2019版二轮复习数学(理·普通生)通用版讲义:第一部分 第二层级 重点增分专题八 空间位置关系的判断与证明含解析.pdf
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1、重点增分专题八 空间位置关系的判断与证明重点增分专题八 空间位置关系的判断与证明 全国卷全国卷 3 年考情分析年考情分析 年份年份全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷 直线与平面所成的角、正 方体的截面 直线与平面所成的角、正 方体的截面T12 求异面直线所成的角求异面直线所成的角T9 2018 面面垂直的证明面面垂直的证明T18(1)线面垂直的证明线面垂直的证明T20(1) 面 面 垂 直 的 证 明 面 面 垂 直 的 证 明T19(1) 求异面直线所成的角求异面直线所成的角T10 圆锥、空间线线角 的求解 圆锥、空间线线角 的求解T16 2017面面垂直的证明面面垂直的证明T18(1)
2、线面平行的证明线面平行的证明T19(1) 面 面 垂 直 的 证 明 面 面 垂 直 的 证 明T19(1) 求异面直线所成的角求异面直线所成的角T11 空间中线、面位置关系的判定与 性质 空间中线、面位置关系的判定与 性质T142016 面面垂直的证明面面垂直的证明T18(1)翻折问题、 线面垂直的证明翻折问题、 线面垂直的证明T19(1) 线 面 平 行 的 证 明 线 面 平 行 的 证 明T19(1) (1)高考对此部分的命题较为稳定,一般为“一小一大”或“一大” ,即一道选择题高考对此部分的命题较为稳定,一般为“一小一大”或“一大” ,即一道选择题(或 填空题 或 填空题)和一道解答
3、题或只考一道解答题和一道解答题或只考一道解答题 (2)选择题一般在第选择题一般在第 911 题的位置,填空题一般在第题的位置,填空题一般在第 14 题的位置,多考查线面位置关 系的判断,难度较小 题的位置,多考查线面位置关 系的判断,难度较小 (3)解答题多出现在第解答题多出现在第 18 或或 19 题的第一问的位置, 考查空间中平行或垂直关系的证明, 难度中等 题的第一问的位置, 考查空间中平行或垂直关系的证明, 难度中等 空间点、线、面的位置关系空间点、线、面的位置关系 考考点点一一 保保分分考考点点 练练后后讲讲评评 大稳定大稳定常常规 规角角度度考考双双基基 1.已知已知 是一个平面,
4、是一个平面, m, n 是两条直线,是两条直线, A 是一个点, 若是一个点, 若 m , n判判定定直直线 线间间的的位位置置关关系系 ,且,且 Am,A,则,则 m,n 的位置关系不可能是的位置关系不可能是( ) A垂直 垂直 B相交相交 C异面异面 D平行平行 解析:选解析:选 D 因为 因为 是一个平面,是一个平面,m,n 是两条直线,是两条直线, A 是一个点,是一个点,m ,n,且,且 Am,A, 所以所以 n 在平面在平面 内,内,m 与平面与平面 相交,相交, 且且 A 是是 m 和平面和平面 相交的点,相交的点, 所以所以 m 和和 n 异面或相交,一定不平行异面或相交,一定
5、不平行 2.已知直线已知直线 m,l,平面,平面 ,且,且 m,l,给出下列命题:,给出下列命题:命命题 题真真假假的的判判定定 若若 ,则,则 ml;若;若 ,则,则 ml; 若若 ml,则,则 ;若;若 ml,则,则 . 其中正确的命题是其中正确的命题是( ) A B C D 解析:选解析:选 A 对于,若 对于,若 ,m,则,则 m,又,又 l,所以,所以 ml,故正确,排 除 ,故正确,排 除 B.对于,若对于,若 ml,m,则,则 l,又,又 l,所以,所以 .故正确故选故正确故选 A. 3.如图, 在正方形如图, 在正方形 ABCD 中,中, E, F 分别是分别是 BC, CD
6、的中点,的中点, G 线 线面面垂垂直直、 、面面面 面垂垂直直的的判判定定 是是 EF 的中点,现在沿的中点,现在沿 AE,AF 及及 EF 把这个正方形折成一个空间图形,使把这个正方形折成一个空间图形,使 B,C,D 三点 重合,重合后的点记为 三点 重合,重合后的点记为 H,那么,在这个空间图形中必有,那么,在这个空间图形中必有( ) AAG平面平面 EFH BAH平面平面 EFH CHF平面平面 AEF DHG平面平面 AEF 解析:选解析:选 B 根据折叠前、后 根据折叠前、后 AHHE,AHHF 不变,不变, 得得 AH平面平面 EFH,B 正确;正确; 过过 A 只有一条直线与平
7、面只有一条直线与平面 EFH 垂直,垂直,A 不正确;不正确; AGEF, EFGH, AGGHG, , EF平面平面 HAG, 又, 又 EF平面平面 AEF, 平面, 平面 HAG AEF,过,过 H 作直线垂直于平面作直线垂直于平面 AEF,一定在平面,一定在平面 HAG 内,内,C 不正确;不正确; 由条件证不出由条件证不出 HG平面平面 AEF,D 不正确故选不正确故选 B. 4.(2018全国卷全国卷)在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中,中, E 为棱为棱 CC1的中的中求求异异面面直直线 线所所成成的的角角 点,则异面直线点,则异面直线 AE 与与 CD 所成角的正切值
8、为所成角的正切值为( ) A. B. 2 2 3 2 C. D. 5 2 7 2 解析 : 选解析 : 选 C 如图,连接 如图,连接 BE,因为,因为 ABCD,所以,所以 AE 与与 CD 所成的角为所成的角为EAB. 在在 RtABE 中,设中,设 AB2, 则, 则 BE, 则, 则 tan EAB, 所以异, 所以异5 BE AB 5 2 面直线面直线 AE 与与 CD 所成角的正切值为所成角的正切值为. 5 2 解题方略解题方略 判断与空间位置关系有关命题真假的判断与空间位置关系有关命题真假的 3 种方法种方法 (1)借助空间线面平行、 面面平行、 线面垂直、 面面垂直的判定定理和
9、性质定理进行判断借助空间线面平行、 面面平行、 线面垂直、 面面垂直的判定定理和性质定理进行判断 (2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结 合有关定理,进行肯定或否定 借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结 合有关定理,进行肯定或否定 (3)借助于反证法,当从正面入手较难时,可利用反证法,推出与题设或公认的结论相 矛盾的命题,进而作出判断 借助于反证法,当从正面入手较难时,可利用反证法,推出与题设或公认的结论相 矛盾的命题,进而作出判断 小创新小创新变 变换换角角度度考考迁迁移移 1.设设 l, m, n 为三条不同的直线
10、, 其中为三条不同的直线, 其中 m, n 在平面在平面 内, 则 “内, 则 “l”与与充充要要条条件件的的交交汇 汇 是“是“lm 且且 ln”的”的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析 : 选解析 : 选 A 当 当 l 时,时, l 垂直于垂直于 内的任意一条直线, 由于内的任意一条直线, 由于 m, n, 故 “, 故 “lm 且且 ln” 成立,反之,因为缺少 ” 成立,反之,因为缺少 m,n 相交的条件,故不一定能推出“相交的条件,故不一定能推出“l” ,故选” ,故选 A.
11、2.某折叠餐桌的使用步骤如图所示,有如下检查项目某折叠餐桌的使用步骤如图所示,有如下检查项目 线 线面面位位置置中中的 的创 创新新 项目:折叠状态下项目:折叠状态下(如图如图 1),检查四条桌腿长相等;,检查四条桌腿长相等; 项目:打开过程中项目:打开过程中(如图如图 2),检查,检查 OMONOMON; 项目:打开过程中项目:打开过程中(如图如图 2),检查,检查 OKOLOKOL; 项目:打开后项目:打开后(如图如图 3),检查,检查123490 ; ; 项目:打开后项目:打开后(如图如图 3),检查,检查 ABCDABCD. 在检查项目的组合中,可以判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的
12、是在检查项目的组合中,可以判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是( ) A B C D 解析 : 选解析 : 选 B A 选项, 项目和项目可推出项目, 若选项, 项目和项目可推出项目, 若MONMON, 则, 则 MN 较低,较低,MN较高,所以不平行,错误;较高,所以不平行,错误;B 选项,因为选项,因为123490 ,所以 平面 ,所以 平面 ABCD平面平面 ABCD,因为,因为 ABAB,所以,所以 AA平行于地面,由 知, 平行于地面,由 知,O1O1AA平面平面 MNNM,所以桌面平行于地面,故正确 ;,所以桌面平行于地面,故正确 ; C 选项,由 得, 选项,由 得,OMON,
13、O1AAA,O1AAA,ABAB,所以,所以 AABB,但,但 O1A 与与 O1A是否相等不确定,所以不确定是否相等不确定,所以不确定 O1O1与与 BB是否平行,又是否平行,又 O1O1MN,所以 不确定 ,所以 不确定 BB与与 MN 是否平行, 故错误 ;是否平行, 故错误 ; D 选项,选项, OKOLOKOL, 所以, 所以 AA BB,但不确定,但不确定 OM 与与 ON,OM,ON的关系,所以无法判断的关系,所以无法判断 MN 与地面的关系,与地面的关系, 故错误综上,选故错误综上,选 B. 3.(2018全国卷全国卷)在长方体在长方体 ABCDA1B1C1D1中,中, ABB
14、C2, AC1 线 线面面角角与与体 体积 积交 交汇 汇 与平面与平面 BB1C1C 所成的角为所成的角为 30 ,则该长方体的体积为 ,则该长方体的体积为( ) A8 B6 2 C8 D823 解析:选解析:选 C 如图,连接 如图,连接 AC1,BC1,AC.AB平面平面 BB1C1C, AC1B为直线为直线AC1与平面与平面BB1C1C所成的角, 所成的角, AC1B30 .又又AB BC2,在 ,在RtABC1中,中,AC14.在在RtACC1中,中,CC1 2 sin 30 AC2 1AC2 2,42 2222 2 V长方体 长方体 ABBCCC12228.22 4.(2018全国
15、卷全国卷)已知圆锥的顶点为已知圆锥的顶点为 S,母线,母线 SA,SB 所成角的余所成角的余 线 线面面角角与与面 面积 积交 交汇 汇 弦值为 ,弦值为 ,SA 与圆锥底面所成角为与圆锥底面所成角为 45 ,若 ,若SAB 的面积为的面积为 5,则该圆锥的侧面积为,则该圆锥的侧面积为 7 8 15 _ 解析:如图,解析:如图,SA 与底面成与底面成 45 角, 角, SAO 为等腰直角三角形为等腰直角三角形 设设 OAr, 则则 SOr,SASBr.2 在在SAB 中,中,cos ASB , , 7 8 sin ASB, 15 8 S SAB SASBsin ASB 1 2 (r)25, 1
16、 2 2 15 8 15 解得解得 r2,10 SAr4,即母线长,即母线长 l4,255 S圆锥侧 圆锥侧 rl2440.1052 答案:答案:402 空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系的证明 考考点点二二 增增分分考考点点 深深度度精精研研 析母题析母题高高考考年年年年“神神”相相似似 典例典例 如图, 在四棱锥 如图, 在四棱锥 PABCD 中,中, ABCD, ABAD, CD 2AB,平面,平面 PAD底面底面 ABCD,PAAD,E 和和 F 分别是分别是 CD 和和 PC 的中点,求证:的中点,求证: (1)PA底面底面 ABCD; (2)BE平面平面 PAD; (3)平
17、面平面 BEF平面平面 PCD. 证明证明 (1)平面平面 PAD底面底面 ABCD, 且且 PA 垂直于这两个平面的交线垂直于这两个平面的交线 AD,PA平面平面 PAD, PA底面底面 ABCD. (2)ABCD,CD2AB,E 为为 CD 的中点,的中点, ABDE,且,且 ABDE. 四边形四边形 ABED 为平行四边形为平行四边形 BEAD. 又又BE平面平面 PAD,AD平面平面 PAD, BE平面平面 PAD. (3)ABAD,且四边形,且四边形 ABED 为平行四边形为平行四边形 BECD,ADCD, 由由(1)知知 PA底面底面 ABCD. PACD. PAADA,PA平面平
18、面 PAD,AD平面平面 PAD, CD平面平面 PAD,又,又 PD平面平面 PAD, CDPD. E 和和 F 分别是分别是 CD 和和 PC 的中点,的中点, PDEF, CDEF. 又又 BECD 且且 EFBEE, CD平面平面 BEF. 又又 CD平面平面 PCD, 平面平面 BEF平面平面 PCD. 练子题练子题高高考考年年年年“形形”不不同同 1在本例条件下,证明平面在本例条件下,证明平面 BEF平面平面 ABCD. 证明:证明:如图,连接如图,连接 AE,AC, 设设 ACBEO,连接,连接 FO. ABCD,CD2AB,且,且 E 为为 CD 的中点,的中点, AB 綊綊
19、CE. 四边形四边形 ABCE 为平行四边形为平行四边形 O 为为 AC 的中点,则的中点,则 FO 綊綊 PA, 1 2 又又 PA平面平面 ABCD, FO平面平面 ABCD.又又 FO平面平面 BEF, 平面平面 BEF平面平面 ABCD. 2在本例条件下,若在本例条件下,若 ABBC,求证,求证 BE平面平面 PAC. 证明:如图,连接证明:如图,连接 AE,AC,设,设 ACBEO. ABCD,CD2AB,且,且 E 为为 CD 的中点的中点 AB 綊綊 CE. 又又ABBC,四边形,四边形 ABCE 为菱形,为菱形, BEAC. 又又PA平面平面 ABCD,BE平面平面 ABCD,
20、 PABE. 又又 PAACA,PA平面平面 PAC,AC平面平面 PAC, BE平面平面 PAC. 解题方略解题方略 1直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:线面平行的判定定理:a ,b,aba. (2)线面平行的性质定理:线面平行的性质定理:a,a,bab. (3)面面平行的判定定理:面面平行的判定定理:a,b,abP,a,b. (4)面面平行的性质定理:面面平行的性质定理:,a,bab. 2直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理:线面垂直的判定定理:m,n,mnP,lm,lnl. (2)线面垂直的性
21、质定理:线面垂直的性质定理:a,bab. (3)面面垂直的判定定理:面面垂直的判定定理:a,a. (4)面面垂直的性质定理:面面垂直的性质定理:,l,a,ala. 多练强化多练强化 1.(2019届高三届高三郑州模拟郑州模拟)如图, 四边形如图, 四边形ABCD与四边形与四边形ADEF 均为平行四边形,均为平行四边形, M, N, G 分别是分别是 AB,AD,EF 的中点的中点 求证:求证:(1)BE平面平面 DMF; (2)平面平面 BDE平面平面 MNG. 证明:证明:(1)如图,连接如图,连接 AE,则,则 AE 必过必过 DF 与与 GN 的交点的交点 O, 连接连接 MO,则,则
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