2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版讲义:第一部分 专题十二 圆锥曲线的方程与性质含解析.pdf
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1、专题十二专题十二 Error! 圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的方程与性质 卷卷卷卷卷卷 直线与抛物线的位置关系、 平面向量数量积的运算 直线与抛物线的位置关系、 平面向量数量积的运算T8 双曲线的几何性质双曲线的几何性质T5 双 曲 线 的 几 何 性 质 双 曲 线 的 几 何 性 质T11 2018 双曲线的几何性质双曲线的几何性质T11 直线的方程及椭圆的几何性 质 直线的方程及椭圆的几何性 质T12 直线与抛物线的位置 关系 直线与抛物线的位置 关系T16 直线与抛物线的位置关系、 弦长公式、 基本不等式的应 用 直线与抛物线的位置关系、 弦长公式、 基本不等式的应 用T10 双曲线的
2、几何性质双曲线的几何性质T9 双曲线的渐近线及标 准方程 双曲线的渐近线及标 准方程T5 2017 双曲线的几何性质双曲线的几何性质T15 抛 物 线 的 定 义 及 标 准 方 程 抛 物 线 的 定 义 及 标 准 方 程T16 椭圆的几何性质椭圆的几何性质T10 双曲线的几何性质与标准 方程 双曲线的几何性质与标准 方程T5 2016 抛物线与圆的综合问 题 抛物线与圆的综合问 题T10 双曲线的定义、离心率问 题 双曲线的定义、离心率问 题T11 直线与椭圆的位置关 系、椭圆的离心率问 题 直线与椭圆的位置关 系、椭圆的离心率问 题T11 纵向把 握趋势 纵向把 握趋势 卷卷3 年年
3、6 考, 且每年都有考, 且每年都有 2 个小题同时出现, 涉及双曲 线、抛物线的几何性质,特 别是双曲线的几何性质及 抛物线属每年必考内容 预 计 个小题同时出现, 涉及双曲 线、抛物线的几何性质,特 别是双曲线的几何性质及 抛物线属每年必考内容 预 计 2019 年仍会延续以上命 题方式, 注意圆锥曲线与其 他问题的综合 年仍会延续以上命 题方式, 注意圆锥曲线与其 他问题的综合 卷卷3 年年 5 考,且考,且 3 年均考 查了双曲线的几何性质 在 年均考 查了双曲线的几何性质 在 2018 年高考中考查了椭圆 的 几 何 性 质 , 且 难 度 较 大 预计 年高考中考查了椭圆 的 几
4、何 性 质 , 且 难 度 较 大 预计 2019 年仍会以选择 题或填空题的形式考查双曲 线的几何性质或椭圆的几何 性质 年仍会以选择 题或填空题的形式考查双曲 线的几何性质或椭圆的几何 性质 卷卷3 年年 5 考,涉及 双曲线的几何性质、 椭圆的几何性质、直 线与抛物线的位置关 系,既有选择题,也 有填空题,难度适 中 预计 考,涉及 双曲线的几何性质、 椭圆的几何性质、直 线与抛物线的位置关 系,既有选择题,也 有填空题,难度适 中 预计 2019 年仍会 以选择题或填空题的 形式考查双曲线或椭 圆的方程及性质 年仍会 以选择题或填空题的 形式考查双曲线或椭 圆的方程及性质 横向把 握重
5、点 横向把 握重点 1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择题、填空题的形 式考查, 常出现在第 圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择题、填空题的形 式考查, 常出现在第 412 或或 1516 题的位置, 着重考查圆锥曲线的几何性质与 标准方程,难度中等 题的位置, 着重考查圆锥曲线的几何性质与 标准方程,难度中等 2.直线与圆锥曲线的位置关系中与交点个数,弦长、面积中点弦有关的问题,一 般难度中等 直线与圆锥曲线的位置关系中与交点个数,弦长、面积中点弦有关的问题,一 般难度中等. 圆锥曲线的定义与方程圆锥曲线的定义与方程 题组全练题组全练 1.如图, 椭圆
6、如图, 椭圆 1(a0)的左、 右焦点分别为的左、 右焦点分别为 F1, F2, 点, 点 P 在椭圆上, 若在椭圆上, 若|PF1|4, , x2 a2 y2 2 F1PF2120,则,则 a 的值为的值为( ) A2 B3 C4 D5 解析:选解析:选 B 设 设|PF2|m,则,则|PF1|PF2|2a, 即即 m42a. 在在PF1F2中,由余弦定理得中,由余弦定理得 42m22m4cos 1204(a22) 联立,解得联立,解得 a3. 2已知双曲线已知双曲线1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲 x2 4 y2
7、 b2 线的两条渐近线相交于线的两条渐近线相交于A, B, C, D四点, 四边形四点, 四边形ABCD的面积为的面积为2b, 则双曲线的方程为, 则双曲线的方程为( ) A.1 B.1 x2 4 3y2 4 x2 4 4y2 3 C. 1 D.1 x2 4 y2 4 x2 4 y2 12 解析:选解析:选 D 由题意知双曲线的渐近线方程为 由题意知双曲线的渐近线方程为 y x,圆的方程为,圆的方程为 x2y24, b 2 联立联立Error! 解得解得Error!或或Error! 即第一象限的交点为即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性, 得由双曲线和圆的对称性, 得 ( 4 4 b2,
8、, 2b 4 b2) 四边形四边形 ABCD 为矩形, 其相邻两边长为,故为矩形, 其相邻两边长为,故 8 4 b2 4b 4 b2 8 4b 4 b2 2b,得,得 b212. 故双曲线的方程为故双曲线的方程为1. x2 4 y2 12 3 (2018唐山模拟唐山模拟)过抛物线过抛物线 y22px(p0)的焦点的焦点 F 作直线交抛物线于作直线交抛物线于 A, B 两点, 若两点, 若|AF| 2|BF|6,则,则 p_. 解析:设直线解析:设直线 AB 的方程为的方程为 xmy , ,A(x1,y1),B(x2,y2),且,且 x1x2,将直线,将直线 AB 的的 p 2 方程代入抛物线方
9、程得方程代入抛物线方程得 y22pmyp20,所以,所以 y1y2p2,4x1x2p2.设抛物线的准线为设抛物线的准线为 l, 过 , 过 A 作作 ACl,垂足为,垂足为 C,过,过 B 作作 BDl,垂足为,垂足为 D,因为,因为|AF|2|BF|6,根据抛物线的 定义知, ,根据抛物线的 定义知,|AF|AC|x1 6,|BF|BD|x2 3,所以,所以 x1x23,x1x29p,所,所 p 2 p 2 以以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2,即,即 18p720,解得,解得 p4. 答案:答案:4 4(2018合肥质检合肥质检)抛物线抛物线 E: y24x 的焦点为的焦点为 F
10、,准线,准线 l 与与 x 轴交于点轴交于点 A,过抛物线,过抛物线 E 上一点上一点 P(在第一象限内在第一象限内)作作 l 的垂线的垂线 PQ,垂足为,垂足为 Q.若四边形若四边形 AFPQ 的周长为的周长为 16,则点,则点 P 的 坐标为 的 坐标为_ 解析 : 设解析 : 设P(x, y), 其中, 其中x0, y0, 由抛物线的定义知, 由抛物线的定义知|PF|PQ|x1.根据题意知根据题意知|AF|2, |QA|y, 则则Error!Error!或或Error!(舍去舍去) 所以点所以点 P 的坐标为的坐标为(4,4) 答案:答案:(4,4) 系统方法系统方法 1圆锥曲线的定义圆
11、锥曲线的定义 (1)椭圆:椭圆:|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|) (2)双曲线:双曲线:|PF1|PF2|2a(2a0,b0)的右焦点的右焦点 F 作圆作圆 x2y2a2的切的切例例1 x2 a2 y2 b2 线线 FM(切点为切点为 M),交,交 y 轴于点轴于点 P.若若 M 为线段为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率是的中点,则双曲线的离心率是( ) A. B.23 C2 D. 5 解析解析 因为 因为 OMPF,且,且 M 为为 FP 的中点,所以的中点,所以POF 为等腰直角三角形,即为等腰直角三角形,即PFO45, 则不妨令切线 , 则不妨令切线 FM 的方程为的方程为
12、 xyc, 由圆心到切线的距离等于半径得, 由圆心到切线的距离等于半径得a, 所以, 所以 e . c 2 c a 2 答案答案 A (2018全国卷全国卷)已知已知 F1,F2是椭圆是椭圆 C:1(ab0)的左、右焦点,的左、右焦点,A 是是 C例例2 x2 a2 y2 b2 的左顶点, 点的左顶点, 点 P 在过在过 A 且斜率为的直线上, 且斜率为的直线上, PF1F2为等腰三角形, 为等腰三角形, F1F2P120, 则, 则 C 3 6 的离心率为的离心率为( ) A. B. 2 3 1 2 C. D. 1 3 1 4 解析解析 如图,作 如图,作PBx轴于点轴于点B.由题意可设由题
13、意可设|F1F2|PF2|2,则,则c1. 由由F1F2P120,可得,可得|PB|,|BF2|1,故,故|AB|a11a2,tan 3 PAB,解得,解得 a4,所以,所以 e . |PB| |AB| 3 a 2 3 6 c a 1 4 答案答案 D 如图,过抛物线 如图,过抛物线 y22px(p0)的焦点的焦点 F 的直线交抛物的直线交抛物例例3 线于点线于点 A,B,交其准线,交其准线 l 于点于点 C,若,若 F 是是 AC 的中点,且的中点,且|AF|4,则 线段 ,则 线段 AB 的长为的长为( ) A5 B6 C. D. 16 3 20 3 学解题学解题 法一:直接法法一:直接法
14、(学生用书不提供解题过程学生用书不提供解题过程) 如图, 设如图, 设l与与x轴交于点轴交于点M, 过点, 过点A作作ADl交交l于点于点D, 由抛物线的定义知, 由抛物线的定义知, |AD|AF| 4, 由, 由 F 是是 AC 的中点, 知的中点, 知|AF|2|MF|2p, 所以, 所以 2p4, 解得, 解得 p2, 抛物线的方程为, 抛物线的方程为 y24x. 设设 A(x1,y1),B(x2,y2),则,则|AF|x1 x114,所以,所以 x13,又,又 x1x21,所以,所以 x2 p 2 p2 4 ,所以,所以|AB|x1x2p. 1 3 16 3 法二:性质法法二:性质法(
15、学生用书提供解题过程学生用书提供解题过程) 如图, 设如图, 设l与与x轴交于点轴交于点M, 过点, 过点A作作ADl交交l于点于点D, 由抛物线的定义知, 由抛物线的定义知, |AD|AF| 4, 由, 由 F 是是 AC 的中点, 知的中点, 知|AF|2|MF|2p, 所以, 所以 2p4, 解得, 解得 p2, 抛物线的方程为, 抛物线的方程为 y24x. 设设 A(x1, y1), B(x2, y2), 因为 , 因为 , |AF|4, 所以, 所以|BF| , 所以 , 所以|AB|AF|BF|4 1 |AF| 1 |BF| 2 p 4 3 . 4 3 16 3 答案答案 C 类题
16、通法类题通法 1椭圆、双曲线离心率椭圆、双曲线离心率(离心率范围离心率范围)的求法的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据已知条件确定求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据已知条件确定 a,b,c 的等量 关系或不等关系,然后把 的等量 关系或不等关系,然后把 b 用用 a,c 代换,求 的值或范围代换,求 的值或范围 c a 2双曲线的渐近线的求法及用法双曲线的渐近线的求法及用法 (1)求法:把双曲线标准方程等号右边的求法:把双曲线标准方程等号右边的 1 改为改为 0,分解因式可得,分解因式可得 (2)用法:可得 或 的值用法:可得 或 的值 b a a b 利用渐
17、近线方程设所求双曲线的方程利用渐近线方程设所求双曲线的方程 利用利用 e求离心率求离心率1b 2 a2 3抛物线焦点弦的性质抛物线焦点弦的性质 若线段若线段 AB 为抛物线为抛物线 y22px(p0)过焦点过焦点 F 的一条弦,的一条弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则,则 (1)x1x2,y1y2p2; p2 4 (2)焦半径焦半径|AF|x1 ; ; p 2 (3) ; ; 1 |AF| 1 |BF| 2 p (4)弦长弦长 lx1x2p.当弦当弦 ABx 轴时,弦长最短为轴时,弦长最短为 2p,此时的弦又叫通径,此时的弦又叫通径 应用通关应用通关 1(2018全国卷全国卷)已知双曲
18、线已知双曲线 C:y21,O 为坐标原点,为坐标原点,F 为为 C 的右焦点,过的右焦点,过 F x2 3 的直线与的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为的两条渐近线的交点分别为 M,N.若若OMN 为直角三角形,则为直角三角形,则|MN|( ) A. B3 3 2 C2 D43 解析:选解析:选 B 法一:由已知得双曲线的两条渐近线方程为 法一:由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y x.设两条渐近线的夹角为设两条渐近线的夹角为2,则有,则有tan ,所以,所以30. 1 3 1 3 3 3 所以所以MON260.又又OMN 为直角三角形, 由于双曲线具有 对称性, 不妨设 为直角三角形, 由
19、于双曲线具有 对称性, 不妨设 MNON, 如图所示在, 如图所示在 RtONF 中,中,|OF|2, 则 , 则|ON| . 3 在在 RtOMN 中,中, |MN|ON|tan 2tan 603.故选故选B.3 法二 : 因为双曲线法二 : 因为双曲线y21 的渐近线方程为的渐近线方程为 yx, 所以, 所以MON60.不妨设过点不妨设过点 F x2 3 3 3 的直线与直线的直线与直线 yx 交于点交于点 M, 由, 由OMN 为直角三角形, 不妨设为直角三角形, 不妨设OMN90, 则, 则MFO 3 3 60,又直线,又直线 MN 过点过点 F(2,0),所以直线,所以直线 MN 的
20、方程为的方程为 y(x2),3 由由Error!得得Error! 所以所以 M,所以,所以|OM| , ( 3 2, , 3 2) ( 3 2) 2 ( 3 2) 2 3 所以所以|MN|OM|3,故选,故选B.3 2 (2018贵阳模拟贵阳模拟)过双曲线过双曲线1(a0, b0)的右焦点的右焦点F作圆作圆x2y2a2的切线的切线FM, x2 a2 y2 b2 切点为切点为 M,交,交 y 轴于点轴于点 P,若,若,且双曲线的离心率,且双曲线的离心率 e,则,则 ( )PM MF 6 2 A1 B2 C3 D4 解析:选解析:选 B 如图, 如图,|OF|c, |OM|a,OMPF, 所以所以
21、|MF|b, 根据射影定理得根据射影定理得|PF| , , c2 b 所以所以|PM| b, c2 b 所以所以 . | | c2 b b b c2b2 b2 a2 b2 因为因为 e21 2 , , c2 a2 a2b2 a2 b2 a2( 6 2) 3 2 所以所以 .所以所以 2. b2 a2 1 2 3已知椭圆已知椭圆 x21(00 时,椭圆的离心率的取 值范围为 时,椭圆的离心率的取 值范围为( ) A. B. (0, , 2 2) ( 1 4, , 2 2) C. D. ( 1 3, , 2 2) ( 2 5, , 2 2) 解析:选解析:选 A 由题意知 由题意知 F,B,C 的
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- 2019版二轮复习数学理·重点生通用版讲义:第一部分 专题十二 圆锥曲线的方程与性质含解析 2019 二轮 复习 数学 重点 通用版 讲义 第一 部分 专题 十二 圆锥曲线 方程 性质 解析
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