2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练:第8章 8.2.5 几个常用的分布含解析.pdf
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1、82.5 几个常用的分布 几个常用的分布 读教材读教材填要点填要点 1两点分布两点分布 B(1,p) 如果如果 X 只取值只取值 0 或或 1,概率分布是,概率分布是 P(X1)p,P(X0)1p,p(0,1),就称,就称 X 服服 从两点分布,记作从两点分布,记作 XB(1,p) 2二项分布二项分布 B(n,p) 设某试验成功的概率为设某试验成功的概率为 p, p(0,1), 将该试验独立重复, 将该试验独立重复 n 次, 用次, 用 X 表示试验成功的次数, 则 表示试验成功的次数, 则 X 有概率分布:有概率分布: P(Xk)C pkqn k, ,k0,1,2,n,其中,其中 q1p,这
2、时,我们称,这时,我们称 X 服从二项分布,服从二项分布, k n 记作记作 XB(n,p) 3超几何分布超几何分布 一般地, 在含有一般地, 在含有 M 件次品的件次品的 N 件产品中, 任取件产品中, 任取 n 件, 其中恰有件, 其中恰有 X 件次品, 则事件件次品, 则事件Xk 发生的概率为发生的概率为 P(Xk),k0,1,2,m, C k MC nk NM C n N 其中其中 mminM,n,且,且 nN,MN,n,M,NN*.称分布列称分布列 X01m P C0 MC n 0 N M Cn N C1 MC n 1 N M Cn N Cm MCnmNM Cn N 为超几何分布列
3、如果随机变量为超几何分布列 如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列, 就称的分布列为超几何分布列, 就称 X 服从超几何分布, 记作 服从超几何分布, 记作 XH(N,M,n) 小问题小问题大思维大思维 1在在 n 次独立重复试验中,各次试验的结果相互有影响吗?次独立重复试验中,各次试验的结果相互有影响吗? 提示:在提示:在 n 次独立重复试验中,各次试验的结果相互间无影响因为每次试验是在相 同条件下独立进行的 次独立重复试验中,各次试验的结果相互间无影响因为每次试验是在相 同条件下独立进行的 2二项分布与两点分布的关系是什么?二项分布与两点分布的关系是什么? 提示:二项分布是指提示:二项分
4、布是指 n 次独立重复试验中某事件恰好发生次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率分布列,需要在 相同条件下做 次的概率分布列,需要在 相同条件下做n次试验, 两点分布指的是一次试验的两个结果的概率分布 两者的含义不同, 将两点分布的试验进行 次试验, 两点分布指的是一次试验的两个结果的概率分布 两者的含义不同, 将两点分布的试验进行 n 次,恰好发生次,恰好发生 k 次的概率分布就成了二项分布次的概率分布就成了二项分布 两点分布两点分布 例例 1 已知一批 已知一批 200 件的待出厂产品中,有件的待出厂产品中,有 1 件不合格品,现从中任意抽取件不合格品,现从中任意抽取 2 件进行 检
5、查,若用随机变量 件进行 检查,若用随机变量 X 表示抽取的表示抽取的 2 件产品中的次品数,求件产品中的次品数,求 X 的分布列的分布列 解解 由题意知, 由题意知,X 服从两点分布,服从两点分布,P(X0), C 2199 C 2200 99 100 所以所以 P(X1)1. 99 100 1 100 所以随机变量所以随机变量 X 的分布列为的分布列为 X01 P 99 100 1 100 两点分布的两点分布的 4 个特点个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果,且两结果是对立的;两点分布中只有两个对应结果,且两结果是对立的; (2)两点分布中的两结果一个对应两点分布中的两结果一个对应 1
6、,另一个对应,另一个对应 0; (3)由互斥事件的概率求法可知, 已知由互斥事件的概率求法可知, 已知 P(X0)(或或 P(X1), 便可求出, 便可求出 P(X1)(或或 P(X 0); (4)在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,就可以利用 两点分布来研究它 在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,就可以利用 两点分布来研究它 1袋内有袋内有 5 个白球,个白球,6 个红球,从中摸出两球,记个红球,从中摸出两球,记 XError!Error!求求 X 的概率分布的概率分布 解:显然解:显然 X 服从两点分布,服从两点分布, P(X0). C2
7、 6 C 2 11 3 11 P(X1)1, 3 11 8 11 X 的概率分布为:的概率分布为: X01 P 3 11 8 11 二项分布二项分布 例例 2 甲、乙两人约定以“五局三胜”制进行乒乓球比赛,比赛没有平局设甲在每 局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立已知比赛中,乙赢了第一局比赛 甲、乙两人约定以“五局三胜”制进行乒乓球比赛,比赛没有平局设甲在每 局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立已知比赛中,乙赢了第一局比赛 2 3 (1)求甲获胜的概率;求甲获胜的概率;(用分数作答用分数作答) (2)设比赛总的局数为设比赛总的局数为 X,求,求 X 的概率分布的概率分布 解解 (1)甲获胜
8、的概率甲获胜的概率 P 3 C 3 . ( ( 2 3) ) 1 3 1 3( ( 2 3) ) 16 27 (2)由题意知,由题意知,X3,4,5 P(X3) 2 , , ( ( 1 3) ) 1 9 P(X4) 3 C 2 , , ( ( 2 3) ) 1 2 2 3( ( 1 3) ) 4 9 P(X5)C 22 C 3 . 2 3( (2 3) ) ( ( 1 3) ) 1 3 1 3( ( 2 3) ) 4 9 X 的概率分布为:的概率分布为: X345 P 1 9 4 9 4 9 二项分布中“二项分布中“Xk”表示在”表示在 n 次独立重复试验中事件恰好发生次独立重复试验中事件恰好
9、发生 k 次,其特点是:一 次试验中只有两种可能结果;事件在每次观察中出现的概率相等;随机变量 次,其特点是:一 次试验中只有两种可能结果;事件在每次观察中出现的概率相等;随机变量 X 只取有 限个实数 只取有 限个实数 2某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 .某班某班 3 名同学商定明天分别就同一问名同学商定明天分别就同一问 3 4 题询问该服务中心,且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数题询问该服务中心,且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数 X 的分布列的分布列 解:由题意可知:解:由题意可知:XB, ( (3, , 3 4) ) 所以所以
10、P(Xk)C k3k, , k 3( (3 4) ) ( ( 1 4) ) k0,1,2,3. 即即 P(X0)C 0 3 ; 0 3 ( ( 3 4) ) ( ( 1 4) ) 1 64 P(X1)C 2 ; 1 3 3 4 ( ( 1 4) ) 9 64 P(X2)C 2 ; ; 2 3 ( ( 3 4) ) 1 4 27 64 P(X3)C 3 . 3 3 ( ( 3 4) ) 27 64 分布列为分布列为 X0123 P 1 64 9 64 27 64 27 64 超几何分布超几何分布 例例 3 某大学志愿者协会有 某大学志愿者协会有 6 名男同学,名男同学,4 名女同学在这名女同学在
11、这 10 名同学中,名同学中,3 名同学来 自数学学院,其余 名同学来 自数学学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这 10 名同学 中随机选取 名同学 中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同每位同学被选到的可能性相同) (1)求选出的求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率;名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设设 X 为选出的为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列的分布列 解解 设 “选出
12、的 设 “选出的 3 名同学是来自互不相同的学院” 为事件名同学是来自互不相同的学院” 为事件 A, 则, 则 P(A) C1 3C2 7C0 3C3 7 C 3 10 . 49 60 所以选出的所以选出的 3 名同学是来自互不相同的学院的概率为名同学是来自互不相同的学院的概率为. 49 60 (2)依据条件,随机变量依据条件,随机变量 X 服从超几何分布,其中服从超几何分布,其中 N10,M4,n3,且随机变量,且随机变量 X 的可能值为的可能值为 0,1,2,3. P(Xk)(k0,1,2,3) Ck 4C3 k6 C 3 10 所以随机变量所以随机变量 X 的分布列是的分布列是 X012
13、3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 求解超几何分布问题的注意事项求解超几何分布问题的注意事项 (1)在产品抽样检验中,如果采用的是不放回抽样,则抽到的次品数服从超几何分布在产品抽样检验中,如果采用的是不放回抽样,则抽到的次品数服从超几何分布 (2)在超几何分布公式中在超几何分布公式中 P(Xk),k0,1,2,m,其中,其中 mminM, Ck MC n k N M Cn N n这里这里 N 是产品总数,是产品总数,M 是产品中次品数,是产品中次品数,n 是抽样的样品数是抽样的样品数 (3)如果随机变量如果随机变量 X 服从超几何分布,只要代入公式即可求得相应概率,关键是明确随 机变量
14、 服从超几何分布,只要代入公式即可求得相应概率,关键是明确随 机变量 X 的所有取值的所有取值 (4)当超几何分布用表格表示较繁杂时,可用解析式法表示当超几何分布用表格表示较繁杂时,可用解析式法表示 3袋中有袋中有 4 个红球,个红球,3 个黑球,从袋中随机取球,设取到一个红球得个黑球,从袋中随机取球,设取到一个红球得 2 分,取到一个 黑球得 分,取到一个 黑球得 0 分,从袋中任取分,从袋中任取 4 个球个球 (1)求得分求得分 X 的分布列的分布列 (2)求得分不小于求得分不小于 6 分的概率分的概率 解:解:(1)从袋中随机摸从袋中随机摸 4 个球的情况为:个球的情况为: 1 红红 3
15、 黑,黑,2 红红 2 黑,黑,3 红红 1 黑,黑,4 红共四种情况,分别得分为红共四种情况,分别得分为 2 分,分,4 分,分,6 分,分,8 分,分, 故故 X 的可能取值为的可能取值为 2,4,6,8. P(X2);P(X4); C1 4C3 3 C4 7 4 35 C2 4C2 3 C4 7 18 35 P(X6);P(X8). C3 4C1 3 C4 7 12 35 C4 4C0 3 C4 7 1 35 所以所以 X 的分布列为的分布列为 X2468 P 4 35 18 35 12 35 1 35 (2)由由(1)中分布列得中分布列得 P(X6)P(X6)P(X8). 13 35
16、解题高手解题高手妙解题妙解题 有有 10 台都为台都为 7.5 千瓦的机床,如果每台机床的使用情况是相互独立的,且每台机床平 均每小时开动 千瓦的机床,如果每台机床的使用情况是相互独立的,且每台机床平 均每小时开动 12 min,问全部机床用电超过,问全部机床用电超过 48 千瓦的可能性有多大?千瓦的可能性有多大?(保留两位有效数字保留两位有效数字) 尝试尝试 巧思巧思 由于每台机床正常工作的概率为 由于每台机床正常工作的概率为0.2,而且每台机床都只有“工作”与,而且每台机床都只有“工作”与 12 60 “不工作”两种情况,故某一时刻正常工作的机床台数服从二项分布“不工作”两种情况,故某一时
17、刻正常工作的机床台数服从二项分布 妙解妙解 设 设 X 为某一时刻正常工作的机床的台数,则为某一时刻正常工作的机床的台数,则 XB(10,0.2),P(Xk)Ck 10 0.2k0.810 k(k 0,1,2,10),根据题意,根据题意,48 千瓦可供千瓦可供 6 台机床同时工作,用电超过台机床同时工作,用电超过 48 千瓦,即意味着有千瓦,即意味着有 7 台或台或 7 台以上的机床在工作,这一事件的概率为:台以上的机床在工作,这一事件的概率为: P(X7)P(X7)P(X8)P(X9)P(X10)C 0.270.83C 0.280.82 7 108 10 C 0.290.81C 0.2100
18、.800.000 86. 9 101010 1下列问题中的随机变量不服从两点分布的是下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( ) A抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量 X B某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量 X C从装有从装有 5 个红球,个红球,3 个白球的袋中取个白球的袋中取 1 个球,令随机变量个球,令随机变量 XError!Error! D某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量 X 解析:选解析:选 A A 中随机变量中随机变量 X 的取值有的取值有 6 个,不服
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