2019版二轮复习数学(文)通用版讲义:第一部分 第三层级 难点自选专题三 “圆锥曲线”压轴大题的抢分策略含解析.pdf
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1、难点自选专题三 “圆锥曲线”压轴大题的抢分策略难点自选专题三 “圆锥曲线”压轴大题的抢分策略 全国卷全国卷 3 年考情分析年考情分析 年份年份全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷 2018 直线的方程、直线与抛物 线的位置关系、证明问 题 直线的方程、直线与抛物 线的位置关系、证明问 题T20 直线的方程、直线与抛物 线的位置关系、圆的方 程 直线的方程、直线与抛物 线的位置关系、圆的方 程T20 直线与椭圆的位置关系、 证明问题 直线与椭圆的位置关系、 证明问题T20 2017 直线与抛物线的位置关 系、导数的几何意义 直线与抛物线的位置关 系、导数的几何意义T20 点的轨迹方程、椭圆方程、
2、 向量的数量积等 点的轨迹方程、椭圆方程、 向量的数量积等T20 两直线垂直的条件、直线 与圆的位置关系、直线方 程 两直线垂直的条件、直线 与圆的位置关系、直线方 程T20 2016 直线与抛物线的位置关 系、存在性问题 直线与抛物线的位置关 系、存在性问题T20 直线与椭圆的位置关系、 面积问题、证明问题 直线与椭圆的位置关系、 面积问题、证明问题T21 直线与抛物线的位置关 系、证明问题及轨迹方程 的求法 直线与抛物线的位置关 系、证明问题及轨迹方程 的求法T20 解析几何是数形结合的典范,是高中数学的主要知识板块,是高考考查的重点知识之 一,在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等
3、试题难度较大,多以压轴题出现 解析几何是数形结合的典范,是高中数学的主要知识板块,是高考考查的重点知识之 一,在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等试题难度较大,多以压轴题出现 解答题的热点题型有:解答题的热点题型有: (1)直线与圆锥曲线位置关系;直线与圆锥曲线位置关系;(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解;圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解;(3)圆锥 曲线中的判断与证明 圆锥 曲线中的判断与证明 考法考法策略策略(一一) 依据关系来证明 依据关系来证明 典例典例 (2018全国卷全国卷)设椭圆设椭圆C:y21的右焦点为的右焦点为F, 过, 过F的直线的直线l与与C交于交
4、于A, x2 2 B 两点,点两点,点 M 的坐标为的坐标为(2,0) (1)当当 l 与与 x 轴垂直时,求直线轴垂直时,求直线 AM 的方程;的方程; (2)设设 O 为坐标原点,证明:为坐标原点,证明:OMAOMB. 解解 (1)由已知得由已知得 F(1,0),l 的方程为的方程为 x1. 则点则点 A 的坐标为或的坐标为或. (1, , 2 2) (1, , 2 2) 又又 M(2,0), 所以直线所以直线 AM 的方程为的方程为 yx或或 yx, 2 2 2 2 2 2 即即 xy20 或或 xy20.22 (2)证明:当证明:当 l 与与 x 轴重合时,轴重合时,OMAOMB0 .
5、 当当 l 与与 x 轴垂直时,轴垂直时,OM 为为 AB 的垂直平分线,的垂直平分线, 所以所以OMAOMB. 当当 l 与与 x 轴不重合也不垂直时,设轴不重合也不垂直时,设 l 的方程为的方程为 yk(x1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2), 则则 x1b0),点,点 O 为坐标原点,点为坐标原点,点 A 的坐标为的坐标为(a,0),点,点 B x2 a2 y2 b2 的坐标为的坐标为(0,b),点,点 M 在线段在线段 AB 上,满足上,满足|BM|2|MA|,直线,直线 OM 的斜率为的斜率为. 5 10 (1)求求 E 的离心率的离心率 e; (2)设点设点 C 的坐标
6、为的坐标为(0,b),N 为线段为线段 AC 的中点,证明:的中点,证明:MNAB. 解:解:(1)由题设条件知,点由题设条件知,点 M 的坐标为,的坐标为, ( 2 3a, , 1 3b) 又又 kOM,从而,从而. 5 10 b 2a 5 10 进而得进而得 ab,c2b,故,故 e .5a2b2 c a 2 5 5 (2)证明:由证明:由 N 是是 AC 的中点知,点的中点知,点 N 的坐标为,可得的坐标为,可得. ( a 2, , b 2) NM ( a 6, , 5b 6) 又又(a,b),AB 从而有从而有 a2 b2 (5b2a2)AB NM 1 6 5 6 1 6 由由(1)可
7、知可知 a25b2, 所以所以0,故,故 MNAB.AB NM 考法考法策略策略(二二) 巧妙消元证定值 巧妙消元证定值 典例典例 已知椭圆 已知椭圆 C:1(ab0),过,过 A(2,0),B(0,1)两点两点 x2 a2 y2 b2 (1)求椭圆求椭圆 C 的方程及离心率;的方程及离心率; (2)设设 P 为第三象限内一点且在椭圆为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线上,直线 PA 与与 y 轴交于点轴交于点 M,直线,直线 PB 与与 x 轴 交于点 轴 交于点 N,求证:四边形,求证:四边形 ABNM 的面积为定值的面积为定值 解解 (1)由题意得,由题意得,a2,b1, 所以椭圆所以
8、椭圆 C 的方程为的方程为y21. x2 4 又又 c,所以离心率,所以离心率 e .a2b23 c a 3 2 (2)证明:设证明:设 P(x0,y0)(x00,y00),则,则 x 4y 4. 2 02 0 又又 A(2,0),B(0,1), 所以直线所以直线 PA 的方程为的方程为 y(x2) y0 x02 令令 x0,得,得 yM, 2y0 x02 从而从而|BM|1yM1. 2y0 x02 直线直线 PB 的方程为的方程为 yx1. y01 x0 令令 y0,得,得 xN, x0 y01 从而从而|AN|2xN2. x0 y01 所以四边形所以四边形 ABNM 的面积的面积 S |A
9、N|BM| 1 2 1 2(2 x0 y01)(1 2y0 x02) x 2 0 4y2 04x0y04x0 8y04 2 x0y0x02y0 2 2. 2x0y02x04y04 x0y0x02y02 从而四边形从而四边形 ABNM 的面积为定值的面积为定值 题后悟通 解答圆锥曲线的定值问题的策略题后悟通 解答圆锥曲线的定值问题的策略 (1)从特殊情形开始,求出定值,再证明该值与变量无关;从特殊情形开始,求出定值,再证明该值与变量无关; (2)采用推理、计算、消元得定值消元的常用方法为整体消元采用推理、计算、消元得定值消元的常用方法为整体消元(如本例如本例)、选择消元、对 称消元等 、选择消元
10、、对 称消元等 应用体验应用体验 2(2019 届高三届高三湘东五校联考湘东五校联考)已知椭圆已知椭圆 C 的中心在原点,离心率等于 ,它的一个短的中心在原点,离心率等于 ,它的一个短 1 2 轴端点恰好是抛物线轴端点恰好是抛物线 x28y 的焦点的焦点3 (1)求椭圆求椭圆 C 的方程;的方程; (2)如图,已知如图,已知 P(2,3),Q,Q(2,3)是椭圆上的两点,是椭圆上的两点,A,B 是椭圆 上位于直线 是椭圆 上位于直线 PQ 两侧的动点当Q 两侧的动点当 A,B 运动时,满足运动时,满足APQQBPQ, 试问直线 Q, 试问直线 AB 的斜率是否为定值?请说明理由的斜率是否为定值
11、?请说明理由 解:解:(1)由题意知椭圆的焦点在由题意知椭圆的焦点在 x 轴上,轴上, 设椭圆设椭圆 C 的方程为的方程为1(ab0), x2 a2 y2 b2 则则 b2 . 3 由 ,由 ,a2c2b2,得,得 a4, c a 1 2 椭圆椭圆 C 的方程为的方程为1. x2 16 y2 12 (2)直线直线 AB 的斜率是定值,理由如下:的斜率是定值,理由如下: 设设 A(x1,y1),B(x2,y2) APQQBPQ,直线Q,直线 PA,PB 的斜率之和为的斜率之和为 0, 设直线设直线 PA 的斜率为的斜率为 k,则直线,则直线 PB 的斜率为的斜率为k,直线,直线 PA 的方程为的
12、方程为 y3k(x2), 由由Error! 得得(34k2)x28k(32k)x4(32k)2480, x12, 8k 2k 3 3 4k2 将将 k 换成换成k 可得可得 x22, 8k 2k 3 3 4k2 8k 2k 3 3 4k2 x1x2,x1x2, 16k212 3 4k2 48k 3 4k2 kAB y1y2 x1x2 k x12 3k x22 3 x1x2 , , k x1x2 4k x1x2 1 2 直线直线 AB 的斜率为定值的斜率为定值 . 1 2 考法考法策略策略(三三) 构造函数求最值 构造函数求最值 典例典例 在 在 RtABC 中,中,BAC90 , ,A(0,2
13、),B(0,2),S ABC .动点动点 P22 2 2 3 的轨迹为曲线的轨迹为曲线 E,曲线,曲线 E 过点过点 C 且满足且满足|PA|PB|的值为常数的值为常数 (1)求曲线求曲线 E 的方程的方程 (2)过点 Q过点 Q(2,0)的直线与曲线的直线与曲线 E 总有公共点,以点总有公共点,以点 M(0,3)为圆心的圆为圆心的圆 M 与该直线 总相切,求圆 与该直线 总相切,求圆 M 的最大面积的最大面积 解解 (1)由已知由已知|AB|4,2 S ABC |AB|AC|, 1 2 2 2 3 所以所以|AC| . 1 3 因为因为|PA|PB|CA|CB|6|AB|4,2 所以曲线所以
14、曲线 E 是以点是以点 A,B 为焦点的椭圆且为焦点的椭圆且 2a6,2c4 . 2 所以所以 a3,c2b1,2 所以曲线所以曲线 E 的方程为的方程为 x2 1. y2 9 (2)由题意可设直线方程为由题意可设直线方程为 yk(x2), 联立联立Error!消去消去 y,得,得(9k2)x24k2x4k290, 则则 (4k2)24(9k2)(4k29)0,解得,解得 k23. 因为以点因为以点 M(0,3)为圆心的圆为圆心的圆 M 与该直线总相切,与该直线总相切, 所以半径所以半径 r. |2k 3| 1 k2 令令 r2f(k), 2k 3 2 1 k2 则则 f(k)4 2k 3 1
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