2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版讲义:第一部分 专题八 空间几何体的三视图、表面积与体积含解析.pdf
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1、专题八专题八 Error! 空间几何体的三视图、表面积与体积空间几何体的三视图、表面积与体积 卷卷卷卷卷卷 三视图与数学文化三视图与数学文化T3 2018 空间几何体的三视图、 直观 图及最短路径问题 空间几何体的三视图、 直观 图及最短路径问题T7 圆锥的性质及侧面积 的计算 圆锥的性质及侧面积 的计算T16 与外接球有关的空间几何 体体积的最值问题 与外接球有关的空间几何 体体积的最值问题T10 空间几何体的三视图与直 观图、面积的计算 空间几何体的三视图与直 观图、面积的计算T7 2017 三棱锥的体积、导数的应 用 三棱锥的体积、导数的应 用T16 空间几何体的三视图 及组合体体积的计
2、 算 空间几何体的三视图 及组合体体积的计 算T4 球的内接圆柱、圆柱的体 积的计算 球的内接圆柱、圆柱的体 积的计算T8 空间几何体的三视图及表 面积的计算 空间几何体的三视图及表 面积的计算T9 2016 有关球的三视图及表面积 的计算 有关球的三视图及表面积 的计算T6 空间几何体的三视图 及组合体表面积的计 算 空间几何体的三视图 及组合体表面积的计 算T6 与直三棱柱有关的内切球 体积的最值问题 与直三棱柱有关的内切球 体积的最值问题T10 纵向把握 趋势 纵向把握 趋势 卷卷3 年年 4 考,涉及空间几 何体的三视图识别以及以 三视图为载体考查空间几 何体的表面积及侧面展开 图问题
3、,题型既有选择题, 也有填空题,难度适中预 计 考,涉及空间几 何体的三视图识别以及以 三视图为载体考查空间几 何体的表面积及侧面展开 图问题,题型既有选择题, 也有填空题,难度适中预 计 2019 年会以三视图为载 体考查空间几何体的体积 或表面积的计算问题 年会以三视图为载 体考查空间几何体的体积 或表面积的计算问题 卷卷3 年年 3 考,涉及 空间几何体的三视 图、空间几何体的表 面积和体积的计算, 题型为选择题或填空 题,难度适中预计 考,涉及 空间几何体的三视 图、空间几何体的表 面积和体积的计算, 题型为选择题或填空 题,难度适中预计 2019 年仍会以选择题 或填空题的形式考查
4、空间几何体的表面 积、体积的计算 年仍会以选择题 或填空题的形式考查 空间几何体的表面 积、体积的计算 卷卷3 年年 5 考,涉及数学 文化、三视图、几何体的 外接球、空间几何体的表 面积与体积的计算,难度 中等偏上,题型均为选择 题 预计 考,涉及数学 文化、三视图、几何体的 外接球、空间几何体的表 面积与体积的计算,难度 中等偏上,题型均为选择 题 预计 2019 年高考仍会 以选择题的形式考查,以 空间几何体与球的切、接 问题相结合为主考查 年高考仍会 以选择题的形式考查,以 空间几何体与球的切、接 问题相结合为主考查 横向把握 重点 横向把握 重点 1.此部分内容一般会以两小或一小的命
5、题形式出现,这“两小”或“一小”主 要考查三视图、几何体的表面积与体积的计算 此部分内容一般会以两小或一小的命题形式出现,这“两小”或“一小”主 要考查三视图、几何体的表面积与体积的计算 2.考查一个小题时,本小题一般会出现在第考查一个小题时,本小题一般会出现在第 48 题的位置上,难度一般;考查 两个小题时, 其中一个小题难度一般, 另一小题难度稍高, 一般会出现在第 题的位置上,难度一般;考查 两个小题时, 其中一个小题难度一般, 另一小题难度稍高, 一般会出现在第 10 16 题的位置上,本小题虽然难度稍高,主要体现在计算量上,但仍是对基础知 识、基本公式的考查 题的位置上,本小题虽然难
6、度稍高,主要体现在计算量上,但仍是对基础知 识、基本公式的考查. 空间几何体的三视图空间几何体的三视图 题组全练题组全练 1(2018全国卷全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构 件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体 是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木 构件的俯视图可以是 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构 件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体 是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木 构件的俯视图可以是( ) 解析:选解析:选 A 由题意可知带卯眼的木构件的直
7、观图如图所示,由直观 图可知其俯视图应选 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观 图可知其俯视图应选 A. 2 (2019届高三届高三西安模拟西安模拟)把边长为把边长为1的正方形的正方形ABCD沿对角线沿对角线BD折起, 使得平面折起, 使得平面ABD 平面平面 CBD,形成的三棱锥,形成的三棱锥 CABD 的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为( ) A. B. 1 2 2 2 C. D. 2 4 1 4 解析:选解析:选 D 由三棱锥 由三棱锥 CABD 的正视图、俯视图得三棱锥的正视图、俯视图得三棱锥 CABD 的侧视图为直角边 长
8、是的等腰直角三角形,所以三棱锥 的侧视图为直角边 长是的等腰直角三角形,所以三棱锥 CABD 的侧视图的面积为的侧视图的面积为 . 2 2 1 4 3.(2018全国卷全国卷)某圆柱的高为某圆柱的高为 2,底面周长为,底面周长为 16,其三视图如 图所示 圆柱表面上的点 ,其三视图如 图所示 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的 点 ,圆柱表面上的 点 N 在左视图上的对应点为在左视图上的对应点为 B, 则在此圆柱侧面上,从, 则在此圆柱侧面上,从 M 到到 N 的路 径中,最短路径的长度为 的路 径中,最短路径的长度为( ) A2 B2175 C3
9、D2 解析 : 选解析 : 选 B 先画出圆柱的直观图, 根据题图的三视图可知点 先画出圆柱的直观图, 根据题图的三视图可知点 M, N 的位置如图所示的位置如图所示 圆柱的侧面展开图及圆柱的侧面展开图及 M,N 的位置的位置(N 为为 OP 的四等分点的四等分点)如图所示,连接如图所示,连接 MN,则图 中 ,则图 中 MN 即为即为 M 到到 N 的最短路径的最短路径ON 164,OM2, 1 4 MN 2.OM2ON222425 4(2018石家庄质检石家庄质检)如图,网格纸上的小正方形的边长为如图,网格纸上的小正方形的边长为 1,粗线表示的是某三棱锥 的三视图,则该三棱锥的四个面中,最
10、小面的面积是 ,粗线表示的是某三棱锥 的三视图,则该三棱锥的四个面中,最小面的面积是( ) A2 B232 C2 D. 3 解析:选解析:选 C 在正方体中还原该几何体,如图中三棱锥 在正方体中还原该几何体,如图中三棱锥 DABC 所示,其中正方体的棱长为所示,其中正方体的棱长为 2, 则, 则 S ABC 2, S DBC 2, S ADB 22 ,S ADC 2,故该三棱锥的四个面中,最小面的面积是,故该三棱锥的四个面中,最小面的面积是 2.23 系统方法系统方法 1确定几何体的三视图的方法确定几何体的三视图的方法 判断几何体的三视图的基础是熟练掌握几何体的结构特征,其中三视图的画法是确定
11、 三视图的重要依据 判断几何体的三视图的基础是熟练掌握几何体的结构特征,其中三视图的画法是确定 三视图的重要依据 (1)基本要求:长对正,高平齐,宽相等基本要求:长对正,高平齐,宽相等 (2)画法规则:正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽画法规则:正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽 (3)看不到的线画虚线看不到的线画虚线 2由三视图确定几何体的方法由三视图确定几何体的方法 熟练掌握规则几何体的三视图是由三视图还原几何体的基础,在明确三视图画法规则 的基础上,按以下步骤可轻松解决此类问题: 熟练掌握规则几何体的三视图是由三视图还原几何体的基础,在明确三视图画法规则 的基础上,按以下步骤可轻松解决此
12、类问题: (1)定底面:根据俯视图确定定底面:根据俯视图确定 (2)定棱及侧面:根据正视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线、虚线对应棱 的位置 定棱及侧面:根据正视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线、虚线对应棱 的位置 (3)定形状:确定几何体的形状定形状:确定几何体的形状. 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 由题知法由题知法 (1)(2018合肥质检合肥质检)如图,网格纸上小正方形的边长为如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何,粗线画出的是某几何典典例例 体的三视图,则该几何体的表面积为体的三视图,则该几何体的表面积为( ) A518 B618 C
13、86 D106 (2)(2018洛阳统考洛阳统考)一个几何体的三视图如图所示, 图中的三个 正方形的边长均为 一个几何体的三视图如图所示, 图中的三个 正方形的边长均为 2, 则该几何体的体积为, 则该几何体的体积为( ) A8 B4 2 3 3 C8 D4 3 2 3 (3)(2018天津高考天津高考)已知正方体已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为 1,除 面 ,除 面 ABCD 外, 该正方体其余各面的中心分别为点外, 该正方体其余各面的中心分别为点 E, F, G, H, M(如图如图), 则四棱锥 , 则四棱锥 MEFGH 的体积为的体积为_ 解析解析 (1)由三视图可
14、知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的, 故该几何体的表 面积为 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的, 故该几何体的表 面积为 2 4122 1223 21386. 1 2 1 2 1 2 (2)由三视图可得该几何体的直观图如图所示,该几何体是一个棱 长为 由三视图可得该几何体的直观图如图所示,该几何体是一个棱 长为 2 的正方体上、下各挖去一个底面半径为的正方体上、下各挖去一个底面半径为 1, 高为, 高为 1 的圆锥后剩余 的部分, 其体积为 的圆锥后剩余 的部分, 其体积为 232 1218. 1 3 2 3 (3)连接连接 AD1, CD1, B1A, B1C, AC
15、, 因为, 因为 E, H 分别为分别为 AD1, CD1的中点, 所以 的中点, 所以 EHAC, EH AC,因为,因为 F,G分别为分别为B1A,B1C的中点,所以的中点,所以 FGAC,FG AC,所以,所以 EH 1 2 1 2 FG,EHFG, 所以四边形, 所以四边形 EHGF 为平行四边形,又为平行四边形,又 EGHF, EHHG, 所以四边形 , 所以四边形 EHGF 为正方形,又点为正方形,又点 M 到平面到平面 EHGF 的距离为 , 所以四的距离为 , 所以四 1 2 棱锥棱锥 MEFGH 的体积为 的体积为 2 . 1 3 () 1 2 1 12 答案答案 (1)C
16、(2)A (3) 1 12 类题通法类题通法 1三类几何体表面积的求法三类几何体表面积的求法 求多面体 的表面积 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”并展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多 面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”并展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多 面体的表面积 求旋转体 的表面积 求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其结构特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清 它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 可以从旋转体的形成过程及其结构特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清 它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则 几何
17、体的 表面积 求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、 锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、 锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积 2求体积的求体积的 3 种常用方法种常用方法 直接法直接法对于规则的几何体,利用相关公式直接计算对于规则的几何体,利用相关公式直接计算 割补法割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不规 则的几何体补成规则的几何体,把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计 算
18、首先把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不规 则的几何体补成规则的几何体,把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计 算 等体积法等体积法 选择合适的底面来求几何体的体积,常用于求三棱锥的体积,即三棱锥的任意 一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换 选择合适的底面来求几何体的体积,常用于求三棱锥的体积,即三棱锥的任意 一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换 应用通关应用通关 1(2018长春质检长春质检)九章算术卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四 丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何?刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体 九章算术卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下
19、广三丈,袤四 丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何?刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中 粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为 网格纸中 粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为 1),那么该刍甍的体积为,那么该刍甍的体积为( ) A4 B5 C6 D12 解析:选解析:选 B 如图,由三视图可还原得几何体 如图,由三视图可还原得几何体 ABCDEF, 过 , 过 E,F 分别作垂直于底面的截面分别作垂直于底面的截面 EGH 和和 FMN, 将原几何体拆, 将原几何体拆 分成两个底面积为分成两个底面积为 3,高为,高为 1 的四棱锥和一个底面积为 , 高为的四棱锥
20、和一个底面积为 , 高为 2 的三棱柱, 所以的三棱柱, 所以 VABCDEF2V四 四 3 2 棱锥棱锥 EADHG V三棱柱 三棱柱 EHGFNM 2 31 25. 1 3 3 2 2某圆锥的侧面展开图是面积为某圆锥的侧面展开图是面积为 3 且圆心角为的扇形,此圆锥的体积为且圆心角为的扇形,此圆锥的体积为( ) 2 3 A B.2 2 3 C2 D22 解析 : 选解析 : 选 B 设圆锥的母线为 设圆锥的母线为 R,底面圆的半径为,底面圆的半径为 r,扇形的圆心角为,扇形的圆心角为 ,则,则 S R2 1 2 R23, 解得, 解得 R3, 底面圆的半径, 底面圆的半径 r 满足 , 解
21、得满足 , 解得 r1, 所以这个圆锥的高, 所以这个圆锥的高 h 1 2 2 3 r R 2 3 2 2,故圆锥的体积,故圆锥的体积 V r2h,故选,故选B.32122 1 3 2 2 3 3(2018福州模拟福州模拟)如图,网格纸上小正方形的边长为如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三 视图,则该多面体的表面积为 ,粗线画出的是某多面体的三 视图,则该多面体的表面积为( ) A14 B104 2 C.4 D.4 21 2 2 21 3 2 2 解析:选解析:选 D 法一:由三视图可知,该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩 余的几何体,如图所示所以该多面体的表面
22、积 法一:由三视图可知,该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩 余的几何体,如图所示所以该多面体的表面积 S2 (2212) (2 2 1 2 1 1) 1 2 1 2 2222 ()24.2 1 2 3 2 2 21 3 2 2 法二:由三视图可知,该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱 锥后剩余的几何体,如图所示所以该多面体的表面积 法二:由三视图可知,该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱 锥后剩余的几何体,如图所示所以该多面体的表面积SS三棱柱表 三棱柱表 S三 棱锥侧 三 棱锥侧 S三棱锥底 三棱锥底 (222)22 223 2 1 2 ( 1 2 1 1) 1 2 ()24. 3
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