2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练:第8章 8.2.6 离散型随机变量的数学期望含解析.pdf
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1、82.6 离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量的数学期望 读教材读教材填要点填要点 1离散型随机变量离散型随机变量 X 的数学期望的数学期望 当离散型随机变量当离散型随机变量 X 有概率分布有概率分布 piP(Xxj),j0,1,n,就称,就称 E(X)x1p1x2p2 xnpn为为 X 的数学期望或均值的数学期望或均值 如果如果 X 是从某个总体中随机抽取的个体,是从某个总体中随机抽取的个体,X 的数学期望的数学期望 E(X)就是总体均值就是总体均值 . 2数学期望的有关公式数学期望的有关公式 (1)若若 YaXb,a,b 为常数,则为常数,则 E(aXb)aE(X)b; (2)当当 X
2、 服从两点分布服从两点分布 B(1,p)时,时,E(X)p; (3)当当 X 服从二项分布服从二项分布 B(n,p)时,时,E(X)np; (4)当当 X 服从超几何分布服从超几何分布 H(N,M,n)时,时,E(X)n. M N 小问题小问题大思维大思维 1随机变量随机变量 X 的均值的均值 E(X)是一个常数还是一个变量?是一个常数还是一个变量? 提示 : 随机变量提示 : 随机变量 X 是可变的, 可以取不同的值, 而数学期望是可变的, 可以取不同的值, 而数学期望(或均值或均值)是不变的, 它描述是不变的, 它描述 X 取值的平均水平,由取值的平均水平,由 X 的分布列唯一确定的分布列
3、唯一确定 2若若 c 为常数,则为常数,则 E(c)为何值?为何值? 提示 : 由离散型随机变量的均值的性质提示 : 由离散型随机变量的均值的性质 E(aXb)aE(X)b 可知, 若可知, 若 a0, 则, 则 E(b)b, 即若 , 即若 c 为常数,则为常数,则 E(c)c. 3E(X)与与 X 的单位是否一致?的单位是否一致? 提示:提示:E(X)表示随机变量表示随机变量 X 的平均值,因此的平均值,因此 E(X)与与 X 的单位是一致的的单位是一致的 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 例例 1 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖
4、的方式对 1 000 位顾客进行奖励,规定: 每位顾客从一个装有 位顾客进行奖励,规定: 每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之 和为该顾客所获的奖励额 个球,球上所标的面值之 和为该顾客所获的奖励额 若袋中所装的若袋中所装的 4 个球中有个球中有 1 个所标的面值为个所标的面值为 50 元,其余元,其余 3 个均为个均为 10 元,求:元,求: (1)顾客所获的奖励额为顾客所获的奖励额为 60 元的概率;元的概率; (2)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; 解解 设顾客所获
5、的奖励额为 设顾客所获的奖励额为 X. (1)依题意,得依题意,得 P(X60) , , C1 1C1 3 C2 4 1 2 即顾客所获的奖励额为即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为元的概率为 . 1 2 (2)依题意,得依题意,得 X 的所有可能取值为的所有可能取值为 20,60. P(X60) , ,P(X20) , , 1 2 C2 3 C2 4 1 2 即即 X 的分布列为的分布列为 X2060 P 1 2 1 2 所以顾客所获的奖励额的期望为所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)20 60 40(元元) 1 2 1 2 解决此类问题的一般步骤为:解决此类问题的一般步骤为: 明确随机
6、变量的取值,以及取每个值的试验结果;明确随机变量的取值,以及取每个值的试验结果; 求出随机变量取各个值的概率;求出随机变量取各个值的概率; 列出概率分布;列出概率分布; 利用均值公式进行计算利用均值公式进行计算 1端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉 粽 个,肉 粽 3 个,白粽个,白粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同从中任意选取个,这三种粽子的外观完全相同从中任意选取 3 个个 (1)求三种粽子各取到求三种粽子各取到 1 个的概率;个的概率; (2)设设 X 表示取到的豆沙粽个数,求表示取到
7、的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望的分布列与数学期望 解 :解 : (1)令令 A 表示事件“三种粽子各取到表示事件“三种粽子各取到 1 个” ,则由古典概型的概率计算公式有个” ,则由古典概型的概率计算公式有 P(A) . C1 2C1 3C1 5 C 3 10 1 4 (2)X 的所有可能值为的所有可能值为 0,1,2,且,且 P(X0),P(X1), C3 8 C 3 10 7 15 C1 2C2 8 C 3 10 7 15 P(X2). C2 2C1 8 C 3 10 1 15 综上知,综上知,X 的分布列为的分布列为 X012 P 7 15 7 15 1 15 故故 E(X)0
8、12. 7 15 7 15 1 15 3 5( (或 或E X 3 2 10 3 5) ) 2某运动员投篮命中率为某运动员投篮命中率为 p0.6. (1)求一次投篮时命中次数求一次投篮时命中次数 X 的数学期望;的数学期望; (2)求重复求重复 5 次投篮时,命中次数次投篮时,命中次数 Y 的数学期望的数学期望 解:解:(1)投篮一次,命中次数投篮一次,命中次数 X 的概率分布为:的概率分布为: X01 P0.40.6 则则 E(X)p0.6. (2)由题意,重复由题意,重复 5 次投篮,命中的次数次投篮,命中的次数 Y 服从二项分布,即服从二项分布,即 YB(5,0.6) 则则 E(Y)np
9、50.63. 均值性质的应用均值性质的应用 例例 2 已知随机变量 已知随机变量 X 的概率分布为:的概率分布为: X21012 P 1 4 1 3 1 5 m 1 20 (1)求求 m 的值;的值; (2)求求 E(X); (3)若若 Y2X3,求,求 E(Y) 解解 (1)由随机变量概率分布的性质,由随机变量概率分布的性质, m1,解得,解得 m . 1 4 1 3 1 5 1 20 1 6 (2)E(X)(2) (1) 0 1 2. 1 4 1 3 1 5 1 6 1 20 17 30 (3)法一:由公式法一:由公式 E(aXb)aE(X)b, 得得 E(Y)E(2X3)2E(X)323
10、. ( ( 17 30) ) 62 15 法二:由于法二:由于 Y2X3, 所以所以 Y 的概率分布为:的概率分布为: Y75311 P 1 4 1 3 1 5 1 6 1 20 所以所以 E(Y)(7) (5) (3) (1) 1. 1 4 1 3 1 5 1 6 1 20 62 15 保持例题条件不变,若保持例题条件不变,若 YaX3,且,且 E(Y),求,求 a 的值的值 11 2 解:解:E(Y)E(aX3)aE(X)3a3, 17 30 11 2 a15. 求均值的关键是求出概率分布,只要求出随机变量的概率分布,就可以套用均值的公 式求解, 对于 求均值的关键是求出概率分布,只要求出
11、随机变量的概率分布,就可以套用均值的公 式求解, 对于 aXb 型随机变量的均值, 可以利用均值的性质求解, 当然也可以先求出型随机变量的均值, 可以利用均值的性质求解, 当然也可以先求出 aX b 的概率分布,再用定义求解的概率分布,再用定义求解 3 随机变量 随机变量X可能取的值为可能取的值为1,2,3,4.P(Xk)akb(k1,2,3,4) 又 又X的数学期望的数学期望E(X) 3,求,求 E(aXb)的值的值 解:由已知得解:由已知得(a1b)(a2b)(a3b)(a4b)1,即,即 10a4b1. 又又 E(X)3, 故, 故(ab)1(2ab)2(3ab)3(4ab)43, 即,
12、 即 30a10b3. 联立,解得联立,解得 b0,a, 1 10 E(aXb)aE(X)bE(X)30.3. 1 10 1 10 离散型随机变量的均值的实际应用离散型随机变量的均值的实际应用 例例 3 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 X 的分布列为的分布列为 X12345 P0.40.20.20.10.1 商场经销一件该商品,采用商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为期付款,其利润为 200 元;分元;分 2 期或期或 3 期付款,其利润 为 期付款,其利润 为 250 元;分元;分 4 期或期或 5 期
13、付款,其利润为期付款,其利润为 300 元元Y 表示经销一件该商品的利润表示经销一件该商品的利润 (1)求事件求事件 A“购买该商品的“购买该商品的 3 位顾客中,至少有位顾客中,至少有 1 位采用位采用 1 期付款”的概率期付款”的概率 P(A); (2)求求 Y 的分布列及均值的分布列及均值 E(Y) 解解 (1)由由 A 表示事件“购买该商品的表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有位顾客中至少有 1 位采用位采用 1 期付款”知, 表期付款”知, 表A 示事件“购买该商品的示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用位顾客中无人采用 1 期付款” 期付款” P( )(10.4)30.2
14、16,A P(A)1P( )10.2160.784.A (2)Y 的可能取值为的可能取值为 200 元,元,250 元,元,300 元元 P(Y200)P(X1)0.4, P(Y250)P(X2)P(X3)0.20.20.4, P(Y300)P(X4)P(X5)0.10.10.2, 因此因此 Y 的分布列为的分布列为 Y200250300 P0.40.40.2 E(Y)2000.42500.43000.2240(元元) 处理与实际问题有关的均值问题,应首先把实际问题概率模型化,然后利用有关概率 的知识去分析相应各事件可能性的大小,并求出随机变量的概率分布,最后利用有关的公 式求出相应的概率及均
15、值 处理与实际问题有关的均值问题,应首先把实际问题概率模型化,然后利用有关概率 的知识去分析相应各事件可能性的大小,并求出随机变量的概率分布,最后利用有关的公 式求出相应的概率及均值 4某游戏射击场规定:每次游戏射击某游戏射击场规定:每次游戏射击 5 发子弹;发子弹;5 发全部命中奖励发全部命中奖励 40 元,命中元,命中 4 发不奖励,也不必付款,命中发不奖励,也不必付款,命中 3 发或发或 3 发以下,应付款发以下,应付款 2 元现有一游客,其命中率为元现有一游客,其命中率为 0.5. (1)求该游客在一次游戏中求该游客在一次游戏中 5 发全部命中的概率;发全部命中的概率; (2)求该游客
16、在一次游戏中获得奖金的均值求该游客在一次游戏中获得奖金的均值 解:解:(1)设设 5 发子弹命中发子弹命中 X(X0,1,2,3,4,5)发,发, 则由题意有则由题意有 P(X5)C 5 . 5 5( (1 2) ) 1 32 (2)X 的分布列为的分布列为 X012345 P 1 32 5 32 10 32 10 32 5 32 1 32 设游客在一次游戏中获得奖金为设游客在一次游戏中获得奖金为 Y 元,元, 于是于是 Y 的分布列为的分布列为 Y2040 P 26 32 5 32 1 32 故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为 E(Y)(2)0400.3
17、75(元元). 26 32 5 32 1 32 解题高手解题高手妙解题妙解题 某突发事件, 在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为某突发事件, 在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.3, 一旦发生, 将造成, 一旦发生, 将造成 400 万元的损失现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙预防措施所 需的费用分别为 万元的损失现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙预防措施所 需的费用分别为45万元和万元和30万元, 采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为万元, 采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0. 9 和和 0.85,若预防方案允
18、许甲、乙两种措施单独采用,联合采用或不采用,请确定预防方案 使总费用最少 ,若预防方案允许甲、乙两种措施单独采用,联合采用或不采用,请确定预防方案 使总费用最少(总费用采取预防措施的费用发生突发事件损失的均匀值总费用采取预防措施的费用发生突发事件损失的均匀值) 尝试尝试 巧思巧思 用数学期望确定三种预防方案哪种使用总费用最少,分别求出单独采用甲措 施,单独采用乙措施,联合采用甲乙措施的总费用,然后选取最小者即可 用数学期望确定三种预防方案哪种使用总费用最少,分别求出单独采用甲措 施,单独采用乙措施,联合采用甲乙措施的总费用,然后选取最小者即可 妙解妙解 不采取预防措施时,总费用损失期望值为 不
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