2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版讲义:第一部分 专题九 点、线、面之间的位置关系含解析.pdf
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1、专题九专题九 Error! 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 卷卷卷卷卷卷 直线与平面所成的角、正方体 的截面面积的最值 直线与平面所成的角、正方体 的截面面积的最值T12 求异面直线所成的角求异面直线所成的角T9 2018 面面垂直的证明面面垂直的证明T18(1)线面垂直的证明线面垂直的证明T20(1) 面面垂直的证 明 面面垂直的证 明T19(1) 求异面直线所成的角求异面直线所成的角T10 圆锥、 空间线线角的 求解 圆锥、 空间线线角的 求解T16 2017面面垂直的证明面面垂直的证明T18(1) 线面平行的证明线面平行的证明T19(1) 面面垂直的证 明 面面垂直的证
2、 明T19(1) 求异面直线所成的角求异面直线所成的角T11 空间中线、 面位置关系的判 定与性质 空间中线、 面位置关系的判 定与性质T14 2016 面面垂直的证明面面垂直的证明T18(1) 翻折问题、线面垂直的证 明 翻折问题、线面垂直的证 明T19(1) 线面平行的证 明 线面平行的证 明T19(1) 纵向 把握 趋势 纵向 把握 趋势 卷卷3 年年 5 考, 且以选择题的形 式考查线线角、线面角以及空 间几何体的截面问题,位置关 系的证明均出现在解答题中, 且连续 考, 且以选择题的形 式考查线线角、线面角以及空 间几何体的截面问题,位置关 系的证明均出现在解答题中, 且连续 3 年
3、均考查了面面垂直 的证明预计 年均考查了面面垂直 的证明预计 2019 年仍会在解 答题的第 年仍会在解 答题的第(1)问中考查位置关系 的证明,在小题中考查空间位 置关系的判断或异面直线问 题,难度适中 问中考查位置关系 的证明,在小题中考查空间位 置关系的判断或异面直线问 题,难度适中 卷卷3 年年 6 考, 且每年均有考, 且每年均有 1 小小 1 大, 涉及空间位置关系 的判定、 求异面直线所成的 角、线面平行或垂直的证 明、翻折问题,难度中 等预计 大, 涉及空间位置关系 的判定、 求异面直线所成的 角、线面平行或垂直的证 明、翻折问题,难度中 等预计 2019 年仍会在解 答题的第
4、 年仍会在解 答题的第(1)问中考查线面 位置关系的证明, 以选择题 或填空题的形式考查异面 直线所成角的求法, 难度适 中 问中考查线面 位置关系的证明, 以选择题 或填空题的形式考查异面 直线所成角的求法, 难度适 中 卷卷3 年年 4 考,涉及 线面平行的证明、 面 面垂直的证明以及 线线角的求法, 难度 适中预计 考,涉及 线面平行的证明、 面 面垂直的证明以及 线线角的求法, 难度 适中预计 2019 年 仍会在解答题的第 年 仍会在解答题的第 (1)问中考查面面垂 直问题, 在选择题或 填空题中考查线线 角的求法 问中考查面面垂 直问题, 在选择题或 填空题中考查线线 角的求法 横
5、向 把握 重点 横向 把握 重点 1.高考对此部分的命题较为稳定,一般为“一小一大”或“一大” ,即一道选择题高考对此部分的命题较为稳定,一般为“一小一大”或“一大” ,即一道选择题 (或填空题或填空题)一道解答题或只考一道解答题一道解答题或只考一道解答题 2.选择题一般在第选择题一般在第 911 题的位置,填空题一般在第题的位置,填空题一般在第 14 题的位置,多考查线面位置 关系的判断及空间角的求解,难度较小 题的位置,多考查线面位置 关系的判断及空间角的求解,难度较小 3.解答题多出现在第解答题多出现在第 18 或或 19 题的第一问的位置,考查空间中平行或垂直关系的证 明,难度中等 题
6、的第一问的位置,考查空间中平行或垂直关系的证 明,难度中等. 空间位置关系的判定与线线角、线面角空间位置关系的判定与线线角、线面角 题组全练题组全练 1.在如图所示的正四棱柱在如图所示的正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,中,E,F 分别是棱分别是棱 B1B,AD 的中点,则直线的中点,则直线 BF 与平面与平面 AD1E 的位置关系是的位置关系是( ) A平行平行B相交但不垂直相交但不垂直 C垂直垂直D异面异面 解析:选解析:选 A 如图,取 如图,取 AD1的中点的中点 O,连接,连接 OE,OF,则,则 OF 平行且等于平行且等于 BE, 四边形四边形 BFOE 是平行四边形,是平行四
7、边形, BFOE, BF平面平面 AD1E,OE平面平面 AD1E, BF平面平面 AD1E. 2设设 m,n 是两条不同的直线,是两条不同的直线, 是三个不同的平面, 给出下列四个命题: 是三个不同的平面, 给出下列四个命题: 若若 m,n,则,则 mn; 若若 ,m,则,则 m; 若若 n,mn,m,则,则 m; 若若 ,则,则 . 其中真命题的个数是其中真命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 解析:选解析:选 B , ,mn 或或 m,n 异面,故错误;易知正确;,异面,故错误;易知正确;,m 或或 m, 故错误;, , 故错误;, 或或 与与 相交,故错误相交,故错误 3(201
8、8全国卷全国卷)在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中,中,E 为棱为棱 CC1的中点,则异面直线的中点,则异面直线 AE 与与 CD 所成角的正切值为所成角的正切值为( ) A. B. 2 2 3 2 C. D. 5 2 7 2 解析 : 选解析 : 选C 如图,连接 如图,连接BE,因为,因为ABCD,所以,所以AE与与CD所成的角为所成的角为EAB. 在在 RtABE 中,设中,设 AB2, 则, 则 BE, 则, 则 tan EAB, 所以异面直线, 所以异面直线 AE 与与 CD5 BE AB 5 2 所成角的正切值为所成角的正切值为. 5 2 4(2018全国卷全国卷)已知圆
9、锥的顶点为已知圆锥的顶点为 S,母线,母线 SA,SB 所成角的余弦值为 ,所成角的余弦值为 ,SA 与圆与圆 7 8 锥底面所成角为锥底面所成角为 45,若,若SAB 的面积为的面积为 5,则该圆锥的侧面积为,则该圆锥的侧面积为_15 解析:如图,解析:如图,SA 与底面成与底面成 45角,角, SAO 为等腰直角三角形为等腰直角三角形 设设 OAr, 则则 SOr,SASBr.2 在在SAB 中,中,cos ASB , , 7 8 sin ASB, 15 8 S SAB SASBsin ASB 1 2 (r)25, 1 2 2 15 8 15 解得解得 r2,10 SAr4,即母线长,即母
10、线长 l4,255 S圆锥侧 圆锥侧 rl2440.1052 答案:答案:402 系统方法系统方法 1判定空间位置关系的方法判定空间位置关系的方法 (1)借助空间线面平行、 面面平行、 线面垂直、 面面垂直的判定定理和性质定理进行判断借助空间线面平行、 面面平行、 线面垂直、 面面垂直的判定定理和性质定理进行判断 (2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结 合有关定理,进行判断 借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结 合有关定理,进行判断 2当线线角、线面角出现在客观题中时,多用定义法求解若出现在解答题中多用向 量法求解 当
11、线线角、线面角出现在客观题中时,多用定义法求解若出现在解答题中多用向 量法求解 空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系的证明 由题知法由题知法 (2018石家庄摸底石家庄摸底)典典例例 如图,在多面体如图,在多面体ABCDPE中,四边形中,四边形ABCD和和CDPE都是直角梯形,都是直角梯形,ABDC,PE DC,ADDC, PD平面平面 ABCD,ABPDDA2PE,CD3PE,F 是是 CE 的中点的中点 (1)求证:求证:BF平面平面 ADP; (2)已知已知 O 是是 BD 的中点,求证:的中点,求证:BD平面平面 AOF. 证明证明 (1)取取 PD 的中点为的中点为 G,连接,
12、连接 FG,AG, F 是是 CE 的中点,的中点, FG 是梯形是梯形 CDPE 的中位线,的中位线, CD3PE, FG2PE,FGCD, CDAB,AB2PE,ABFG,ABFG, 即四边形即四边形 ABFG 是平行四边形,是平行四边形,BFAG, 又又 BF平面平面 ADP,AG平面平面 ADP, BF平面平面 ADP. (2)延长延长 AO 交交 CD 于于 M,连接,连接 BM,FM, BAAD,CDDA,ABAD,O 为为 BD 的中点,的中点, 四边形四边形 ABMD 是正方形,则是正方形,则 BDAM,MD2PE. MD 綊綊 FG.四边形四边形 DMFG 为平行四边形为平行
13、四边形 FMPD, PD平面平面 ABCD,FM平面平面 ABCD, FMBD, AMFMM,BD平面平面 AMF, 即即 BD平面平面 AOF. 类题通法类题通法 1垂直、平行关系中的转化与化归思想垂直、平行关系中的转化与化归思想 (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行 (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直证明线面垂直,需转化为证明线线垂直 (3)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直 2垂直、平行关系的常用证明方法垂直、平行关系的常用证明方法 方法方法 证明证明
14、 线线线线 平行平行 利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行; 利用平行四边形进行平行转换;利用平行四边形进行平行转换; 利用三角形的中位线定理证线线平行;利用三角形的中位线定理证线线平行; 利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换 证明证明 线线线线 垂直垂直 利用等腰三角形底边中线即高线的性质;利用等腰三角形底边中线即高线的性质; 勾股定理;勾股定理; 线面垂直的性质:即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面 即可, 线面垂直的性质:即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平
15、面 即可,l,ala 应用通关应用通关 1.如图,在底面是菱形的四棱柱如图,在底面是菱形的四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,中,ABC60,AA1 AC2,A1BA1D2,点,点 E 在在 A1D 上上2 (1)证明:证明:AA1平面平面 ABCD; (2)当为何值时,当为何值时,A1B平面平面 EAC,并求出此时直线,并求出此时直线 A1B 与平与平 A1E ED 面面 EAC 之间的距离之间的距离 解:解:(1)证明:因为四边形证明:因为四边形 ABCD 是菱形,是菱形,ABC60,所以,所以 ABADAC2. 在在AA1B 中,由中,由 AA AB2A1B2,得,得 AA1AB, 2
16、1 同理可知同理可知 AA1AD. 又又 ABADA,所以,所以 AA1平面平面 ABCD. (2)当当1 时,时,A1B平面平面 EAC. A1E ED 证明如下:连接证明如下:连接 BD 交交 AC 于点于点 O,则,则 O 为为 BD 的中点,的中点, 连接连接 OE,因为,因为1, A1E ED 所以点所以点 E 为为 A1D 的中点,的中点, 所以所以 OEA1B,又,又 A1B平面平面 EAC,EO平面平面 EAC, 所以所以 A1B平面平面 EAC. 所以直线所以直线 A1B 与平面与平面 EAC 之间的距离等于点之间的距离等于点 A1到平面到平面 EAC 的距离,因为的距离,因
17、为 E 为为 A1D 的中点,所以可转化为点的中点,所以可转化为点 D 到平面到平面 EAC 的距离,的距离, 设设 AD 的中点为的中点为 F,连接,连接 EF,则,则 EFAA1, 所以所以 EF平面平面 ACD,且,且 EF1, 可求得可求得 S ACD ,所以,所以 VEACD 1.3 1 3 3 3 3 易知易知 AE,AC2,CE2,所以,所以 S EAC ,2 7 2 又因为又因为 VDAECVEACD, 所以所以 S EACd (d 表示点表示点 D 到平面到平面 EAC 的距离的距离),解得,解得 d, 1 3 3 3 2 21 7 所以直线所以直线 A1B 与平面与平面 E
18、AC 之间的距离为之间的距离为. 2 21 7 2 (2018长春模拟长春模拟)如图, 在直三棱柱如图, 在直三棱柱 ABCA1B1C1中,中, ABBC BB1, AB1A1BE, D 为为 AC 上的点,上的点,B1C平面平面 A1BD. (1)求证:求证:BD平面平面 A1ACC1; (2)若若 AB1,且,且 ACAD1,求三棱锥,求三棱锥 ABCB1的体积的体积 解:解:(1)证明:连接证明:连接 ED, 平面平面 AB1C平面平面 A1BDED,B1C平面平面 A1BD,B1C 平面 平面 AB1C,B1CED. E 为为 AB1的中点,的中点, D 为为 AC 的中点,的中点,
19、ABBC,BDAC. A1A平面平面 ABC,BD平面平面 ABC,A1ABD. A1A,AC 是平面是平面 A1ACC1内的两条相交直线,内的两条相交直线, BD平面平面 A1ACC1. (2)由由 AB1,得,得 BCBB11, 由由(1)知知 AD AC,又,又 ACAD1,AC22, 1 2 AC2AB2BC2,ABBC, S ABC ABBC , , 1 2 1 2 VABCB1VB1ABC S ABCBB1 1 . 1 3 1 3 1 2 1 6 与平行、垂直有关的折叠、探索性问题与平行、垂直有关的折叠、探索性问题 由题知法由题知法 (2019 届高三届高三武汉调研武汉调研)如图如
20、图 1,在矩形,在矩形 ABCD 中,中,AB4,AD2,E 是是 CD典典例例 的中点,将的中点,将ADE 沿沿 AE 折起,得到如图折起,得到如图 2 所示的四棱锥所示的四棱锥 D1ABCE,其中平面,其中平面 D1AE平 面 平 面 ABCE. (1)证明:证明:BE平面平面 D1AE; (2)设设 F 为为 CD1的中点, 在线段的中点, 在线段 AB 上是否存在一点上是否存在一点 M, 使得, 使得 MF平面平面 D1AE, 若存在, 若存在, 求出的值;若不存在,请说明理由求出的值;若不存在,请说明理由 AM AB 解解 (1)证明:四边形证明:四边形 ABCD 为矩形且为矩形且
21、ADDEECBC2,AEBE2 . 2 又又 AB4,AE2BE2AB2, AEB90,即,即 BEAE. 又平面又平面 D1AE平面平面 ABCE,平面,平面 D1AE平面平面 ABCEAE,BE平面平面 ABCE,BE 平面 平面 D1AE. (2) ,理由如下: ,理由如下: AM AB 1 4 取取 D1E 的中点的中点 L,连接,连接 FL,AL, FLEC,FL EC1. 1 2 又又 ECAB,FLAB,且,且 FL AB, 1 4 M,F,L,A 四点共面四点共面 若若 MF平面平面 AD1E,则,则 MFAL. 四边形四边形 AMFL 为平行四边形,为平行四边形, AMFL
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- 2019版二轮复习数学理·重点生通用版讲义:第一部分 专题九 点、线、面之间的位置关系含解析 2019 二轮 复习 数学 重点 通用版 讲义 第一 部分 专题 之间 位置 关系 解析
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