殊元素优先法特殊元素优先法):按甲是否在最右端分两类:按甲是否在最右端分两类: 第一类 甲在最右端有第一类 甲在最右端有 N1A (种种), 6 6 第二类 甲不在最右端时,甲有第二类 甲不在最右端时,甲有 A 个位置可选,个位置可选, 1 5 而乙也有而乙也有 A 个位置,而其余全排列个位置,而其余全排列 A , 1 55 5 有有 N2A A A , 1 51 55 5 故故 NN1N2A A A A 3 720(种种) 6 61 51 55 5 法二:法二:(间接法间接法): 无限制条件的排列数共有无限制条件的排列数共有
19、A ,而甲在左端或乙在右端的排法都有,而甲在左端或乙在右端的排法都有 A ,且甲在左端且乙,且甲在左端且乙 7 76 6 在右端的排法有在右端的排法有 A , 5 5 故故 NA 2A A 3 720(种种) 7 76 65 5 法三:法三:(特殊位置优先法特殊位置优先法):按最左端优先安排分步:按最左端优先安排分步 对于左端除甲外有对于左端除甲外有 A 种排法,种排法, 1 6 余下六个位置全排有余下六个位置全排有 A , 6 6 但减去乙在最右端的排法但减去乙在最右端的排法 A A 种,种, 1 55 5 故故 NA A A A 3 720(种种) 1 66 61 55 5 (4)将两排连
20、成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前将两排连成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前 3 个位置,男生丙、丁要排在 后 个位置,男生丙、丁要排在 后 4 个位置,个位置, 因此先排女生甲、乙有因此先排女生甲、乙有 A 种方法,种方法, 2 3 再排男生丙、丁有再排男生丙、丁有 A 种方法,种方法, 2 4 最后把剩余的最后把剩余的 3 名同学排好有名同学排好有 A 种方法种方法 3 3 故故 NA A A 432(种种) 2 32 43 3 排列问题的实质是“元素”占“位置”的问题,有限制条件的排列问题的限制条件主 要表现在某元素不能排在某个位置上或某个位置不排某些元素,解决该类问题的方法主要
21、 是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位置总的来说,解决这类问题有 直接法和间接法两种,具体分析时可以按位置来分析,也可以先考虑特殊元素,各种方法 可以相互验证 排列问题的实质是“元素”占“位置”的问题,有限制条件的排列问题的限制条件主 要表现在某元素不能排在某个位置上或某个位置不排某些元素,解决该类问题的方法主要 是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位置总的来说,解决这类问题有 直接法和间接法两种,具体分析时可以按位置来分析,也可以先考虑特殊元素,各种方法 可以相互验证 1用用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字?这六个数字可以
22、组成多少个符合下列条件的无重复的数字? (1)六位奇数;六位奇数; (2)个位数字不是个位数字不是 5 的六位数;的六位数; (3)不大于不大于 4 310 的四位偶数的四位偶数 解:解:(1)第一步,排个位,有第一步,排个位,有 A 种排法;种排法; 1 3 第二步,排十万位,有第二步,排十万位,有 A 种排法;种排法; 1 4 第三步,排其他位,有第三步,排其他位,有 A 种排法种排法 4 4 故共有故共有 A A A 288 个六位奇数个六位奇数 1 31 44 4 (2)法一 :法一 : (直接法直接法)十万位数字的排法因个位上排十万位数字的排法因个位上排 0 与不排与不排 0 而有所
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