2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版讲义:第一部分 专题七 数 列含解析.pdf
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1、专题七 专题七 Error!Error! 数 列 数 列 卷卷卷卷卷卷 等差数列的基本运算等差数列的基本运算T4 2018Sn与与 an的关系、等比数列 求和 的关系、等比数列 求和T14 等差数列的通项公式、前等差数列的通项公式、前 n 项和公式及最值项和公式及最值T17 等比数列的通项公 式、 前 等比数列的通项公 式、 前n项和公式项和公式T17 等差数列的基本运算等差数列的基本运算T4 数学文化、等比数列的概 念、前 数学文化、等比数列的概 念、前 n 项和公式项和公式T3 等差数列的通项公 式、前 等差数列的通项公 式、前 n 项和公式及 等比中项 项和公式及 等比中项T9 2017
2、 等差数列、 等比数列前等差数列、 等比数列前 n 项 和 公 式 的 运 用 、 创 新 问 题 项 和 公 式 的 运 用 、 创 新 问 题T12 等差数列的通项公式、前等差数列的通项公式、前 n 项和公式、裂项相消法 求和 项和公式、裂项相消法 求和T15 等比数列的通项公 式 等比数列的通项公 式T14 等差数列的基本运算等差数列的基本运算T3 2016等比数列的基本运算及二 次函数最值问题 等比数列的基本运算及二 次函数最值问题T15 等差数列的通项公式、前等差数列的通项公式、前 n项和公式、 创新问题项和公式、 创新问题T17 数列的递推关系、等 比数列的定义及通项 公式 数列的
3、递推关系、等 比数列的定义及通项 公式T17 纵向把握 趋势 纵向把握 趋势 卷卷3 年年 6 考,题型为选择 题和填空题,难度适中涉 及等差、 等比数列的基本运 算, 考,题型为选择 题和填空题,难度适中涉 及等差、 等比数列的基本运 算,Sn与与 an的关系,预计的关系,预计 2019 年会以解答题的形式 考查等差、 等比数列的基本 关系及等差、 等比数列的判 定与证明 年会以解答题的形式 考查等差、 等比数列的基本 关系及等差、 等比数列的判 定与证明 卷卷3 年年 4 考,题型既有 选择题、 填空题和解答题, 涉及数学文化、等差数列 与等比数列的基本运算、 数列前 考,题型既有 选择题
4、、 填空题和解答题, 涉及数学文化、等差数列 与等比数列的基本运算、 数列前 n 项和的求法预 计 项和的求法预 计 2019 年高考题仍以考 查等差、等比数列的基本 运算为主,同时考查数列 求和问题,且三种题型均 有可能 年高考题仍以考 查等差、等比数列的基本 运算为主,同时考查数列 求和问题,且三种题型均 有可能 卷卷3 年年 4 考,题型 既有选择题、 填空题, 也有解答题,涉及等 差、等比数列的基本 运算、 数列求和问题, 难度适中预计 考,题型 既有选择题、 填空题, 也有解答题,涉及等 差、等比数列的基本 运算、 数列求和问题, 难度适中预计 2019 年高考会以小题的形 式考查等
5、差、等比数 列的性质及基本运 算,难度适中 年高考会以小题的形 式考查等差、等比数 列的性质及基本运 算,难度适中 横向把握 重点 横向把握 重点 1.高考主要考查等差数列及等比数列的基本运算,两类数列求和方法高考主要考查等差数列及等比数列的基本运算,两类数列求和方法(裂项求和 法、错位相减法 裂项求和 法、错位相减法)、两类综合、两类综合(与函数综合、与不等式综合与函数综合、与不等式综合),主要突出数学思想 的应用 ,主要突出数学思想 的应用 2.若以解答题形式考查,数列往往与解三角形在若以解答题形式考查,数列往往与解三角形在 17 题的位置上交替考查,试题 难度中等 ; 若以客观题考查,
6、难度中等的题目较多, 但有时也出现在第 题的位置上交替考查,试题 难度中等 ; 若以客观题考查, 难度中等的题目较多, 但有时也出现在第 12 题或题或 16 题位置上,难度偏大,复习时应引起关注题位置上,难度偏大,复习时应引起关注. 等差、等比数列的基本运算和性质等差、等比数列的基本运算和性质 题组全练题组全练 1(2017全国卷全国卷)记记 Sn为等差数列为等差数列an的前的前 n 项和若项和若 a4a524,S648,则,则an 的公差为的公差为( ) A1 B2 C4 D8 解析:选解析:选 C 设等差数列 设等差数列an的公差为的公差为 d, 则由则由Error!得得Error! 即
7、即Error!解得解得 d4. 2已知等比数列已知等比数列an满足满足 a13,a1a3a521,则,则 a3a5a7( ) A21 B42 C63 D84 解析 : 选解析 : 选 B 设 设an的公比为的公比为 q,由,由 a13,a1a3a521,得,得 1q2q47,解得,解得 q2 2(负值舍去负值舍去)a3a5a7a1q2a3q2a5q2(a1a3a5)q221242. 3 (2017全国卷全国卷)等差数列等差数列an的首项为的首项为 1, 公差不为, 公差不为 0.若若 a2, a3, a6成等比数列, 则成等比数列, 则an 前前 6 项的和为项的和为( ) A24 B3 C3
8、 D8 解析:选解析:选 A 设等差数列 设等差数列an的公差为的公差为 d, 因为因为 a2,a3,a6成等比数列,所以成等比数列,所以 a2a6a , 2 3 即即(a1d)(a15d)(a12d)2. 又又 a11,所以,所以 d22d0. 又又 d0,则,则 d2, 所以所以an前前 6 项的和项的和 S661(2)24. 6 5 2 4 若 若an是等差数列, 首项是等差数列, 首项 a10, a2 017a2 0180, a2 017a2 0180, 则使前, 则使前 n 项和项和 Sn0 成立的最大正整数成立的最大正整数 n 是是( ) A2 017 B2 018 C4 034
9、D4 035 解析:选解析:选 C 因为 因为 a10,a2 017a2 0180,a2 017a2 0180,所以,所以 d0,a2 0170,a2 018 0, 所以所以 S4 0340, 4 034 a1a4 034 2 4 034 a2 017a2 018 2 S4 0354 035a2 0180, 4 035 a1a4 035 2 所以使前所以使前 n 项和项和 Sn0 成立的最大正整数成立的最大正整数 n 是是 4 034. 5(2018全国卷全国卷)等比数列等比数列an中,中,a11,a54a3. (1)求求an的通项公式;的通项公式; (2)记记 Sn为为an的前的前 n 项和
10、若项和若 Sm63,求,求 m. 解:解:(1)设设an的公比为的公比为 q,由题设得,由题设得 anqn 1. 由已知得由已知得 q44q2,解得,解得 q0(舍去舍去)或或 q2 或或 q2. 故故 an(2)n 1或 或 an2n 1. (2)若若 an(2)n 1,则 ,则 Sn. 1 2 n 3 由由 Sm63,得,得(2)m188,此方程没有正整数解,此方程没有正整数解 若若 an2n 1,则 ,则 Sn2n1. 1 2n 1 2 由由 Sm63,得,得 2m64,解得,解得 m6. 综上,综上,m6. 系统方法系统方法 1等差等差(比比)数列基本运算的解题思路数列基本运算的解题思
11、路 (1)设基本量设基本量 a1和公差和公差 d(公比公比 q) (2)列、解方程列、解方程(组组): 把条件转化为关于: 把条件转化为关于 a1和和 d(q)的方程的方程(组组),求出,求出 a1和和 d(q)后代入相应 的公式计算 后代入相应 的公式计算 2等差、等比数列性质问题的求解策略等差、等比数列性质问题的求解策略 (1)抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进 行求解 抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进 行求解 (2)数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数 的性质解题 数列是一种
12、特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数 的性质解题 (3)利用数列性质进行运算时,要注意整体思想的应用利用数列性质进行运算时,要注意整体思想的应用(如第如第 2 题题),可以减少计算量,此 方法还适用于求函数值、求函数的解析式等问题 ,可以减少计算量,此 方法还适用于求函数值、求函数的解析式等问题. 以数学文化为背景的数列问题以数学文化为背景的数列问题 题组全练题组全练 1 张丘建算经卷上第 张丘建算经卷上第 22 题为:“今有女善织,日益功疾初日织五尺,今一月日 织九匹三丈”其意思为今有一女子擅长织布,且从第 题为:“今有女善织,日益功疾初日织五尺,今一月日 织九匹三
13、丈”其意思为今有一女子擅长织布,且从第 2 天起,每天比前一天多织相同量 的布,若第一天织 天起,每天比前一天多织相同量 的布,若第一天织 5 尺布,现在一个月尺布,现在一个月(按按 30 天计天计)共织共织 390 尺布则该女子最后一天织布 的尺数为 尺布则该女子最后一天织布 的尺数为( ) A18 B20 C21 D25 解析 : 选解析 : 选C 依题意得, 织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列, 设为 依题意得, 织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列, 设为an, 其中 , 其中 a15,前,前 30 项和为项和为 390,于是有,于是有390,解得,解得 a302
14、1,即该织女最后一天,即该织女最后一天 30 5 a30 2 织织 21 尺布尺布 2(2017全国卷全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题 : “远望巍巍塔七层, 红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题 : “远望巍巍塔七层, 红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯倍,则塔的顶层共有灯( ) A1 盏盏 B3 盏盏 C5 盏盏 D9 盏盏 解析:选解析:
15、选 B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列,记为 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列,记为an,则前,则前 7 项的和项的和 S7 381,公比,公比 q2,依题意,得,依题意,得 S7381,解得,解得 a13. a1 1 27 1 2 3我国古代数学名著九章算术中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前 两步为: 我国古代数学名著九章算术中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前 两步为: 第一步:构造数列第一步:构造数列 1, . 1 2 1 3 1 4 1 n 第二步:将数列的各项乘以第二步:将数列的各项乘以 n,得数列,得数列(记为记为)a1,a2,a3,an. 则则 a1a
16、2a2a3an 1an等于 等于( ) An2 B(n1)2 Cn(n1) Dn(n1) 解析:选解析:选 C a1a2a2a3an 1an n 1 n 2 n 2 n 3 n n 1 n n n2 1 1 2 1 2 3 1 n 1 n n2(11 2 1 2 1 3 1 n 1 1 n) n2n(n1) n 1 n 系统方法系统方法 解决数列与数学文化问题的解决数列与数学文化问题的 3 步骤步骤 等差、等比数列的判定与证明等差、等比数列的判定与证明 由题知法由题知法 (2017全国卷全国卷)记记 Sn为等比数列为等比数列an的前的前 n 项和已知项和已知 S22,S36.典典例例 (1)求
17、求an的通项公式;的通项公式; (2)求求 Sn,并判断,并判断 Sn 1, ,Sn,Sn 2是否成等差数列 是否成等差数列 解解 (1)设设an的公比为的公比为 q. 由题设可得由题设可得Error! 解得解得Error! 故故an的通项公式为的通项公式为 an(2)n. (2)由由(1)可得可得 Sn 2 1 2 n 1 2 (1)n. 2 3 2n 1 3 由于由于 Sn 2 Sn 1 (1)n 4 3 2n 3 2 n 2 3 22Sn, 2 3 1 n2 n 1 3 故故 Sn 1, ,Sn,Sn 2成等差数列 成等差数列 类题通法类题通法 证明 证明an是等差或等比数列的基本方法是
18、等差或等比数列的基本方法 等差等差 数列数列 (1)利用定义,证明利用定义,证明 an 1 an(nN*)为一常数;为一常数; (2)利用等差中项,证明利用等差中项,证明 2anan 1 an 1(n 2) 等比等比 数列数列 (1)利用定义,证明利用定义,证明(nN*)为一常数;为一常数; an 1 an (2)利用等比中项,证明利用等比中项,证明 a an 1an1(n 2) 2 n 应用通关应用通关 (2018全国卷全国卷)已知数列已知数列an满足满足 a11,nan 1 2(n1)an.设设 bn. an n (1)求求 b1,b2,b3; (2)判断数列判断数列bn是否为等比数列,并
19、说明理由;是否为等比数列,并说明理由; (3)求求an的通项公式的通项公式 解:解:(1)由条件可得由条件可得 an 1 an. 2 n 1 n 将将 n1 代入得,代入得,a24a1,而,而 a11,所以,所以 a24. 将将 n2 代入得,代入得,a33a2,所以,所以 a312. 从而从而 b11,b22,b34. (2)数列数列bn是首项为是首项为 1,公比为,公比为 2 的等比数列的等比数列 由条件可得,即由条件可得,即 bn 1 2bn,又,又 b11, an 1 n 1 2an n 所以数列所以数列bn是首项为是首项为 1,公比为,公比为 2 的等比数列的等比数列 (3)由由(2
20、)可得可得2n 1,所以 ,所以 ann2n 1. an n 数列求和数列求和 多维例析多维例析 角度一 公式法求和角度一 公式法求和 (2018厦门质检厦门质检)已知数列已知数列an满足满足 a11,an 1 ,nN*.例例1 3an 2an3 (1)求证:数列为等差数列;求证:数列为等差数列; 1 an (2)设设 T2n,求,求 T2n. 1 a1a2 1 a2a3 1 a3a4 1 a4a5 1 a2n 1a2n 1 a2na2n 1 解解 (1)证明:由证明:由 an 1 , 3an 2an3 得 ,所以得 ,所以 . 1 an 1 2an3 3an 1 an 2 3 1 an 1
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