2019版二轮复习数学(文)通用版讲义:第一部分 第二层级 重点增分专题十三 选修4-4 坐标系与参数方程含解析.pdf
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1、重点增分专题十三 选修重点增分专题十三 选修 44 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 全国卷全国卷 3 年考情分析年考情分析 年份年份全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷 2018 极坐标与直角坐标的互 化、曲线方程的求解 极坐标与直角坐标的互 化、曲线方程的求解 参数方程与直角坐标方程 的互化、参数方程的应用 参数方程与直角坐标方程 的互化、参数方程的应用 参数方程与普通方程的互 化、参数方程的应用 参数方程与普通方程的互 化、参数方程的应用 2017 参数方程与普通方程的互 化、点到直线的距离 参数方程与普通方程的互 化、点到直线的距离 直角坐标与极坐标的互 化、动点轨迹方程的求法、 三
2、角形面积的最值问题 直角坐标与极坐标的互 化、动点轨迹方程的求法、 三角形面积的最值问题 直线的参数方程与极坐标 方程、动点轨迹方程的求 法 直线的参数方程与极坐标 方程、动点轨迹方程的求 法 2016 参数方程与普通方程的互 化、极坐标方程与直角坐 标方程的互化及应用 参数方程与普通方程的互 化、极坐标方程与直角坐 标方程的互化及应用 极坐标方程与直角坐标方 程的互化及应用、直线与 圆的位置关系 极坐标方程与直角坐标方 程的互化及应用、直线与 圆的位置关系 参数方程、极坐标方程及 点到直线的距离、三角函 数的最值 参数方程、极坐标方程及 点到直线的距离、三角函 数的最值 (1)坐标系与参数方
3、程是高考的选考内容之一,高考考查的重点主要有两个方面:一是 简单曲线的极坐标方程;二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用 坐标系与参数方程是高考的选考内容之一,高考考查的重点主要有两个方面:一是 简单曲线的极坐标方程;二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用 (2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现,难度中等,备考此部分内容时 应注意转化思想的应用 全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现,难度中等,备考此部分内容时 应注意转化思想的应用 保分考点保分考点练后讲评练后讲评考考点点一一极极坐坐标标 1.(2018全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中,曲线中,曲线 C
4、1的方程的方程极极坐坐标 标方方程程化化直直角角坐 坐标 标方方程程 为为 yk|x|2.以坐标原点为极点,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程 为 的极坐标方程 为 22cos 30. (1)求求 C2的直角坐标方程;的直角坐标方程; (2)若若 C1与与 C2有且仅有三个公共点,求有且仅有三个公共点,求 C1的方程的方程 解:解:(1)由由 xcos ,ysin 得得 C2的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x1)2y24. (2)由由(1)知知 C2是圆心为是圆心为 A(1,0),半径为,半径为 2 的圆的圆 由题设知,由
5、题设知,C1是过点是过点 B(0,2)且关于且关于 y 轴对称的两条射线记轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为轴右边的射线为 l1,y 轴 左边的射线为 轴 左边的射线为 l2. 由于点由于点 B 在圆在圆 C2的外面, 故的外面, 故 C1与与 C2有且仅有三个公共点等价于有且仅有三个公共点等价于 l1与与 C2只有一个公共 点且 只有一个公共 点且 l2与与 C2有两个公共点,或有两个公共点,或 l2与与 C2只有一个公共点且只有一个公共点且 l1与与 C2有两个公共点有两个公共点 当当 l1与与 C2只有一个公共点时,点只有一个公共点时,点 A 到到 l1所在直线的距离为所在直线的距离
6、为 2, 所以所以2,故,故 k 或 或 k0. |k 2| k21 4 3 经检验,当经检验,当 k0 时,时,l1与与 C2没有公共点;没有公共点; 当当 k 时, 时,l1与与 C2只有一个公共点,只有一个公共点,l2与与 C2有两个公共点有两个公共点 4 3 当当 l2与与 C2只有一个公共点时,点只有一个公共点时,点 A 到到 l2所在直线的距离为所在直线的距离为 2, 所以所以2,故,故 k0 或或 k . |k 2| k21 4 3 经检验,当经检验,当 k0 时,时,l1与与 C2没有公共点;没有公共点; 当当 k 时, 时,l2与与 C2没有公共点没有公共点 4 3 综上,所
7、求综上,所求 C1的方程为的方程为 y |x|2. 4 3 2.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中, 曲线中, 曲线C1的方程为的方程为(x)2(y直直角角坐坐标 标方方程程化化极极坐 坐标 标方方程程 3 2)24,直线,直线 C2的方程为的方程为 yx,以,以 O 为极点,以为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标轴的正半轴为极轴建立极坐标 3 3 系求曲线系求曲线 C1和直线和直线 C2的极坐标方程的极坐标方程 解:曲线解:曲线 C1的普通方程为的普通方程为(x)2(y2)24,3 即即 x2y22x4y30,3 曲线曲线 C1的极坐标方程为的极坐标方程为 22cos 4sin
8、30.3 直线直线 C2的方程为的方程为 yx, 3 3 直线直线 C2的极坐标方程为的极坐标方程为 (R) 6 3.(2017全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,中,以坐标原点为极点,x 轴轴极极坐坐标 标方方程程的 的应 应用用 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1的极坐标方程为的极坐标方程为 cos 4. (1)M 为曲线为曲线 C1上的动点, 点上的动点, 点 P 在线段在线段 OM 上, 且满足上, 且满足|OM|OP|16, 求点, 求点 P 的轨迹的轨迹 C2 的直角坐标方程;的直角坐标方程; (2)设点设点 A 的
9、极坐标为,点的极坐标为,点 B 在曲线在曲线 C2上,求上,求OAB 面积的最大值面积的最大值 (2, , 3) 解:解:(1)设设 P 的极坐标为的极坐标为(,)(0),M 的极坐标为的极坐标为(1,)(10) 由题设知由题设知|OP|,|OM|1. 4 cos 由由|OM|OP|16,得,得 C2的极坐标方程的极坐标方程 4cos (0) 因此因此 C2的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x2)2y24(x0) (2)设点设点 B 的极坐标为的极坐标为(B,)(B0), 由题设知由题设知|OA|2,B4cos ,于是,于是OAB 面积面积 S |OA|BsinAOB4cos sin 2. 1
10、 2 3|sin(2 3) 3 2| 当当 时,时,S 取得最大值取得最大值 2. 12 3 所以所以OAB 面积的最大值为面积的最大值为 2 . 3 解题方略解题方略 1直角坐标与极坐标方程的互化直角坐标与极坐标方程的互化 (1)直角坐标方程化极坐标方程时,可以直接将直角坐标方程化极坐标方程时,可以直接将 xcos ,ysin 代入即可代入即可 (2)极坐标方程化直角坐标方程时,一般需要构造极坐标方程化直角坐标方程时,一般需要构造 2,sin ,cos ,常用的技巧有式 子两边同乘以 ,常用的技巧有式 子两边同乘以 ,两角和与差的正弦、余弦展开等,两角和与差的正弦、余弦展开等 2求解与极坐标
11、有关的问题的主要方法求解与极坐标有关的问题的主要方法 (1)直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想结合使用;直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想结合使用; (2)转化为直角坐标系,用直角坐标求解若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化 为极坐标 转化为直角坐标系,用直角坐标求解若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化 为极坐标. 保分考点保分考点练后讲评练后讲评考考点点二二参参数数方方程程 1.在极坐标系中,曲线在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为 sin2cos 0,M普普通通方方程程化化参参数数方方程程 .以极点以极点 O 为原点, 极轴为为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立
12、直角坐标系 斜率为轴的正半轴建立直角坐标系 斜率为1 的直线的直线 l 过点过点 M, (1, , 2) 且与曲线且与曲线 C 交于交于 A,B 两点求曲线两点求曲线 C 和直线和直线 l 的参数方程的参数方程 解:由解:由 sin2cos 0 得得 2sin2cos , y2x,故曲线,故曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 y2x. 故曲线故曲线 C 的参数方程为的参数方程为Error!(t 为参数为参数), 由题意,由题意,M 的直角坐标为的直角坐标为(0,1), 则直线则直线 l 的参数方程为的参数方程为Error!(t 为参数为参数), 即即Error!(t 为参数为参数) 2
13、.(2018全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中,曲线中,曲线 C 的参数方程为的参数方程为参参数数方方程程化化普普通通方方程程 Error!( 为参数为参数),直线,直线 l 的参数方程为的参数方程为Error!(t 为参数为参数) (1)求求 C 和和 l 的直角坐标方程;的直角坐标方程; (2)若曲线若曲线 C 截直线截直线 l 所得线段的中点坐标为所得线段的中点坐标为(1,2),求,求 l 的斜率的斜率 解:解:(1)曲线曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为1.当当 cos 0 时,时,l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 ytan x2 4 y2 16 x2tan
14、 , 当当 cos 0 时,时,l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 x1. (2)将将 l 的参数方程代入的参数方程代入 C 的直角坐标方程,整理得关于的直角坐标方程,整理得关于 t 的方程的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80. 因为曲线因为曲线 C 截直线截直线 l 所得线段的中点所得线段的中点(1,2)在在 C 内,内, 所以有两个解,设为所以有两个解,设为 t1,t2,则,则 t1t20. 又由得又由得 t1t2, 4 2cos sin 1 3cos2 故故 2cos sin 0, 于是直线于是直线 l 的斜率的斜率 ktan 2. 解题方略解题方略 参数方程化为普
15、通方程消去参数的方法参数方程化为普通方程消去参数的方法 (1)代入消参法:将参数解出来代入另一个方程消去参数,直线的参数方程通常用代入 消参法 代入消参法:将参数解出来代入另一个方程消去参数,直线的参数方程通常用代入 消参法 (2)三角恒等式法:利用三角恒等式法:利用 sin2cos21 消去参数,圆的参数方程和椭圆的参数方程都 是运用三角恒等式法 消去参数,圆的参数方程和椭圆的参数方程都 是运用三角恒等式法 (3)常见消参数的关系式:常见消参数的关系式: t 1; 1 t 2 2 4; (t 1 t) (t 1 t) 2 2 1. ( 2t 1 t2) ( 1 t2 1 t2) 极坐标与参数
16、方程的综合应用极坐标与参数方程的综合应用 考考点点三三 增增分分考考点点 广广度度拓拓展展 分点研究分点研究 题型一 直线的参数方程中参数几何意义的应用题型一 直线的参数方程中参数几何意义的应用 例例 1 (2019 届高三届高三湖北五校联考湖北五校联考)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中,曲线中,曲线 C1过点过点 P(a,1), 其参数方程为 , 其参数方程为Error!(t 为参数,为参数,aR)以以 O 为极点,为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系, 曲线 轴正半轴为极轴,建立极坐标系, 曲线 C2的极坐标方程为的极坐标方程为 cos24cos 0. (1)求曲线求曲线
17、C1的普通方程和曲线的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;的直角坐标方程; (2)已知曲线已知曲线 C1与曲线与曲线 C2交于交于 A,B 两点,且两点,且|PA|2|PB|,求实数,求实数 a 的值的值 解解 (1)曲线曲线 C1的参数方程为的参数方程为Error!(t 为参数,为参数,aR), 曲线曲线 C1的普通方程为的普通方程为 xya10. 曲线曲线 C2的极坐标方程为的极坐标方程为 cos24cos 0, 2cos24cos 20, 又又 cos x,2x2y2, x24xx2y20, 即曲线即曲线 C2的直角坐标方程为的直角坐标方程为 y24x. (2)设设 A,B 两点所对应的
18、参数分别为两点所对应的参数分别为 t1,t2, 由由Error!得得 t22t28a0.2 (2)24(28a)0,即,即 a0,2 Error! 根据参数方程中参数的几何意义可知根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|t1|,|PB|t2|, 由由|PA|2|PB|得得 t12t2或或 t12t2, 当当 t12t2时,有时,有Error! 解得解得 a0,符合题意,符合题意, 1 36 当当 t12t2时,有时,有Error! 解得解得 a 0,符合题意,符合题意 9 4 综上所述,综上所述,a或或 a . 1 36 9 4 变式变式 1 本例 本例(2)的条件变为的条件变为|PA|PB|
19、6.求实数求实数 a 的值的值 解:由本例解析知解:由本例解析知|PA|PB|t1|t2|t1t2|28a|6, 解得解得 a1 或或 .又又a0, 1 2 a1. 变式变式 2 若本例曲线 若本例曲线 C1变为过点变为过点 P(0,1),其参数方程为,其参数方程为Error!(t 为参数为参数),其他条 件不变,求 ,其他条 件不变,求|PA|PB|. 解:曲线解:曲线 C1的参数方程化为的参数方程化为Error!代入曲线代入曲线 C2的方程的方程 y24x 得得 t26t20.2 设设 A,B 对应的参数分别为对应的参数分别为 t1,t2,则,则Error! t10,t20. |PA|PB
20、|t1|t2|t1t2|6 . 2 解题方略解题方略 利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题 经过点经过点 P(x0,y0),倾斜角为,倾斜角为 的直线的直线 l 的参数方程为的参数方程为Error!(t 为参数为参数)若若 A,B 为直线为直线 l 上两点,其对应的参数分别为上两点,其对应的参数分别为 t1,t2,线段,线段 AB 的中点为的中点为 M,点,点 M 所对应的参数为所对应的参数为 t0,则以 下结论在解题中经常用到: ,则以 下结论在解题中经常用到: (1)t0; t1t2 2 (2)|PM|t0|; | t1t2 2 | (3)|
21、AB|t2t1|; (4)|PA|PB|t1t2|. 题型二 极坐标方程中极径几何意义的应用题型二 极坐标方程中极径几何意义的应用 例例 2 在平面直角坐标系 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆中, 圆 C 的参数方程为的参数方程为Error!( 为参数为参数), 以坐标原点, 以坐标原点 O 为极点,为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求圆求圆 C 的极坐标方程;的极坐标方程; (2)直线直线 l 的极坐标方程是的极坐标方程是 2sin3,射线,射线 OM: 与圆 与圆 C 的交点为的交点为 O,P, ( 3) 3 3 与直线与直线 l 的交点为 Q,
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