2019版二轮复习数学(理·普通生)通用版讲义:第一部分 第二层级 重点增分专题七 空间几何体的三视图、表面积及体积含解析.pdf
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1、重点增分专题七 空间几何体的三视图、表面积及体积重点增分专题七 空间几何体的三视图、表面积及体积 全国卷全国卷 3 年考情分析年考情分析 年份年份全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷 三视图与数学文化三视图与数学文化T3 2018 空间几何体的三视图、 直观图及最短路径问 题 空间几何体的三视图、 直观图及最短路径问 题T7 圆锥的性质及侧面积的计 算 圆锥的性质及侧面积的计 算T16 与外接球有关的空间几何 体体积的最值问题 与外接球有关的空间几何 体体积的最值问题T10 2017 空间几何体的三视图与 直观图、 面积的计算 空间几何体的三视图与 直观图、 面积的计算T7 空间几何体的三视图
2、及组 合体体积的计算 空间几何体的三视图及组 合体体积的计算T4 球的内接圆柱、 圆柱的体积 的计算 球的内接圆柱、 圆柱的体积 的计算T8 空间几何体的三视图及表 面积的计算 空间几何体的三视图及表 面积的计算T9 2016 有关球的三视图及表面 积的计算 有关球的三视图及表面 积的计算T6 空间几何体的三视图及组 合体表面积的计算 空间几何体的三视图及组 合体表面积的计算T6与直三棱柱有关的球体积 的最值问题 与直三棱柱有关的球体积 的最值问题T10 (1)“立体几何” 在高考中一般会以 “两小一大” 或 “一小一大” 的命题形式出现, 这 “两 小”或“一小”主要考查三视图,几何体的表面
3、积与体积,空间点、线、面位置关系 “立体几何” 在高考中一般会以 “两小一大” 或 “一小一大” 的命题形式出现, 这 “两 小”或“一小”主要考查三视图,几何体的表面积与体积,空间点、线、面位置关系(特别 是平行与垂直 特别 是平行与垂直) (2)考查一个小题时,本小题一般会出现在第考查一个小题时,本小题一般会出现在第 48 题的位置上,难度一般;考查两个小 题时,其中一个小题难度一般,另一小题难度稍高,一般会出现在第 题的位置上,难度一般;考查两个小 题时,其中一个小题难度一般,另一小题难度稍高,一般会出现在第 1016 题的位置上, 本小题虽然难度稍高,主要体现在计算量上,但仍是对基础知
4、识、基本公式的考查 题的位置上, 本小题虽然难度稍高,主要体现在计算量上,但仍是对基础知识、基本公式的考查 保分考点保分考点练后讲评练后讲评考考点点一一空空间间几几何何体体的的三三视视图图 1.下列三视图所对应的直观图是下列三视图所对应的直观图是( )由由三三视 视图图还还原原直直观观图 图 解析:选解析:选 C 由三视图知,几何体的直观图下部是长方体,上部是圆柱,并且高相等, 所以 由三视图知,几何体的直观图下部是长方体,上部是圆柱,并且高相等, 所以 C 选项符合题意选项符合题意 2.如图是一个空间几何体的正视图和俯视图,则它的侧视图如图是一个空间几何体的正视图和俯视图,则它的侧视图由由部
5、部分分视 视图图判判断断余余下下视视图 图 为为( ) 解析:选解析:选 A 由正视图和俯视图可知,该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的, 结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为 由正视图和俯视图可知,该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的, 结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为 A,故选,故选 A. 3.(2018全国卷全国卷)中国古建筑借助榫卯将中国古建筑借助榫卯将由由直直观 观图图确确定定三三视视图 图 木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中 木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼 的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
6、 木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中 木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼 的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 解析:选解析:选 A 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直 观图可知其俯视图应选 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直 观图可知其俯视图应选 A. 解题方略解题方略 1识别三视图的步骤识别三视图的步骤 (1)应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的具体形状,明确几何体的摆放位置应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的具体形状,明确几何体的摆放位置 (2)根据三视图的有关规则先确定正视图,再确定俯视图,
7、最后确定侧视图根据三视图的有关规则先确定正视图,再确定俯视图,最后确定侧视图 (3)被遮住的轮廓线应为虚线被遮住的轮廓线应为虚线 2由三视图还原到直观图的思路由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面根据俯视图确定几何体的底面 (2)根据正根据正(主主)视图或侧视图或侧(左左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对 应的棱、面的位置 视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对 应的棱、面的位置 (3)确定几何体的直观图形状确定几何体的直观图形状 3由几何体的部分视图判断剩余的视图的思路由几何体的部分视图判断剩余的视图的思路 先根据已知的一部分视图,还原
8、、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分视图 的可能形式当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合 先根据已知的一部分视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分视图 的可能形式当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合 几何体的表面积与体积几何体的表面积与体积 增分考点增分考点讲练冲关讲练冲关考考点点二二 典例典例 (1)九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中 提到了一种名为“刍甍”的五面体,如图所示,四边形提到了一种名为“刍甍”的五面体,如图所示,四边形ABCD为矩形,棱
9、为矩形,棱EFAB.若此几何体中,若此几何体中,AB4,EF2, ,ADE 和和BCF 都是边长为都是边长为 2 的等边三角形,则该几何体的表面积为的等边三角形,则该几何体的表面积为( ) A8 B8833 C62 D8622323 (2)(2017全国卷全国卷)如图, 网格纸上小正方形的边长为如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗实线 画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分后所得,则该几何体的体积为 , 粗实线 画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分后所得,则该几何体的体积为( ) A90B63 C42D36 (3)如图,在直三棱柱如图,在
10、直三棱柱 ABCA1B1C1中,中,AB1, BC2, BB13, ABC90 ,点 ,点 D 为侧棱为侧棱 BB1上的动点当上的动点当 ADDC1最小时,三棱锥最小时,三棱锥 DABC1的体积为的体积为_ 解析解析 (1)如图所示,取如图所示,取 BC 的中点的中点 P, 连接连接 PF,则,则 PFBC,过,过 F 作作 FQQAB,垂足为 Q,垂足为 Q. 因为因为ADE 和和BCF 都是边长为都是边长为 2 的等边三角形,且的等边三角形,且 EFAB, 所以四边形所以四边形 ABFE 为等腰梯形,为等腰梯形,FP,3 则则 BQQ (ABEF)1,FQ,Q, 1 2 BF2BQ Q23
11、 所以所以 S梯形 梯形 EFBA S梯形 梯形 EFCD (24)3, 1 2 33 又又 S ADE S BCF 2, 1 2 33 S矩形 矩形 ABCD 428, 所以该几何体的表面积所以该几何体的表面积 S322888.故选故选 B.333 (2)法一:法一:(分割法分割法)由题意知,该几何体是一个组合体,下半部分是一个底面半径为由题意知,该几何体是一个组合体,下半部分是一个底面半径为 3, 高为 , 高为 4 的圆柱,其体积的圆柱,其体积 V132436; 上半部分是一个底面半径为上半部分是一个底面半径为 3,高为,高为 6 的圆柱的一半,的圆柱的一半, 其体积其体积 V2 326
12、27. 1 2 所以该组合体的体积所以该组合体的体积 VV1V2362763. 法二:法二:(补形法补形法)由题意知,该几何体是一圆柱被一平面截去一部分后所得的几何体,在 该几何体上方再补上一个与其相同的几何体,让截面重合,则所得几何体为一个圆柱,该 圆柱的底面半径为 由题意知,该几何体是一圆柱被一平面截去一部分后所得的几何体,在 该几何体上方再补上一个与其相同的几何体,让截面重合,则所得几何体为一个圆柱,该 圆柱的底面半径为 3,高为,高为 10414,该圆柱的体积,该圆柱的体积 V13214126.故该几何体的 体积为圆柱体积的一半,即 故该几何体的 体积为圆柱体积的一半,即 V V163
13、. 1 2 (3)将平面将平面 AA1B1B 沿着沿着 B1B 旋转到与平面旋转到与平面 CC1B1B 在同一平面上在同一平面上(点点 B 在线段在线段 AC 上上), 连接连接 AC1与与 B1B 相交于点相交于点 D,此时,此时 ADDC1最小,最小,BD CC11.因为在直三棱柱中,因为在直三棱柱中,BCAB, 1 3 BCBB1, 且, 且 BB1ABB, 所以, 所以 BC平面平面 AA1B1B, 又, 又 CC1平面平面 AA1B1B, 所以, 所以 V 三棱锥三棱锥 DABC1 V 三棱锥三棱锥 C1ABD V三棱锥 三棱锥 CABD S ABDBC 112 . 1 3 1 3
14、1 2 1 3 答案答案 (1)B (2)B (3)1 3 解题方略解题方略 1求几何体的表面积的方法求几何体的表面积的方法 (1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题,即空间图形平面化, 这是解决立体几何的主要出发点 求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题,即空间图形平面化, 这是解决立体几何的主要出发点 (2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成柱、锥、台体,先求这些柱、 锥、台体的表面积,再通过求和或作差求得所给几何体的表面积 求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成柱、锥、台体,先求这些柱、 锥、台体的表面积,再通过求和或作差求得所给几
15、何体的表面积 2求空间几何体体积的常用方法求空间几何体体积的常用方法 公式法公式法直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算 等积法等积法 根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是 求出一些体积比等 根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是 求出一些体积比等 割补法割补法 把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的 几何体 把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的 几何体 多练强化多练强化 1(2018全国卷全国卷)已知圆柱
16、的上、下底面的中心分别为已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1,O2,过直线,过直线 O1O2的平面 截该圆柱所得的截面是面积为 的平面 截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形,则该圆柱的表面积为的正方形,则该圆柱的表面积为( ) A12 B122 C8 D102 解析:选解析:选 B 设圆柱的轴截面的边长为 设圆柱的轴截面的边长为 x, 则则 x28,得,得 x2,2 S圆柱表 圆柱表 2S底 底 S侧 侧 2()222222 12.故选故选 B. 2(2019 届高三届高三湖北五校联考湖北五校联考)某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积
17、是 ( ) A13 B14 C15 D16 解析:选解析:选 C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得 到的几何体,在长方体中还原该几何体如图中 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得 到的几何体,在长方体中还原该几何体如图中 ABCDABCD所示,长方体的长、宽、 高分别为 所示,长方体的长、宽、 高分别为 4,2,3,两个三棱柱的高为,两个三棱柱的高为 2,底面是两直角边长分别为,底面是两直角边长分别为 3 和和 1.5 的直角三角形,故 该几何体的体积 的直角三角形,故 该几何体的体积 V4232 3 215. 1 2 3 2 3如图,在正三棱柱如图,在正三棱柱 ABCA1B1
18、C1中,已知中,已知 ABAA13,点,点 P 在棱在棱 CC1上,则三棱锥上,则三棱锥 PABA1的体积为的体积为_ 解析:由题意,得解析:由题意,得 V 三棱锥三棱锥 PABA1 V 三棱锥三棱锥 CABA1 V 三棱锥三棱锥 A1ABC S 1 3 ABCAA1 323. 1 3 3 4 9 3 4 答案:答案: 9 3 4 考考点点三三多多面面体体与与球球的的切切、 、接接问问题题 增增分分考考点点 深深度度精精研研 析母题析母题高高考考年年年年“神神”相相似似 典例典例 在三棱锥 在三棱锥 PABC 中,中,ABC 为等边三角形,为等边三角形,PAPBPC3,PAPB,三 棱锥 ,三
19、 棱锥 PABC 的外接球的体积为的外接球的体积为( ) A. B. 27 2 27 3 2 C27D273 解析解析 在三棱锥 在三棱锥PABC中,中,ABC为等边三角形,为等边三角形,PAPB PC3, PABPBCPAC. PAPB,PAPC,PCPB. 以以 PA,PB,PC 为过同一顶点的三条棱作正方体为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示如图所示), 则正方体的外接球同时也是三棱锥则正方体的外接球同时也是三棱锥 PABC 的外接球的外接球 正方体的体对角线长为正方体的体对角线长为3,3232323 其外接球半径其外接球半径 R. 3 3 2 因此三棱锥因此三棱锥 PABC 的外接球
20、的体积的外接球的体积 V 3 . 4 3( 3 3 2) 27 3 2 答案答案 B 练子题练子题高高考考年年年年“形形”不不同同 1在本例条件下,求三棱锥在本例条件下,求三棱锥 PABC 的内切球的半径为的内切球的半径为_ 解析:由本例解析知,解析:由本例解析知, S PAB S PBC S PAC , , 9 2 S ABC 33sin 60 . 1 2 22 9 3 2 设三棱锥设三棱锥 PABC 的内切球的半径为的内切球的半径为 r, 则则 VPABC APS PBC (S PAC S PBA S PBC S ABC)r, , 1 3 1 3 3 r, 1 3 9 2 1 3( 9 2
21、 3 9 3 2) 解得解得 r, 3 3 2 所求三棱锥内切球的半径为所求三棱锥内切球的半径为. 3 3 2 答案:答案:3 3 2 2 若本例变为 : 已知 若本例变为 : 已知A, B, C, D是球是球O上不共面的四点, 且上不共面的四点, 且ABBCAD1, BDAC , ,BCAD,则球,则球 O 的体积为的体积为_2 解析 : 因为解析 : 因为 ABBC1,AC,所以,所以 AB2BC2AC2,所以,所以 BCAB,又,又 BCAD,2 ADABA,所以,所以 BC平面平面 ABD.因为因为 ABAD1,BD,所以,所以 AB2AD2BD2,所,所2 以以 ABAD,此时可将点
22、,此时可将点 A,B,C,D 看成棱长为看成棱长为 1 的正方体上的四个顶点,球的正方体上的四个顶点,球 O 为正方 体的外接球, 设球 为正方 体的外接球, 设球 O 的半径为的半径为 R, 故, 故 2R, 所以, 所以 R, 则球, 则球 O 的体积的体积 V R3121212 3 2 4 3 . 3 2 答案:答案: 3 2 解题方略解题方略 1空间几何体与球接、切问题的求解方法空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)确定球心的位置,弄清球的半径确定球心的位置,弄清球的半径(直径直径)与几何体的位置和数量关系与几何体的位置和数量关系 (2)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心
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