2019版二轮复习数学(理·普通生)通用版讲义:第一部分 第二层级 高考5个大题 题题研诀窍 三角函数问题重在“变”——变角、变式含解析.pdf
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1、 技法指导技法指导迁移搭桥迁移搭桥思思维 维流流程程找找突 突破破口口 1.常用的变角技巧常用的变角技巧 (1)已知角与特殊角的变换;已知角与特殊角的变换; (2)已知角与目标角的变换;已知角与目标角的变换; (3)角与其倍角的变换;角与其倍角的变换; (4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运 用 如 : 两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运 用 如 : ()(), 2()(), 2 ()(),2,. 2 2 ( 2) ( 2 ) 2常用的变式技巧常用的变式技巧 主要从函数名、次数、系数方面入手,常见有:主要从函数名、次数、系数方面入手,常见有: (1)讨论三角函数的
2、性质时,常常将它化为一次的单角的三 角函数来讨论; 讨论三角函数的性质时,常常将它化为一次的单角的三 角函数来讨论; (2)涉及涉及 sin xcos x、sin xcos x 的问题,常做换元处理,如 令 的问题,常做换元处理,如 令 tsin xcos x,将原问题转化为关于,将原问题转化为关于 t 的函的函22 数来处理;数来处理; (3)在解决三角形的问题时,常利用正、余弦定理化边为角 或化角为边等 在解决三角形的问题时,常利用正、余弦定理化边为角 或化角为边等. 典例典例 (2018天津高考天津高考)在在ABC 中,内角中,内角 A,B,C 所对的边分别为所对的边分别为 a,b,c.
3、已知已知 bsin Aacos. (B 6) (1)求角求角 B 的大小;的大小; (2)设设 a2,c3,求,求 b 和和 sin(2AB)的值的值 快审题快审题 求什么求什么 想什么想什么 求角求角 B 的大小,想到角的大小,想到角 B 的三角函数值的三角函数值 求三角函数值,想到由已知三角函数值求值求三角函数值,想到由已知三角函数值求值 给什么给什么 用什么用什么 已知边角关系式,用正弦定理统一角已知边角关系式,用正弦定理统一角 已知边的大小,用余弦定理求边已知边的大小,用余弦定理求边 差什么差什么 找什么找什么 求求 sin(2AB)的值,缺少的值,缺少 2A 的三角函数值,的三角函数
4、值, 应找应找 A 的三角函数值的三角函数值. 稳解题稳解题 (1)在在ABC 中,中, 由正弦定理,由正弦定理, a sin A b sin B 可得可得 bsin Aasin B. 又因为又因为 bsin Aacos, (B 6) 所以所以 asin Bacos, (B 6) 即即 sin Bcos B sin B, 3 2 1 2 所以所以 tan B . 3 因为因为 B(0,),所以,所以 B . 3 (2)在在ABC 中,由余弦定理及中,由余弦定理及 a2,c3,B , , 3 得得 b2a2c22accos B7,故,故 b . 7 由由 bsin Aacos,可得,可得 sin
5、 A . (B 6) 3 7 因为因为 ac,所以,所以 cos A. 2 7 所以所以 sin 2A2sin Acos A, 4 3 7 cos 2A2cos2A1 . 1 7 所以所以 sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B . 4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14 题后悟道题后悟道 1利用正、余弦定理求解问题的策略利用正、余弦定理求解问题的策略 2三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”三角恒等变换的思路为“一角二名三结构” 升幂升幂(降幂降幂)公式口诀:“幂降一次,角翻倍;幂升一次,角减半” 公式口诀:“幂降一次,角翻倍;幂升一次,角减半” 针对训练针对
6、训练 已知已知ABC 中,角中,角 A,B,C 的对边分别为的对边分别为 a,b,c,且,且 bcos Cacsin B. (1)求角求角 B 的大小;的大小; (2)若若 b5,a3,求,求ABC 的面积的面积 S.2 解:解:(1)由正弦定理可得,由正弦定理可得,sin Bcos Csin Asin Csin B, 即即 sin Bcos Csin(BC)sin Csin B, 所以所以 cos Bsin Csin Csin B0. 因为因为 sin C0,所以,所以 cos Bsin B0,即,即 tan B1, 又又 B(0,),所以,所以 B. 3 4 (2)法一:由余弦定理,可得法
7、一:由余弦定理,可得 b2a2c22accos B, 即即 52(3)2c223ccos,22 3 4 整理得整理得 c26c70,解得,解得 c1 或或 c7(舍去舍去) 所以所以ABC 的面积的面积 S acsin B 31sin . 1 2 1 2 2 3 4 3 2 法二:由正弦定理,可得,法二:由正弦定理,可得, a sin A b sin B 3 2 sin A 5 sin3 4 解得解得 sin A . 3 5 因为因为 B,所以,所以 A, 3 4 (0, , 2) 所以所以 cos A .1sin2A1(3 5) 2 4 5 由三角形的内角和定理可得由三角形的内角和定理可得
8、CAB, 所以所以 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B , , 3 5( 2 2) 4 5 2 2 2 10 所以所以ABC 的面积的面积 S absin C 35 . 1 2 1 2 2 2 10 3 2 总结升华总结升华 高考试题中的三角函数解答题相对比较传统,难度较低,大家在复习时,应“明确思 维起点, 把握变换方向, 抓住内在联系, 合理选择公式” 是三角变换的基本要诀 在解题时, 要紧紧抓住“变”这一核心,灵活运用公式与性质, 高考试题中的三角函数解答题相对比较传统,难度较低,大家在复习时,应“明确思 维起点, 把握变换方向, 抓住内在联系, 合理选择公
9、式” 是三角变换的基本要诀 在解题时, 要紧紧抓住“变”这一核心,灵活运用公式与性质, 仔细审题,快速运算 仔细审题,快速运算 专 专题题过过关关检检测 测 A 组组“633”考点落实练”考点落实练 一、选择题一、选择题 1(2019 届高三届高三益阳、湘潭调研益阳、湘潭调研)已知已知 sin ,则 ,则 cos(2)( ) 2 5 A. B 7 25 7 25 C. D 17 25 17 25 解析:选解析:选 D sin , ,cos 212sin21, 2 5 8 25 17 25 cos(2)cos 2,故选,故选 D. 17 25 2(2018全国卷全国卷)ABC 的内角的内角 A,
10、B,C 的对边分别为的对边分别为 a,b,c,若,若ABC 的面积为 ,则 的面积为 ,则 C( ) a2b2c2 4 A. B. 2 3 C. D. 4 6 解析:选解析:选 C S absin C abcos C, 1 2 a2b2c2 4 2abcos C 4 1 2 sin Ccos C,即,即 tan C1. C(0,),C .故选故选 C. 4 3若若 00, (0, , 2) 所以所以 sin , ,cos . 4 5 ( 4 5) 3 5 ( 3 5) 4 5 24 25 4若若 ,sin ,cos,则,则 ( ) (0, , 2) 5 5 ( 2 ) 3 10 10 A. B
11、. 6 4 C. D. 3 12 解析:选解析:选 B 由 由 sin ,及,及 ,得,得 5 5 (0, , 2) cos ,由,由 cossin , 2 5 5 ( 2 ) 3 10 10 及及 ,得,得 cos , (0, , 2) 10 10 所以所以 sin()sin cos cos sin . 3 10 10 2 5 5 10 10 5 5 2 2 又因为又因为 ,所以,所以 . ( 2, , 2) 4 5在在ABC 中,角中,角 A,B,C 所对的边分别为所对的边分别为 a,b,c,若,若 0,cos B0, B, 2 ABC 为钝角三角形为钝角三角形 6(2018南昌一模南昌一
12、模)已知台风中心位于城市已知台风中心位于城市 A 东偏北东偏北 ( 为锐角为锐角)的的 150 千米处,以千米处,以 v 千米千米/时沿正西方向快速移动,时沿正西方向快速移动,2.5 小时后到达距城市小时后到达距城市 A 西偏北西偏北 ( 为锐角为锐角)的的 200 千米处, 若 千米处, 若 cos cos ,则,则 v( ) 3 4 A60 B80 C100 D125 解析 : 选解析 : 选 C 如图, 台风中心为 如图, 台风中心为 B,2.5 小时后到达点小时后到达点 C, 则在, 则在ABC 中,中, ABsin ACsin ,即,即 sin sin , 又, 又 cos cos
13、, , sin2cos2 4 3 3 4 16 9 sin2cos21sin2cos2,sin cos , sin , , cos , , 9 16 3 4 3 5 4 5 sin , ,cos , ,cos()cos cos sin sin 0, , , , 4 5 3 5 3 5 4 5 4 5 3 5 2 BC2AB2AC2,(2.5v)215022002,解得,解得 v100,故选,故选 C. 二、填空题二、填空题 7(2018全国卷全国卷)已知已知 sin cos 1,cos sin 0,则,则 sin()_. 解析:解析:sin cos 1, cos sin 0, 22得得 12(
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