2019数学新设计北师大选修2-1精练:第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2含答案.pdf
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1、2.2 抛物线的简单性质 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.已知抛物线 y2=ax(a0)的准线是 x=-1,则它的焦点坐标是( ) A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0) 解析:准线为 x=- =-1,a=4,即 y2=4x. 焦点坐标为(1,0). 答案:A 2.如图,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若=0,则|+|+|等于( ) A.6B.4C.3D.2 解析:由=0,知 F 为ABC 的重心,由抛物线方程知,F(1,0). 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),x1+x2+x3=3. 又|+|+|=x1+x2
2、+x3+p=3+3=6. 答案:A 3.已知直线 l 过抛物线 y2=8x 的焦点且与它交于 A,B 两点,若 AB 中点的横坐标为 3,则|AB|等于( ) A.7B.5C.8D.10 解析:焦点为 F(2,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=23=6,所以|AB|=|FA|+|FB|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=10. 答案:D 4.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PAl,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为-,那么|PF| 等于( ) A.4B.8C.8D.16 解析:直线 AF 的方程为 y=-(x-2),联
3、立得 y=4,所以点 P 的坐标为(6,4).由抛物线的性质, 得|PF|=|PA|=6+2=8. 答案:B 5.过抛物线的焦点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,若点 A,B 在抛物线的准线上的射影分别为 A1,B1,则 A1FB1为( ) A.45B.60C.90D.120 解析:设抛物线的方程为 y2=2px(p0). 如图,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|, AA1F=AFA1, BFB1=FB1B. 又 AA1OxB1B, A1FO=FA1A,B1FO=FB1B. A1FB1=AFB=90. 答案:C 6.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: 焦点在 y 轴上; 焦
4、点在 x 轴上; 抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; 抛物线的通径的长为 5; 由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 能使这条抛物线的方程为 y2=10x 的条件是 (要求填写适合条件的序号). 解析:由抛物线的方程为 y2=10x,知它的焦点在 x 轴上, 适合. 又抛物线的焦点坐标为 F,原点 O(0,0), 设点 P(2,1),可得 kPOkPF=-1,也适合. 而显然不适合,通过计算可知不合题意. 应填序号为. 答案: 7.有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2=2x 上,另一个顶点在原点,则这个三角形的边长是 . 解析:有两个顶点关于 x 轴对称,进而
5、得到两边所在直线的倾斜角是. 可设三角形的边长为 a,x 轴上方的顶点为,代入抛物线方程,得 x0=6. 由a=6,得边长 a=12. 答案:12 8.已知点(x,y)在抛物线 y2=4x 上,则 z=x2+ y2+3 的最小值是 . 解析:点(x,y)在抛物线 y2=4x 上,x0. z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2, 当 x=0 时,z 最小,其最小值为 3. 答案:3 9.已知直线 l:y=kx+1,抛物线 C:y2=4x,求当 k 为何值时,l 与 C 有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点? 解将 l 和 C 的方程联立,得 消去 y,得 k2x
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