2019版二轮复习数学(文)通用版讲义:第二部分 备考技法专题一 解题常用8术系统归纳——串一串方法含解析.pdf
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1、 备考技法专题一备考技法专题一 解题常用解题常用 8 术系统归纳术系统归纳串一串方法串一串方法 第第 1 术 探求思路,图作向导术 探求思路,图作向导 方法 概述 方法 概述 对题设条件不够明显的数学问题求解,注重考查相关的图形,巧用图形作向导是思 维入手和领会题意的关键所在尤其是对一些复合函数、三角函数、不等式等形式 给出的命题,其本身虽不带有图形,但我们可换个角度思考,设法构造相应的辅助 图形进行分析,将代数问题转化为几何问题来解力争做到有图用图,无图想图, 补形改图,充分运用其几何特征的直观性来启迪思维,从而较快地获得解题的途 径这就是我们常说的图解法 对题设条件不够明显的数学问题求解,
2、注重考查相关的图形,巧用图形作向导是思 维入手和领会题意的关键所在尤其是对一些复合函数、三角函数、不等式等形式 给出的命题,其本身虽不带有图形,但我们可换个角度思考,设法构造相应的辅助 图形进行分析,将代数问题转化为几何问题来解力争做到有图用图,无图想图, 补形改图,充分运用其几何特征的直观性来启迪思维,从而较快地获得解题的途 径这就是我们常说的图解法 应用 题型 应用 题型 选择题、填空题、解答题中均有应用,主要涉及最值、不等式、取值范围等问题选择题、填空题、解答题中均有应用,主要涉及最值、不等式、取值范围等问题 应应用用 一一 求求解解函函数数问问题题 例例 1 (1)用用 mina,b,
3、c表示表示 a,b,c 三个数中的最小值,设三个数中的最小值,设 f(x)min2x,x2,10 x(x0),则,则 f(x)的最大值为的最大值为( ) A4 B5 C6 D7 解析解析 画出 画出 y2x,yx2,y10x 的图象如图所示,观察 图象可知 的图象如图所示,观察 图象可知 f(x)Error! 所以所以 f(x)的最大值在的最大值在 x4 时取得,且为时取得,且为 6. 答案答案 C (2)已知函数已知函数 y的图象与函数的图象与函数 ykx 的图象恰有两个交点,的图象恰有两个交点, |x21| x 1 则实数则实数 k 的取值范围是的取值范围是_ 解析解析 yError! |
4、x21| x 1 作出其图象如图所示,结合图象可知作出其图象如图所示,结合图象可知 0 . 1 4 7 4 (xa)2y21,y21. 同理,同理,x21. x2y22. 由可知:由可知: 0,b0)的左焦点的左焦点 F(c,0)(c0),作圆,作圆 x2y2的切线,切的切线,切 x2 a2 y2 b2 a2 4 点为点为 E, 延长, 延长 FE 交双曲线右支于点交双曲线右支于点 P, 若, 若 (), 则双曲线的离心率为, 则双曲线的离心率为( )OE 1 2 OF OP A. B. 10 2 10 5 C. D.102 解析:选解析:选 A 由题意可知 由题意可知 E 为为 FP 的中点
5、,且的中点,且 OEFP.记记 F为双曲线的右焦点,作 出示意图如图,连接 为双曲线的右焦点,作 出示意图如图,连接 FP,则,则 FP 綊綊 2OE,所以,所以 FPFP,且,且|FP|a,故由双曲线 的定义可得 ,故由双曲线 的定义可得|FP|3a. 所以所以(2c)2a2(3a)2,所以,所以 e . c a 10 2 4已知已知 a0,b0,则不等式,则不等式 a b 的解是的解是( ) 1 x A.(1 a, , 1 b) B.(1 a, , 1 b) C. ( 1 b, ,0) ( 1 a, , ) D. ( , ,1 b) ( 1 a, , ) 解析:选解析:选 D 法一:直接求
6、解法 法一:直接求解法 b ,故选,故选 D. 1 b 1 a 法二:数形结合法利用法二:数形结合法利用 y 的图象,如图所示,故选 的图象,如图所示,故选 D. 1 x 5已知关于已知关于 x 的方程的方程|x|ax1 有一个负根,但没有正根,则实 数 有一个负根,但没有正根,则实 数 a 的取值范围是的取值范围是_ 解析 : 在同一平面直角坐标系中分别作出解析 : 在同一平面直角坐标系中分别作出 y|x|, yax1, yx 1 的图象 由图可知,当直线的图象 由图可知,当直线yax1的斜率的斜率a1时,直线时,直线yax1与与y|x|的图象有且仅有的图象有且仅有y 轴左侧一个交点, 即轴
7、左侧一个交点, 即|x|ax1 有一个负根,但没有正根有一个负根,但没有正根 答案:答案:1,) 6已知 a,b 为单位向量,a已知 a,b 为单位向量,abb0,若向量 c 满足,若向量 c 满足|cabcab|1,则,则|c c|的取值范围为的取值范围为 _ 解析:令a,b,解析:令a,b, ab,c,ab,c,OA OB OD OC 如图所示,则如图所示,则|.OD 2 又又|cbacba|1, 所以点所以点 C 在以点在以点 D 为圆心、半径为为圆心、半径为 1 的圆上的圆上 易知点易知点 C 与与 O,D 共线时共线时|取到最值,最大值为取到最值,最大值为1,最小值为,最小值为1,O
8、C 22 所以所以|c c|的取值范围为的取值范围为1,122 答案:答案:1,122 第第 2 术 解题常招,设参换元术 解题常招,设参换元 方法 概述 方法 概述 在解答数学问题时,我们常把某个代数式看成一个新的未知数,或将某些变元用另 一参变量的表达式来替换,以便将所求的式子变形,优化思考对象,让原来不醒目 的条件,或隐含的信息显露出来,促使问题的实质明朗化,使非标准型问题标准化, 从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉,从中找出解题思路这 种通过换元改变式子形式来变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去考 查、探究解题思路的做法,就是设参换元法,也就是我们常说的换元法
9、在解答数学问题时,我们常把某个代数式看成一个新的未知数,或将某些变元用另 一参变量的表达式来替换,以便将所求的式子变形,优化思考对象,让原来不醒目 的条件,或隐含的信息显露出来,促使问题的实质明朗化,使非标准型问题标准化, 从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉,从中找出解题思路这 种通过换元改变式子形式来变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去考 查、探究解题思路的做法,就是设参换元法,也就是我们常说的换元法 应用 题型 应用 题型 此方法既适用选择题、填空题,也适用于解答题,多在研究方程、不等式、函数、 三角、解析几何中广泛应用 此方法既适用选择题、填空题,也适用于解答题,
10、多在研究方程、不等式、函数、 三角、解析几何中广泛应用 方方法法 一一 三三角角换换元元 例例 1 已知 已知 x,yR,满足R,满足 x22xy4y26,则,则 zx24y2的取值范围为的取值范围为_ 常规解法常规解法 由由 x22xy4y26, 得得 2xy6(x24y2), 而而 2xy, x24y2 2 所以所以 6(x24y2), x24y2 2 所以所以 x24y24,当且仅当,当且仅当 x2y 时,取等号时,取等号 又因为又因为(x2y)262xy0,即,即 2xy6, 所以所以 zx24y262xy12, 综上可得综上可得 4x24y212. 提速解法提速解法 已知已知 x22
11、xy4y26, 即即(xy)2(y)2()2,36 故设故设 xycos ,ysin ,636 即即 xcos sin ,ysin .622 则则 zx24y262xy62(cos sin )sin 84sin.622 (2 6) 所以所以 84z84, 即即 z 的取值范围为的取值范围为4,12 答案答案 4,12 方方法法 二二 整整体体换换元元 例例 2 已知椭圆 已知椭圆 C 方程为方程为y21,且直线,且直线 l:ykxm 与圆与圆 O:x2y21 相切,相切, x2 4 若直线若直线 l 与椭圆与椭圆 C 交于交于 M,N 两点,求两点,求OMN 面积的最大值面积的最大值 解解 圆
12、 圆 O 的圆心为坐标原点,半径的圆心为坐标原点,半径 r1,由直线,由直线 l:ykxm,即,即 kxym0 与 圆 与 圆 O:x2y21 相切,得相切,得1,故有,故有 m21k2. |m| 1 k2 由由Error! 消去消去 y 得得(4k21)x28kmx4m240. 设设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则则 x1x2,x1x2. 8km 4k21 4m24 4k21 所以所以|x1x2|2(x1x2)24x1x2 2 4 ( 8km 4k21) 4m24 4k21 . 16 4k2m2 1 4k 2 1 2 将代入,得将代入,得|x1x2|2, 48k2 4k 2 1 2
13、 故故|x1x2|. 4 3|k| 4k21 所以所以|MN|x1x2|.1k21k2 4 3|k| 4k21 4 3k2 k 2 1 4k21 故故OMN 的面积的面积 S |MN|1. 1 2 2 3k2 k 2 1 4k21 令令 t4k21(t1),则,则 k2,代入上式,代入上式, t 1 4 得得 S2 3 t 1 4( t 1 4 1) t2 3 2 t 1 t 3 t2 , 3 2 1 t2 2 3t 1 3 3 2 (1 t 1 3) 2 4 9 所以当所以当 t3,即,即 4k213,解得,解得 k时,时,S 取得最大值,且最大值为 取得最大值,且最大值为 1. 2 2 3
14、 2 4 9 方方法法 三三 两两次次换换元元 例例 3 已知 已知 u1,v1 且且(logau)2(logav)2loga(au2)loga(av2)(a1),则,则 loga(uv)的 最大值和最小值分别为 的 最大值和最小值分别为_,_. 解析解析 令 令xlogau,ylogav,则,则x0,y0.已知等式可化为已知等式可化为(x1)2(y1)2 4(x0,y0) 再设 再设 tloga(uv)xy(x0, y0), 由图可知, 当线段, 由图可知, 当线段 yxt(x0, y0)与圆弧与圆弧(x1)2(y1)24(x0, y0)相切时相切时(图中图中 CD 位置位置), 截距, 截
15、距 t 取最大 值, 取最大 值,tmax22;当线段端点是圆弧端点时;当线段端点是圆弧端点时(图中图中AB位置位置), 截距, 截距t取最小值,取最小值,tmin1.因此因此23 loga(uv)的最大值是的最大值是 22,最小值是,最小值是 1.23 答案答案 22 123 提醒提醒 利用两次换元探究动点的轨迹方程,数形结合使问题变得直观换元中应注意 旧变量对新变量的限制 利用两次换元探究动点的轨迹方程,数形结合使问题变得直观换元中应注意 旧变量对新变量的限制 应用体验应用体验 1椭圆 椭圆 1 的左焦点为的左焦点为 F,直线,直线 xm 与椭圆相交于点与椭圆相交于点 A,B,当,当FAB
16、 的周长的周长 x2 4 y2 3 最大时,最大时,FAB 的面积为的面积为_ 解析:已知 解析:已知 1,则,则 F(1,0) x2 4 y2 3 设设 A(2cos ,sin ),B(2cos ,sin ),33 则则|AF|BF|2cos , 2cos 1 2 3sin2 故故FAB 的周长的周长 l2(2cos )2sin 44sin.3 ( 6) 当当 时, 时,l 取得最大值,此时取得最大值,此时FAB 的面积为的面积为 3 S (12cos )2sin sin (12cos )3. 1 2 33 答案:答案:3 2不等式不等式 log2(2x1)log2(2x 1 2)0, (
17、2, , 2) 则则 f(x) , ( 4) 4 又又 x, ( 2, , 2) 所以所以 n Bm2 Dm,n 的大小关系不确定的大小关系不确定 1 n 解析解析 由不等式可得 由不等式可得0, 故函数故函数 f(x)在在(2,e)上单调递增上单调递增 因为因为 f(n) ,则事件,则事件 A 发生的概率为发生的概率为( ) 1 4 A. B1 16 16 C. D1 4 4 解析解析 由题意知,计算机产生的 由题意知,计算机产生的 01 之间的均匀随机数之间的均匀随机数 a,b 的对 应区域是边长为 的对 应区域是边长为 1 的正方形, 面积为的正方形, 面积为 1; 事件; 事件 A 对
18、应的区域是边长为对应的区域是边长为 1 的正 方形减去四分之一的圆圆心为 的正 方形减去四分之一的圆圆心为(1,1), 半径为 , 如图所示, 则事件, 半径为 , 如图所示, 则事件 A 对应的对应的 1 2 区域的面积为区域的面积为 1.由几何概型的概率计算公式得事件由几何概型的概率计算公式得事件 A 发生的概率为发生的概率为 1. 16 16 答案答案 B 应用体验应用体验 1已知函数已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意的实数是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意的实数 x 都有都有 xf(x1)(1x)f(x),则,则 f 的值是的值是( )
19、 (f ( 5 2) A0 B.1 2 C1 D.5 2 解析:选解析:选 A 由已知得, 由已知得, f x 1 x 1 f x x 故构造函数故构造函数 g(x),则,则 g(x1), f x x f x 1 x 1 所以所以 g(x1)g(x),即,即 g(x)是周期为是周期为 1 的函数的函数 又又 f(x)为偶函数,所以为偶函数,所以 g(x)为奇函数为奇函数 故再构造一个特例函数故再构造一个特例函数 g(x)sin 2x(xRR), 所以所以 f(x)xsin 2x,从而有,从而有 f sin 50, ( 5 2) 5 2 故故 f f(0)0,因此选,因此选 A. (f ( 5
20、2) 2已知数列已知数列an,an2an 1 n1,a11(nNN*),则,则 an_. 解析:由已知可得解析:由已知可得 ann32an 1 (n1)3 设设 bnann3,则,则 bn2bn 1, , 所以所以bn是公比为是公比为 2 的等比数列,且的等比数列,且 b1a1135, 所以所以 bn52n 1,所以 ,所以 an52n 1 n3. 答案:答案:52n 1 n3 3函数函数 f(x)的值域为的值域为_x24x13x210x26 解析:解析:f(x), x 2 2 0 3 2 x 5 2 0 1 2 其几何意义是平面内动点其几何意义是平面内动点 P(x,0)到两定点到两定点 M(
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