2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版讲义:第一部分 专题十 立体几何中的向量方法含解析.pdf
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1、专题十 专题十 Error!Error! 立体几何中的向量方法 立体几何中的向量方法 卷卷卷卷卷卷 2018 线面角的正弦值的求 解 线面角的正弦值的求 解T18(2) 二面角、 线面角的正弦 值的求解 二面角、 线面角的正弦 值的求解T20(2) 二面角的正弦值的求 解 二面角的正弦值的求 解T19(2) 2017 二面角的余弦值的求 解 二面角的余弦值的求 解T18(2) 二面角的余弦值的求 解 二面角的余弦值的求 解T19(2) 二面角的余弦值的求 解 二面角的余弦值的求 解T19(2) 2016 二面角的余弦值的求 解 二面角的余弦值的求 解T18(2) 二面角的正弦值的求 解 二面角
2、的正弦值的求 解T19(2) 线面角的正弦值的求 解 线面角的正弦值的求 解T19(2) 纵向把纵向把 握趋势握趋势 全国卷全国卷 3 年年 3 年考,涉及直线与平面所成角、二面角的求解,且都在解答题 中的第 年考,涉及直线与平面所成角、二面角的求解,且都在解答题 中的第(2)问出现,难度适中预计问出现,难度适中预计 2019 年仍会以解答题的形式考查二面角或 线面角的求法 年仍会以解答题的形式考查二面角或 线面角的求法 横向把横向把 握重点握重点 高考对此部分的命题较为稳定, 一般为解答题, 多出现在第高考对此部分的命题较为稳定, 一般为解答题, 多出现在第 18 或或 19 题的第题的第(
3、2) 问的位置,考查利用空间向量求异面直线所成的角、线面角或二面角,难度 中等偏上 问的位置,考查利用空间向量求异面直线所成的角、线面角或二面角,难度 中等偏上. 考法一 利用空间向量证明平行与垂直考法一 利用空间向量证明平行与垂直 设直线设直线l的方向向量为的方向向量为a(a1, b1, c1), 平面, 平面, 的法向量分别为的法向量分别为u(a2, b2, c2), v(a3, b3, c3) (1)线面平行:线面平行: lauau0a1a2b1b2c1c20. (2)线面垂直:线面垂直: lauakua1ka2,b1kb2,c1kc2. (3)面面平行:面面平行: uvukva2ka3
4、,b2kb3,c2kc3. (4)面面垂直:面面垂直: uvuv0a2a3b2b3c2c30. 如图, 在四棱锥 如图, 在四棱锥 PABCD 中,中, PA底面底面 ABCD, ADAB, ABDC, ADDC典典例例 AP2,AB1,点,点 E 为棱为棱 PC 的中点求证:的中点求证: (1)BEDC; (2)BE平面平面 PAD; (3)平面平面 PCD平面平面 PAD. 破题思路破题思路 第第(1)问问 求什么求什么 想什么想什么 要证要证 BEDC,想到证,即,想到证,即0BE DC BE DC 给什么给什么 用什么用什么 由由 PA底面底面 ABCD,ADAB,可知,可知 AP,A
5、B,AD 三条直线两两 互相垂直,可用来建立空间直角坐标系 三条直线两两 互相垂直,可用来建立空间直角坐标系 差什么差什么 找什么找什么 建立坐标系后,要证建立坐标系后,要证0,缺少,的坐标,根据,缺少,的坐标,根据BE DC BE DC 所建坐标系求出所建坐标系求出 B,E,D,C 点的坐标即可点的坐标即可 第第(2)问问 求什么求什么 想什么想什么 要证要证 BE平面平面 PAD,想到证与平面,想到证与平面 PAD 的法向量垂直的法向量垂直BE 差什么差什么 找什么找什么 需要求及平面需要求及平面 PAD 法向量的坐标,可根据第法向量的坐标,可根据第(1)问建立的空间问建立的空间BE 直角
6、坐标系求解直角坐标系求解 第第(3)问问 求什么求什么 想什么想什么 要证平面要证平面 PCD平面平面 PAD, 想到证平面, 想到证平面 PCD 的法向量与平面的法向量与平面 PAD 的法 向量垂直 的法 向量垂直 差什么差什么 找什么找什么 缺少两个平面的法向量,可利用缺少两个平面的法向量,可利用(1)中所建的空间直角坐标系求解中所建的空间直角坐标系求解 规范解答规范解答依题意知,依题意知,AB,AD,AP 两两垂直,故以点两两垂直,故以点 A 为坐标原 点建立空间直角坐标系 为坐标原 点建立空间直角坐标系(如图如图),可得,可得 B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0), P
7、(0,0,2) 由 由 E 为棱为棱 PC 的中点, 得的中点, 得 E(1,1,1) (1)因为因为(0,1,1),(2,0,0),故,故0.所以所以 BEBE DC BE DC DC. (2)易知易知(1,0,0)为平面为平面 PAD 的法向量,的法向量,AB 而而(0,1,1)(1,0,0)0,所以,所以 BEAB,BE AB 又又 BE平面平面 PAD,所以,所以 BE平面平面 PAD. (3)(0,2,2),(2,0,0),PD DC 设平面设平面 PCD 的法向量为的法向量为 n(x,y,z), 则则Error!即即Error! 不妨令不妨令 y1,可得,可得 n(0,1,1)为平
8、面为平面 PCD 的一个法向量的一个法向量 因为平面因为平面 PAD 的一个法向量的一个法向量(1,0,0),AB 所以所以 n(0,1,1)(1,0,0)0,所以,所以 n.AB AB 所以平面所以平面 PCD平面平面 PAD. 题后悟通题后悟通 利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系 (2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、 平面的要素 建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题
9、中所涉及的点、直线、 平面的要素 (3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量,再研究平行、垂直关系通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量,再研究平行、垂直关系 (4)根据运算结果解释相关问题根据运算结果解释相关问题 对点训练对点训练 如图, 在直三棱柱如图, 在直三棱柱 ABCA1B1C1中, 中, ABC90, BC2, CC14, 点 , 点 E 在线段在线段 BB1上, 且上, 且 EB11,D,F,G 分别为分别为 CC1,C1B1,C1A1的 中点求证: 的 中点求证: (1)B1D平面平面 ABD; (2)平面平面 EGF平面平面 ABD. 证明 :证明
10、: (1)根据题意,以根据题意,以 B 为坐标原点,为坐标原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为所在的直线分别为 x 轴,轴,y 轴,轴,z 轴建立空轴建立空 间直角坐标系,如图间直角坐标系,如图 所示,所示, 则则 B(0,0,0),D(0,2,2), B1(0,0,4),C1(0,2,4), 设设 BAa, 则则 A(a,0,0), 所以所以(a,0,0),(0,2,2),BA BD (0,2,2),B1D 所以所以0,B1D BA 0440,B1D BD 即即 B1DBA,B1DBD. 又又 BABDB,BA平面平面 ABD,BD平面平面 ABD, 所以所以 B1D平面平面 ABD.
11、(2)由由(1)知,知,E(0,0,3),G,F(0,1,4), ( a 2, ,1, ,4) 则,则, (0,1,1),EG ( a 2, ,1, ,1) EF 所以所以0220, 0220,B1D EG B1D EF 即即 B1DEG,B1DEF. 又又 EGEFE,EG平面平面 EGF,EF平面平面 EGF, 因此因此 B1D平面平面 EGF. 结合结合(1)可知平面可知平面 EGF平面平面 ABD. 考法二 利用空间向量求空间角考法二 利用空间向量求空间角 1向量法求异面直线所成的角向量法求异面直线所成的角 若异面直线若异面直线a, b的方向向量分别为的方向向量分别为a, b, 异面直
12、线所成的角为, 异面直线所成的角为, 则, 则cos |cosa, b | . |ab | | a | b | 2向量法求线面所成的角向量法求线面所成的角 求出平面的法向量求出平面的法向量 n, 直线的方向向量, 直线的方向向量 a, 设线面所成的角为, 设线面所成的角为 , 则, 则 sin |cosn, a | . |na | | n | a | 3向量法求二面角向量法求二面角 求出二面角求出二面角 l 的两个半平面的两个半平面 与与 的法向量的法向量 n1,n2,若二面角,若二面角 l 所成的角所成的角 为 锐角, 则 为 锐角, 则 cos |cosn1, n2 |; 若二面角; 若二
13、面角 l 所成的角所成的角 为钝角, 则为钝角, 则 cos |cos |n1n2| | n1| n2| n1,n2|. |n1n2| |n1|n2| 题型题型策略策略(一一)Error!求异面直线所成的角求异面直线所成的角 (2015全国卷全国卷)如图,四边形如图,四边形 ABCD 为菱形,为菱形,ABC120,E,F 是平面是平面例例1 ABCD 同一侧的两点,同一侧的两点,BE平面平面 ABCD,DF平面平面 ABCD,BE2DF,AEEC. (1)证明:平面证明:平面 AEC平面平面 AFC; (2)求直线求直线 AE 与直线与直线 CF 所成角的余弦值所成角的余弦值 破题思路破题思路
14、 第第(1)问问 求什么求什么 想什么想什么 证明平面证明平面 AEC平面平面 AFC,想到求二面角,想到求二面角 EACF 的平面角为直 角或证明平面 的平面角为直 角或证明平面 AEC 的法向量与平面的法向量与平面 AFC 的法向量垂直的法向量垂直 给什么给什么 用什么用什么 四边形四边形 ABCD 为菱形,则连接为菱形,则连接 BD,使,使 BDACO,有,有 ACBD, 且 , 且 OAOC,OBOD. 由由EB平面平面ABC, FD平面平面ABC, ABBCCDAD, 可证, 可证EA EC,FAFC,即,即EAC 和和FAC 均为等腰三角形均为等腰三角形 差什么差什么 找什么找什么
15、 要证二面角的平面角为直角, 需找出二面角的平面角, 连接要证二面角的平面角为直角, 需找出二面角的平面角, 连接 EO, FO 可知可知EOF 即为二面角的平面角 ; 若利用坐标系求解, 此时可以即为二面角的平面角 ; 若利用坐标系求解, 此时可以 O 为坐标原点,以为坐标原点,以 OB 和和 OC 分别为分别为 x 轴,轴,y 轴建系轴建系 第第(2)问问 求什么求什么 想什么想什么 求直线求直线 AE 与直线与直线 CF 所成角的余弦值,想到求与的夹角的余弦值所成角的余弦值,想到求与的夹角的余弦值AE CF 给什么给什么 用什么用什么 由由 BD 与与 AC 垂直平分, 且垂直平分, 且
16、 BE平面平面 ABCD, 可以, 可以 OB 与与 OC 分别为分别为 x 轴,轴, y 轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系 差什么差什么 找什么找什么 差各线段的具体长度,故可令差各线段的具体长度,故可令 OB1,进而求出各点坐标,和的坐,进而求出各点坐标,和的坐AE CF 标标 规范解答规范解答 (1)证明 : 连接证明 : 连接 BD, 设, 设 BDAC 于点于点 O, 连接, 连接 EO, FO, EF.在菱形在菱形 ABCD 中, 不妨设中, 不妨设 OB1. 由由ABC120,可得,可得 AOOC . 3 由由 BE平面平面 ABCD,ABBC, 可知可知 AEEC,故,
17、故 EOAC. 由由 DF平面平面 ABCD,ADDC, 可知可知 AFFC,故,故 FOAC. 所以二面角所以二面角 EACF 的平面角为的平面角为EOF. 又又 AEEC,所以,所以 EO . 3 在在 RtEBO 中,可得中,可得 BE,故,故 DF.2 2 2 在在 RtFDO 中,可得中,可得 FO. 6 2 在直角梯形在直角梯形 BDFE 中,由中,由 BD2,BE,DF2 , 2 2 可得可得 EF. 3 2 2 从而从而 EO2FO2EF2,所以,所以 EOFO. 所以二面角所以二面角 EACF 为直角,为直角, 所以平面所以平面 AEC平面平面 AFC. (2)以以 O 为坐
18、标原点,分别以,的方向为为坐标原点,分别以,的方向为 x 轴,轴,y 轴正方向,轴正方向,|为单位长度,为单位长度,OB OC OB 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系 Oxyz. 由由(1)可得可得 A(0,0),E(1,0,),F,C(0, , ,0),32 ( 1, ,0, , 2 2) 3 所以所以(1, , ,),.AE 32CF ( 1, , 3, , 2 2) 故故 cos,.AE CF | 3 3 所以直线所以直线 AE 与直线与直线 CF 所成角的余弦值为所成角的余弦值为. 3 3 题后悟通题后悟通 思路思路 受阻受阻 分析分析 解决第解决第(1)问时,不能正确作出二面角的
19、平面角或虽然作出,但不能正确求解而 造成问题无法求解或求解错误,解决第 问时,不能正确作出二面角的平面角或虽然作出,但不能正确求解而 造成问题无法求解或求解错误,解决第(2)问时,不能建立恰当的空间直角坐标 系,是造成不能解决问题的常见障碍 问时,不能建立恰当的空间直角坐标 系,是造成不能解决问题的常见障碍 技法技法 关键关键 点拨点拨 求异面直线所成的角求异面直线所成的角 , 可以通过求两直线的方向向量的夹角, 可以通过求两直线的方向向量的夹角 求得, 即求得, 即 cos |cos |.要注意要注意 的范围为的范围为(0, , 2 对点训练对点训练 1.将边长为将边长为1的正方形的正方形A
20、A1O1O(及其内部及其内部)绕绕OO1旋转一周形成 圆柱,如图,长为,长为 ,其中 旋转一周形成 圆柱,如图,长为,长为 ,其中 B1与与 C 在平面在平面 AA1O1O AC 2 3 11 AB 3 的同侧的同侧 (1)求三棱锥求三棱锥 CO1A1B1的体积;的体积; (2)求异面直线求异面直线 B1C 与与 AA1所成的角的大小所成的角的大小 解:解:(1) , ,A1O1B1 , , 11 AB 3 3 SO1A1B1 O1A1O1B1sin , 1 2 3 3 4 VCO1A1B1 OO1SO1A1B1 1, 1 3 1 3 3 4 3 12 三棱锥三棱锥 CO1A1B1的体积为的体
21、积为. 3 12 (2)以以 O 为坐标原点,为坐标原点,OA,OO1所在直线为所在直线为 y 轴,轴,z 轴建立如图所 示的平面直角坐标系, 则 轴建立如图所 示的平面直角坐标系, 则 A(0,1,0),A1(0,1,1),B1, ( 3 2 , ,1 2, ,1) C. ( 3 2 , ,1 2, ,0) (0,0,1),AA1 (0,1,1),B1C cos,AA1 B1C | 2 2 ,AA1 B1C 3 4 异面直线异面直线 B1C 与与 AA1所成的角为所成的角为 . 4 题型题型策略策略(二二)Error!求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角 (2018合肥质检合肥质检)如图
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- 2019版二轮复习数学理·重点生通用版讲义:第一部分 专题十 立体几何中的向量方法含解析 2019 二轮 复习 数学 重点 通用版 讲义 第一 部分 专题 立体几何 中的 向量 方法 解析
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