2019版二轮复习数学(理·普通生)通用版讲义:第二部分 备考技法专题二 4大数学思想系统归纳——统一统思想含解析.pdf
《2019版二轮复习数学(理·普通生)通用版讲义:第二部分 备考技法专题二 4大数学思想系统归纳——统一统思想含解析.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019版二轮复习数学(理·普通生)通用版讲义:第二部分 备考技法专题二 4大数学思想系统归纳——统一统思想含解析.pdf(32页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、备考技法专题二备考技法专题二 4 大数学思想系统归纳大数学思想系统归纳统一统思想统一统思想 第第 1 讲 函数与方程思想讲 函数与方程思想 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想, 是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想, 是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或 方程与不等式的混合组 方程、不等式或 方程与不等式的混合组),然后通过解方程,然后通过解方程(组或不等式组组或不等式组)来使问题获解方程是从算术方 法到代数方法的一
2、种质的飞跃,有时,还可以将函数与方程互相转化、接轨,达到解决问 题的目的 来使问题获解方程是从算术方 法到代数方法的一种质的飞跃,有时,还可以将函数与方程互相转化、接轨,达到解决问 题的目的 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性 质,解决有关求值、解 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性 质,解决有关求值、解(证明证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题;二是在问题的研 究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质, 达到化难为易、化繁为简的目的 不等式、解方程以及讨论参数的取值等
3、问题;二是在问题的研 究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质, 达到化难为易、化繁为简的目的 应用应用(一一) 借助“显化函数关系” ,利用函数思想解决问题 借助“显化函数关系” ,利用函数思想解决问题 在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中,将原有隐含的函数关系凸显 出来,从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解 在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中,将原有隐含的函数关系凸显 出来,从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解 例例 1 已知数列 已知数列an是各项均为正数的等差数列,是各项均为正数的等差数列, a12, 且,
4、 且 a2, a3, a41 成等比数列成等比数列 (1)求数列求数列an的通项公式的通项公式 an; (2)设数列设数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn,bn,若对任意的,若对任意的 nNN*,不等式,不等式 1 Sn 1 1 Sn 2 1 S2n bnk 恒成立,求实数恒成立,求实数 k 的最小值的最小值 解解 (1)因为因为 a12,a a2(a41), 2 3 又因为又因为an是正项等差数列,所以公差是正项等差数列,所以公差 d0, 所以所以(22d)2(2d)(33d), 解得解得 d2 或或 d1(舍去舍去), 所以数列所以数列an的通项公式的通项公式 an2n. (2)由由(
5、1)知知 Snn(n1), 则则 bn 1 Sn 1 1 Sn 2 1 S2n 1 n 1 n 2 1 n 2 n 3 1 2n 2n 1 1 n 1 1 n 2 1 n 2 1 n 3 1 2n 1 2n 1 1 n 1 1 2n 1 n 2n23n1 , 1 2n1 n 3 令令 f(x)2x (x1), 1 x 则则 f(x)2, 1 x2 当当 x1 时,时,f(x)0 恒成立,恒成立, 所以所以 f(x)在在1,)上是增函数,上是增函数, 故当故当 x1 时,时,f(x)minf(1)3, 即当即当 n1 时,时,(bn)max , , 1 6 要使对任意的正整数要使对任意的正整数
6、n,不等式,不等式 bnk 恒成立,恒成立, 则需使则需使 k(bn)max , , 1 6 所以实数所以实数 k 的最小值为的最小值为 . 1 6 技法领悟技法领悟 数列是定义在正整数集上的特殊函数,等差、等比数列的通项公式,前数列是定义在正整数集上的特殊函数,等差、等比数列的通项公式,前 n 项和公式都 具有隐含的函数关系,都可以看成关于 项和公式都 具有隐含的函数关系,都可以看成关于 n 的函数,在解等差数列、等比数列问题时,有意 识地凸现其函数关系,从而用函数思想或函数方法研究、解决问题 的函数,在解等差数列、等比数列问题时,有意 识地凸现其函数关系,从而用函数思想或函数方法研究、解决
7、问题 ,不仅能获得简便的解 法,而且能促进科学思维的培养,提高发散思维的水平 ,不仅能获得简便的解 法,而且能促进科学思维的培养,提高发散思维的水平 应用体验应用体验 1已知等差数列已知等差数列an满足满足 3a47a7,a10,Sn是数列是数列an的前的前 n 项和,则项和,则 Sn取得最大 值时 取得最大 值时 n_. 解析 : 设等差数列解析 : 设等差数列an的公差为的公差为d, , 3a47a7, , 3(a13d)7(a16d), , 4a133d.a10, , d , 2 3 2 0, 3 3 1 tan A 3 2, c a 1 2 3 2 3 即即 2. c a 答案: 答案
8、: (2,) 3 应用应用(二二) 转换“函数关系” ,利用函数思想解决问题 转换“函数关系” ,利用函数思想解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中,经常需要求参数的 取值范围, 如果按照原有的函数关系很难奏效时, 不妨转换思维角度, 放弃题设的主参限制, 挑选合适的主变元,揭示它与其他变元的函数关系,切入问题本质,从而使原问题获解 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中,经常需要求参数的 取值范围, 如果按照原有的函数关系很难奏效时, 不妨转换思维角度, 放弃题设的主参限制, 挑选合适的主变元,揭示它与其他变元的函数关系,切入问题本质,从而使原问
9、题获解 例例 2 已知函数 已知函数 f(x)lg, 其中, 其中 a 为常数, 若当为常数, 若当 x(, 1时,时, f(x)有意义,有意义, 1 2x4xa a2a1 则实数则实数 a 的取值范围为的取值范围为_ 解析解析 参数 参数a深含在一个复杂的复合函数的表达式中, 欲直接建立关于深含在一个复杂的复合函数的表达式中, 欲直接建立关于a的不等式的不等式(组组) 非常困难,故应转换思维角度,设法从原式中把非常困难,故应转换思维角度,设法从原式中把 a 分离出来,重新认识分离出来,重新认识 a 与其他变元与其他变元 x 的 依存关系,利用新的函数关系,使原问题“柳暗花明” 的 依存关系,
10、利用新的函数关系,使原问题“柳暗花明” 由由0,且,且 a2a1 2 0, 1 2x4xa a2a1 (a 1 2) 3 4 得得 12x4xa0,故,故 a. ( 1 4x 1 2x) 当当 x(,1时,时,y与与 y都是减函数,都是减函数, 1 4x 1 2x 因此,函数因此,函数 y在在(,1上是增函数,上是增函数, ( 1 4x 1 2x) 所以所以 max , ,a , , ( 1 4x 1 2x) 3 4 3 4 故故 a 的取值范围是的取值范围是. ( 3 4, , ) 答案答案 (3 4, , ) 技法领悟技法领悟 发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系,反客为
11、主,主客换位, 创设新的函数,并利用新函数的性质创造性地使原问题获解,是解题人思维品质高的表 现本题主客换位后,利用新建函数 发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系,反客为主,主客换位, 创设新的函数,并利用新函数的性质创造性地使原问题获解,是解题人思维品质高的表 现本题主客换位后,利用新建函数 y的单调性巧妙地求出实数的单调性巧妙地求出实数 a 的取值范的取值范 1 4x 1 2x 围此法也叫主元法围此法也叫主元法 应用体验应用体验 3对于满足对于满足 0p4 的所有实数的所有实数 p,使不等式,使不等式 x2px4xp3 成立的成立的 x 的取值范围 是 的取值范围 是_
12、解析:设解析:设 f(p)(x1)px24x3, 则当则当 x1 时,时,f(p)0. 所以所以 x1. 函数函数 f(p)在在0,4上恒为正,等价于上恒为正,等价于Error! 即即Error!解得解得 x3 或或 x0. 设设 A(x1,y1),B(x2,y2),其中,其中 y1y2, 则则 y1y2,y1y2, 2m m24 3 m24 所以所以|y2y1|, 4 m2 3 m24 所以所以 S AOB |OE|y2y1|. 1 2 2 m2 3 m24 2 m23 1 m23 设设 t,则,则 g(t)t , ,t,m23 1 t 3 所以所以 g(t)1 0, 1 t2 所以所以 g
13、(t)在区间在区间,)上为增函数,上为增函数,3 所以所以 g(t),所以,所以 S AOB ,当且仅当,当且仅当 m0 时等号成立时等号成立 4 3 3 3 2 所以所以AOB 的面积存在最大值,为的面积存在最大值,为. 3 2 应用应用(三三) 构造“函数关系” ,利用函数思想解决问题 构造“函数关系” ,利用函数思想解决问题 在数学各分支形形色色的问题或综合题中,将非函数问题的条件或结论,通过类比、 联想、抽象、概括等手段,构造出某些函数关系,在此基础上利用函数思想和方法使原问 题获解,这是函数思想解题的更高层次的体现特别要注意的是,构造时,要深入审题, 充分发掘题设中可类比、联想的因素
14、,促进思维迁移 在数学各分支形形色色的问题或综合题中,将非函数问题的条件或结论,通过类比、 联想、抽象、概括等手段,构造出某些函数关系,在此基础上利用函数思想和方法使原问 题获解,这是函数思想解题的更高层次的体现特别要注意的是,构造时,要深入审题, 充分发掘题设中可类比、联想的因素,促进思维迁移 例例 3 已知函数 已知函数 f(x)ex2x2a,xR,R,aRR. (1)求求 f(x)的单调区间与极值;的单调区间与极值; (2)求证:当求证:当 aln 21 且且 x0 时,时,exx22ax1. 解解 (1)由由 f(x)ex2x2a,知,知 f(x)ex2. 令令 f(x)0,得,得 x
15、ln 2. 当当 xln 2 时,时,f(x)0,故函数,故函数 f(x)在区间在区间(ln 2,)上单调递增上单调递增 所以所以 f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(,ln 2),单调递增区间是,单调递增区间是(ln 2,),f(x)在在 xln 2 处取得极小值处取得极小值 f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a. (2)证明:设证明:设 g(x)exx22ax1(x0), 则则 g(x)ex2x2a, 由由(1)知知 g(x)ming(ln 2)22ln 22a. 又又 aln 21,则,则 g(x)min0. 于是对于是对xR,都有R,都有 g(x)0,所以,所以
16、 g(x)在 R 上单调递增在 R 上单调递增 于是对于是对x0,都有,都有 g(x)g(0)0. 即即 exx22ax10,故,故 exx22ax1. 技法领悟技法领悟 一般地,要证一般地,要证 f(x)g(x)在区间在区间(a,b)上成立,需构造辅助函数上成立,需构造辅助函数 F(x)f(x)g(x),通过分 析 ,通过分 析 F(x)在端点处的函数值来证明不等式 若在端点处的函数值来证明不等式 若 F(a)0, 只需证明, 只需证明 F(x)在在(a, b)上单调递增即可 ; 若 上单调递增即可 ; 若 F(b)0,只需证明,只需证明 F(x)在在(a,b)上单调递减即可上单调递减即可
17、应用体验应用体验 5.(2018天津高考天津高考)如图,在平面四边形如图,在平面四边形 ABCD 中,中,ABBC,ADCD, ,BAD 120 , ,ABAD1.若点若点 E 为边为边 CD 上的动点,则上的动点,则的最小值为的最小值为( )AE BE A. B. 21 16 3 2 C. D3 25 16 解析:选解析:选 A 如图,以 如图,以 D 为坐标原点建立平面直角坐标系,连接为坐标原点建立平面直角坐标系,连接 AC. 由题意知由题意知CADCAB60 , ,ACDACB30 , , 则则 D(0,0),A(1,0),B, ( 3 2, , 3 2) C(0,)设设 E(0,y)(
18、0y),33 则则(1,y),AE BE ( 3 2, ,y 3 2) y2y 2 ,AE BE 3 2 3 2(y 3 4) 21 16 当当 y时,时,有最小值有最小值. 3 4 AE BE 21 16 6设函数设函数 f(x)在在 R 上存在导函数上存在导函数 f(x),对于任意的实数,对于任意的实数 x,都有,都有 f(x)f(x)2x2, 当 , 当 xh(1)3, 即, 即 a 2b 的取值范围是的取值范围是(3, , )故选故选 C. 答案答案 (1)(1,3) (2)C 技法领悟技法领悟 本例本例(1)中有一条明显的“动态”水平直线,通过上下移动观察其与函数图象的交点情中有一条
19、明显的“动态”水平直线,通过上下移动观察其与函数图象的交点情 况但有些题中的这条水平线就不容易能看出来,如本例况但有些题中的这条水平线就不容易能看出来,如本例(2),实际上存在一条“虚拟”的 水平直线,这一点固然重要,却不是本题的关键本题的关键在于水平直线与函数图象的 两个交点的横坐标并非毫无关联,而是满足一定的关系,即 ,实际上存在一条“虚拟”的 水平直线,这一点固然重要,却不是本题的关键本题的关键在于水平直线与函数图象的 两个交点的横坐标并非毫无关联,而是满足一定的关系,即 ab1,这一关键之处决定了该 类型题目的难度和极易出错的特性 ,这一关键之处决定了该 类型题目的难度和极易出错的特性
20、 在此,务必注意到水平直线穿函数图象所得交点的横坐标之间的联系比如,一条水 平直线穿二次函数图象的交点的横坐标之和为定值,且为对称轴的两倍;一条水平直线穿 三角函数图象的交点的横坐标满足一定的周期性,等等 在此,务必注意到水平直线穿函数图象所得交点的横坐标之间的联系比如,一条水 平直线穿二次函数图象的交点的横坐标之和为定值,且为对称轴的两倍;一条水平直线穿 三角函数图象的交点的横坐标满足一定的周期性,等等 应用体验应用体验 1 已知 已知 f(x)|x|x1|, 若, 若 g(x)f(x)a 的零点个数不为的零点个数不为 0, 则, 则 a 的最小值为的最小值为_ 解析:原方程等价于解析:原方
21、程等价于 f(x)Error!其图象如图所示,要使其图象如图所示,要使 af(x)有零点,则有零点,则 a1,因 此 ,因 此 a 的最小值为的最小值为 1. 答案:答案:1 2 已知函数 已知函数 f(x)sin的相邻两条对称轴之间的距离为 , 将的相邻两条对称轴之间的距离为 , 将 (2x 3) 4 函数函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,再将所有点的横坐标伸长为原来的的图象向右平移 个单位后,再将所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,得到倍,得到 g(x)的的 8 图象,若图象,若 g(x)k0 在在 x上有且只有一个实数根,则上有且只有一个实数根,则 k 的取值范围是的取值范围是(
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2019版二轮复习数学理·普通生通用版讲义:第二部分 备考技法专题二 4大数学思想系统归纳统一统思想含解析 2019 二轮 复习 数学 普通 通用版 讲义 第二 部分 备考 技法 专题 思想 系统
链接地址:https://www.31doc.com/p-4142772.html