2019版二轮复习数学(理·普通生)通用版讲义:第一部分 第二层级 高考5个大题 题题研诀窍 立体几何问题重在“建”——建模、建系含解析.pdf
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1、 技法指导技法指导迁移搭桥迁移搭桥 思思维 维流流程程找找突 突破破口口 立体几何解答题建模、建系策略立体几何解答题建模、建系策略 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合, 以 某个几何体为依托,分步设问,逐层加深解决这类题目 的原则是建模、建系 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合, 以 某个几何体为依托,分步设问,逐层加深解决这类题目 的原则是建模、建系 建模建模将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型 及角度、距离等的计算模型 将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型 及角度、距离等的计算模型 建系建系依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系, 利用空间向量求解 依
2、托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系, 利用空间向量求解. 典例典例 (2018全国卷 全国卷 )如图,在三棱锥如图,在三棱锥PABC中,中,ABBC2,PAPBPC2 AC4, O 为为 AC 的中点的中点 (1)证明:证明:PO平面平面 ABC; (2)若点若点 M 在棱在棱 BC 上, 且二面角上, 且二面角 MPAC 为为 30 , 求 , 求 PC 与平面与平面 PAM 所 成角的正弦值 所 成角的正弦值 快审题快审题 求什么求什么 想什么想什么 证明线面垂直,想线面垂直成立的条件证明线面垂直,想线面垂直成立的条件 求线面角的正弦值,想平面的法向量及直线的方向向量求线面角的正弦值,
3、想平面的法向量及直线的方向向量 给什么给什么 用什么用什么 给出边的长度,用勾股定理证线线垂直给出边的长度,用勾股定理证线线垂直 给出二面角的大小,可求出点给出二面角的大小,可求出点 M 的位置的位置 差什么差什么 找什么找什么 差点差点 M 的坐标,利用垂直关系建立空间直角坐标系,找出平面的坐标,利用垂直关系建立空间直角坐标系,找出平面 PAM, 平面 , 平面 PAC 的法向量的法向量. 稳解题稳解题 (1)证明:因为证明:因为 PAPCAC4,O 为为 AC 的中点,的中点, 所以所以 POAC,且,且 PO2 . 3 连接连接 OB,因为,因为 ABBCAC, 2 2 所以所以ABC
4、为等腰直角三角形,为等腰直角三角形, 且且 OBAC,OB AC2. 1 2 所以所以 PO2OB2PB2, 所以所以 POOB. 又因为又因为 OBACO, 所以所以 PO平面平面 ABC. (2)以以 O 为坐标原点,为坐标原点, 的方向为的方向为 x 轴正方向,轴正方向,OB 建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. 由已知得由已知得 O(0,0,0),B(2,0,0), A(0,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),3 (0,2,2)AP 3 取平面取平面 PAC 的一个法向量的一个法向量(2,0,0)OB 设设 M(a,2a,0)(00) 则则 P
5、(0,a,h) (0,a,h),(0,a2,h),(1,1,0)AP DP AC PAPD,a(a2)h20.AP DP AC 与与 PD 所成角为所成角为 60 , , |cos,| , ,AC DP |a 2| 2 a 2 2 h2 1 2 (a2)2h2,(a2)(a1)0, 00,h1,P(0,1,1) (0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,0),AP AC PC DC 设平面设平面 APC 的法向量为 n的法向量为 n(x1,y1,z1), 则则Error!即即Error! 令令 x11,得,得 y11,z11, 平面平面 APC 的一个法向量为 n的一个法向量为
6、 n(1,1,1), 设平面设平面 DPC 的法向量为 m的法向量为 m(x2,y2,z2) 则则Error!即即Error! 令令 x21,得,得 y21,z21, 平面平面 DPC 的一个法向量为 m的一个法向量为 m(1,1,1) cosm,nm,n . mn |m|n| 1 3 二面角二面角 APCD 的平面角为钝角,的平面角为钝角, 二面角二面角 APCD 的余弦值为的余弦值为 . 1 3 3 (2018西安质检西安质检)如图, 四棱柱如图, 四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面的底面 ABCD 是菱形,是菱形, ACBDO, A1O底面底面 ABCD,AB2,AA13. (1)证
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