2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练:第8章 8.2.4 离散型随机变量及其分布含解析.pdf
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1、82.4 离散型随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布 读教材读教材填要点填要点 1随机变量随机变量 (1)定义:在一个对应关系下,随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量定义:在一个对应关系下,随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 (2)表示:随机变量常用字母表示:随机变量常用字母 X,Y, 等表示等表示 2离散型随机变量离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 3随机变量随机变量 X 的概率分布的概率分布 如果随机变量如果随机变量 X 的取值是的取值是 x1, x2, xn, 则, 则Xxi是事件, 用是事件
2、, 用 piP(Xi)表示事件表示事件X xi的概率,则的概率,则 piP(Xxi),i1,2,n 是离散型随机变量是离散型随机变量 X 的概率分布当的概率分布当 X 的概率的概率 分布分布pi规律性不明显时,规律性不明显时, 可用下面的表格表示可用下面的表格表示 X 的分布的分布. Xx1x2x3 Pp1p2p3 4.随机变量随机变量 X 的概率分布的性质的概率分布的性质 pi0,i1,2,n; p1p2pn1. 小问题小问题大思维大思维 1任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗?任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗? 提示:可以实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关
3、系,根 据问题的需要选择相应数字 提示:可以实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系,根 据问题的需要选择相应数字 2是不是所有试验的离散型随机变量?并举例说明是不是所有试验的离散型随机变量?并举例说明 提示:不是如在东北森林中任取一棵树木的高度提示:不是如在东北森林中任取一棵树木的高度 离散型随机变量离散型随机变量 例例 1 指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由 指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由 (1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔湖南矮寨大桥桥面一侧每隔 30 米有一路灯,将所有路灯进行编号,其中某一路灯的 编号 米有一路灯,将所有路灯进行编号,其中
4、某一路灯的 编号 X; (2)在一次数学竞赛中,设一、二、三等奖,小明同学参加竞赛获得的奖次在一次数学竞赛中,设一、二、三等奖,小明同学参加竞赛获得的奖次 X; (3)丁俊晖在丁俊晖在 2017 年世锦赛中每局所得的分数年世锦赛中每局所得的分数 解解 (1)桥面上的路灯是可数的,编号桥面上的路灯是可数的,编号 X 可以一一列出,可以一一列出, 是离散型随机变量是离散型随机变量 (2)小明获奖等次小明获奖等次 X 可以一一列出,是离散型随机变量可以一一列出,是离散型随机变量 (3)每局所得的分数每局所得的分数 X 可以一一列举出来,是离散型随机变量可以一一列举出来,是离散型随机变量 判断一个随机
5、变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以 一一列出,具体方法如下: 判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以 一一列出,具体方法如下: (1)明确随机试验的所有可能结果;明确随机试验的所有可能结果; (2)将随机试验的结果数量化;将随机试验的结果数量化; (3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,如能一一列出,则该随机 变量是离散型随机变量,否则不是 确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,如能一一列出,则该随机 变量是离散型随机变量,否则不是 1写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结
6、果写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 (1)在含有在含有 10 件次品的件次品的 100 件产品中,任意抽取件产品中,任意抽取 4 件,可能含有的次品的件数件,可能含有的次品的件数 X 是随机 变量; 是随机 变量; (2)一袋中装有一袋中装有 5 个白球和个白球和 5 个黑球,从中任取个黑球,从中任取 3 个,其中所含白球的个数个,其中所含白球的个数 是一个随 机变量 是一个随 机变量 解:解:(1)随机变量随机变量 X 可能的取值为:可能的取值为:0,1,2,3,4. X0,表示抽出,表示抽出 0 件次品;件次品; X1,表示抽出,表示抽出 1 件次品;
7、件次品; X2,表示抽出,表示抽出 2 件次品;件次品; X3,表示抽出,表示抽出 3 件次品;件次品; X4,表示抽出的全是次品,表示抽出的全是次品 (2)随机变量随机变量 可能的取值为:可能的取值为:0,1,2,3. 0,表示取出,表示取出 0 个白球,个白球,3 个黑球;个黑球; 1,表示取出,表示取出 1 个白球,个白球,2 个黑球;个黑球; 2,表示取出,表示取出 2 个白球,个白球,1 个黑球;个黑球; 3,表示取出,表示取出 3 个白球,个白球,0 个黑球个黑球 离散型随机变量离散型随机变量 X 的概率分布的概率分布 例例 2 袋中装有编号为 袋中装有编号为 16 的同样大小的的
8、同样大小的 6 个球,现从袋中随机取个球,现从袋中随机取 3 个球,设个球,设 X 表 示取出 表 示取出 3 个球中的最大号码,求个球中的最大号码,求 X 的概率分布的概率分布 解解 根据题意,随机变量 根据题意,随机变量 X 的所有可能取值为的所有可能取值为 3,4,5,6. X3, 即取出的, 即取出的 3 个球中最大号码为个球中最大号码为 3, 其他, 其他 2 个球的号码为个球的号码为 1,2.所以,所以, P(X3) C2 2 C3 6 ; 1 20 X4, 即取出的, 即取出的 3 个球中最大号码为个球中最大号码为 4, 其他, 其他 2 个球只能在号码为个球只能在号码为 1,2
9、,3 的的 3 个球中取个球中取 所以,所以,P(X4); C2 3 C3 6 3 20 X5, 即取出的, 即取出的 3 个球中最大号码为个球中最大号码为 5, 其他, 其他 2 个球只能在号码为个球只能在号码为 1,2,3,4 的的 4 个球中取个球中取 所以,所以,P(X5); C2 4 C3 6 3 10 X6, 即取出的, 即取出的 3 个球中最大号码为个球中最大号码为 6, 其他, 其他 2 个球只能在号码为个球只能在号码为 1,2,3,4,5 的的 5 个球中 取所以, 个球中 取所以,P(X6) . C2 5 C3 6 1 2 所以,随机变量所以,随机变量 X 的概率分布为:的
10、概率分布为: X3456 P 1 20 3 20 3 10 1 2 求随机变量的概率分布的关键是搞清离散型随机变量求随机变量的概率分布的关键是搞清离散型随机变量 X 取每一个值时对应的随机事 件,然后利用排列组合的知识求出 取每一个值时对应的随机事 件,然后利用排列组合的知识求出 X 取每个值时的概率,最后列出表格即可取每个值时的概率,最后列出表格即可 2袋中有袋中有 4 个黑球,个黑球,3 个白球,个白球,2 个红球,从中任取个红球,从中任取 1 个球,每取到一个黑球得个球,每取到一个黑球得 0 分, 每取到一个白球得 分, 每取到一个白球得 1 分, 每取到一个红球则得分, 每取到一个红球
11、则得 2 分, 用分, 用 X 表示所得分数, 求表示所得分数, 求 X 的概率分布列的概率分布列 解:由题意知解:由题意知 X 的可能取值为的可能取值为 0,1,2, 则则 P(X0) , ,P(X1) , ,P(X2) . C1 4 C1 9 4 9 C1 3 C1 9 1 3 C1 2 C1 9 2 9 故故 X 的概率分布列为:的概率分布列为: X012 P 4 9 1 3 2 9 离散型随机变量离散型随机变量 X 的概率分布的性质应用的概率分布的性质应用 例例 3 设随机变量 设随机变量 X 的分布列为的分布列为 P(Xk),k1,2,3,4.求:求: k 10 (1)P(X1 或或
12、 X2); (2)P. ( ( 1 2 3)_; (3)P(13)P(X4)P(X5)P(X6) 0.10.150.20.45; (3)P(1X4)P(X2)P(X3)P(X4) 00.350.10.45. 答案:答案:(1)0 (2)0.45 (3)0.45 6某商店试销某种商品某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据:天,获得如下数据: 日销售量日销售量/件件0123 频数频数1595 试销结束后试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变假设该商品的日销售量的分布规律不变), 设某天开始营业时有该商品, 设某天开始营业时有该商品3件, 当天营业结束后检查存货,若发现存货少于 件, 当
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