2019数学新设计北师大选修2-1精练:第二章 空间向量与立体几何 测评含答案.pdf
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1、第二章测评第二章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.在以下命题中,不正确的有( ) |a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件; 若 ab,则存在唯一的实数 ,使 a=b; 若向量 a,b,c 构成空间的一个基底,则 a+b,b+c,c+a 构成空间的另一个基底; |(ab)c|=|a|b|c|. A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析:只有正确,故选 C. 答案:C 2. 如图,已知四面体 ABCD,E,F,G,H 分别为 AB,BC,C
2、D,AC 的中点,则)=( ) A.B. C.D. 解析:)=)=, 又,)=. 答案:C 3.已知 A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令 a=,b=,则 a+b=( ) A.(5,-9,2)B.(-5,9,-2) C.(5,9,-2)D.(5,-9,-2) 解析:A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0), a=(-1,0,-2),b=(-4,9,0), a+b=(-5,9,-2). 答案:B 4.已知O-ABC是四面体,G1是ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若=x+y+z, 则(x,y,z)
3、为( ) A.B. C.D. 解析:如图, 连接 AG1并延长交 BC 于点 E,则 E 为 BC 的中点, )=-2),-2 ). =3=3(),)= ,故选 A. 答案:A 5.设 xy0z,空间向量 m=,n=,且 x2+9z2=4y(x-y),则 mn 的最小值是 ( ) A.2B.4C.2D.5 解析:空间向量 m=,n=, mn=x2+9z2 =4y(x-y)+ 2=4. 当且仅当 4y(x-y)=时取等号. 则 mn 的最小值是 4. 答案:B 6. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 E,F 分别在 A1D,AC 上,且 A1E= A1D,AF= AC,则 ( )
4、A.EF 至多与 A1D,AC 之一垂直 B.EF 与 A1D,AC 都垂直 C.EF 与 BD1相交 D.EF 与 BD1异面 解析:以 D 为坐标原点,分别以的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标 系 D-xyz,设正方体的棱长为 3,则 A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),=(-3,0,-3),=(- 3,3,0),=(1,1,-1),=0,=0,A1DEF,ACEF.又=(- 3,-3,3), =-3,即 BD1与 EF 平行.故选 B. 答案:B 7.已知
5、空间三点 O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线 OA 上有一点 H 满足 BHOA,则点 H 的坐标 为( ) A.(-2,2,0)B.(2,-2,0) C.D. 解析:由=(-1,1,0),且点 H 在直线 OA 上,可设 H(-,0),则=(-,-1,-1).又 BHOA, =0,即(-,-1,-1)(-1,1,0)=0,即 +-1=0,解得 =,H,故选 C. 答案:C 8. 如图,正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面内的投影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 的夹角是( ) A.30 B.45 C.60 D.90
6、解析: 如图,以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 O-xyz.设 OD=SO=OA=OB=OC=a,则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,则=(2a,0,0),=(a,a,0),设平面 PAC 的 一个法向量为 n,可取 n=(0,1,1),则 cos=,所以=60,所以直线 BC 与平面 PAC 的夹角为 90-60=30. 答案:A 9. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1的中点,则点E到平面ABC1D1的距离是( ) A.B. C.D. 解析: 建立如图所示的坐标系, 正方体的棱长为 1, A(1,0,0),B(1,1,0),C(0
7、,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E. 设平面 ABC1D1的法向量为 n=(x,y,z). n=0,且 n=0,即(x,y,z)(0,1,0)=0,且(x,y,z)(-1,0,1)=0. y=0,且-x+z=0,令 x=1,则 z=1,n=(1,0,1). n0=.又, 点 E 到平面 ABC1D1的距离为|n0|=. 答案:B 10. 如图,在四面体 P-ABC 中,PC平面 ABC,AB=BC=CA=PC,则平面 ABP 与平面 APC 的夹角的余 弦值为( ) A.B. C.D. 解析: 取 AC 的中点 D,连接 BD,过 D 作 DEPC,以 D
8、B,DC,DE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如 图所示的空间直角坐标系.由图知平面 APC 的法向量为. 设 AB=1, 则 D(0,0,0),B,A,C,P, =(0,-1,-1),. 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z), 则 令 y=3,n=(-,3,-3). cos=-, 即平面 ABP 与平面 APC 的夹角的余弦值为. 答案:C 11.设 a,b 为非零向量,|b|=2|a|,两组向量 x1,x2,x3,x4和 y1,y2,y3,y4均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成, 若 x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为 4|a|2,则
9、a 与 b 的夹角为( ) A.B.C.D.0 解析:设 a 与 b 的夹角为 .x1y1+x2y2+x3y3+x4y4有以下三种可能: 2aa+2bb=2|a|2+2|b|2=10|a|2; 4ab=4|a|2|a|cos =8|a|2cos ; aa+2ab+bb=|a|2+2|a|b|cos +|b|2=5|a|2+4|a|2cos . 由此易知最小,则 8|a|2cos =4|a|2, 解得 cos =,=. 答案:B 12.导学号 90074051已知平面 与平面 的夹角为 60,AB,ABl,A 为垂 足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为(
10、) A.B.C.D. 解析:如图, 在平面 内过 C 作 CEAB, 则ECD 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其补角,不妨取 CE=1,过 E 作 EO 于 O. 在平面 内过 O 作 OHCD 于 H, 连 EH,则 EHCD. 因为 ABCE,ABl,所以 CEl. 又因为 EO平面 ,所以 COl,所以ECO=60. 而ACD=135,COl,所以OCH=45. 在 RtECO 中,CO=CEcosECO=1cos 60=.在 RtCOH 中,CH=COcosOCH= sin 45=.在 RtECH 中,cosECH=.所以异面直线 AB 与 CD 所 成角的余弦值为.故选 B.
11、 答案:B 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.已知 l,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 的法向量为,则 m= . 解析:l,l 的方向向量与平面 的法向量垂直,即(2,m,1)=0,2+ m+2=0,m=-8. 答案:-8 14.已知正方体 ABCD-ABCD的棱长为 1,设=a,=b,=c,则= . 解析: 如图,取 CC中点 E,连接 AC,AE. 正方体 ABCD-ABCD的棱长为 1, =a,=b,=c, a+b+c=. =|=. 答案: 15. 如图,PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,AB=2,E 为 P
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