2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版讲义:第三部分 考前临门一脚含解析.pdf
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1、 (一一)巧用性质 妙解函数巧用性质 妙解函数 速解技法速解技法学一招学一招 函数性质主要指函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性,要深刻理解并加以巧妙地 运用 函数性质主要指函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性,要深刻理解并加以巧妙地 运用 以对称性为例,若函数以对称性为例,若函数 f (x)满足满足 f (ax)f (bx),则函数图象关于直线,则函数图象关于直线 x对称 ;对称 ; a b 2 若函数若函数 f (x)满足满足 f (ax)f (bx)c,则函数图象关于点对称,则函数图象关于点对称 ( a b 2 , ,c 2) 定义在 R 上的奇函数 定义在 R 上的奇函数 f (x)满
2、足满足 f (x2)f (x),且在,且在0,1上是增函数,则有上是增函数,则有例例1 ( ) Af 2时,时, f (x)单调递增 因为单调递增 因为 x1x20 且且 a1,函数,函数 f (x)4loga,其中 ,其中 x ,则函数 ,则函数 f (x)的的 5ax3 ax1 1 x 1 x 1 4 1 4 最大值与最小值之和为最大值与最小值之和为_ 解析 : 依题意知,解析 : 依题意知,f (x)44loga,令,令 g(x)4loga,其定义域为,其定义域为 ax1 ax1 1 x 1 x ax1 ax1 1 x 1 x ,可知,可知 g(x)4logag(x),函数,函数 g(x
3、)的图象关于原点对称,从而的图象关于原点对称,从而 1 4, , 1 4 a x 1 a x 1 1 x 1 x 可知函数可知函数 f (x)的图象关于点的图象关于点(0,4)对称,故函数对称,故函数 f (x)的最大值与最小值之和为的最大值与最小值之和为 8. 答案:答案:8 常用结论常用结论记一番记一番 1函数的单调性函数的单调性 在公共定义域内:在公共定义域内: (1)若函数若函数 f (x)是增函数,函数是增函数,函数 g(x)是增函数,则是增函数,则 f (x)g(x)是增函数;是增函数; (2)若函数若函数 f (x)是减函数,函数是减函数,函数 g(x)是减函数,则是减函数,则
4、f (x)g(x)是减函数;是减函数; (3)若函数若函数 f (x)是增函数,函数是增函数,函数 g(x)是减函数,则是减函数,则 f (x)g(x)是增函数;是增函数; (4)若函数若函数 f (x)是减函数,函数是减函数,函数 g(x)是增函数,则是增函数,则 f (x)g(x)是减函数是减函数 提示提示 在利用函数单调性解不等式时,易忽略函数定义域这一限制条件 在利用函数单调性解不等式时,易忽略函数定义域这一限制条件 2函数的奇偶性函数的奇偶性 (1)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:f (x)f (x)0,1; f x f x (2)
5、设设 f (x),g(x)的定义域分别是的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇奇奇, 奇奇偶,偶偶偶,偶偶偶,奇偶奇 ,那么在它们的公共定义域上:奇奇奇, 奇奇偶,偶偶偶,偶偶偶,奇偶奇 3有关函数有关函数 f (x)周期性的常用结论周期性的常用结论 (1)若若 f (xa)f (xa),则函数,则函数 f (x)的周期为的周期为 2|a|; (2)若若 f (xa)f (x),则函数,则函数 f (x)的周期为的周期为 2|a|; (3)若若 f (xa),则函数,则函数 f (x)的周期为的周期为 2|a|; 1 f x (4)若若 f (xa),则函数,则函数 f (x
6、)的周期为的周期为 2|a|. 1 f x (二二)最值函数 大显身手最值函数 大显身手 速解技法速解技法学一招学一招 Error! 对于任意 对于任意 xR, 函数R, 函数 f (x)表示表示 yx3, y x , , yx24x3 中的最大者,中的最大者,例例1 3 2 1 2 则则 f (x)的最小值是的最小值是( ) A2 B3 C8 D1 解析解析 如图,分别画出函数 如图,分别画出函数 yx3,y x , ,yx24x3 的图象,的图象, 3 2 1 2 得到三个交点得到三个交点 A(0,3),B(1,2),C(5,8) 由图象可得函数由图象可得函数 f (x)的表达式为的表达式
7、为 f (x)Error! 所以所以 f (x)的图象是图中的实线部分, 图象的最低点是的图象是图中的实线部分, 图象的最低点是 B(1,2), 所以函数, 所以函数 f (x)的最小值是的最小值是 2. 答案答案 A 已知函数 已知函数 f (x)x2xm , , g(x)log2x, minm, n表示表示 m, n 中的最小值,中的最小值,例例2 1 2 设函数设函数 h(x)minf (x), g(x)(x0), 则当函数, 则当函数 h(x)有三个零点时, 实数有三个零点时, 实数 m 的取值范围为的取值范围为( ) A. B. (0, , 3 4) ( , ,3 4 C. D. (
8、 1 2, , 3 4) ( 1 2, , ) 解析解析 在同一直角坐标系中,作出函数 在同一直角坐标系中,作出函数 yf (x)和和 yg(x)的 图象如图所示 的 图象如图所示 当两函数图象交于点当两函数图象交于点A(1,0)时,即有时,即有11m 0, 解得, 解得m 1 2 ,所以当函数,所以当函数 h(x)有三个零点时,有三个零点时, 1 2 即为点即为点 A 和和 yf (x)与与 x 轴的两个交点,轴的两个交点, 若满足条件,则需若满足条件,则需Error! 解得解得 0f (x)为增函数;为增函数; f (x)1,即,即 x(,1)(1,) 答案答案 (,1)(1,) 已知函数
9、 已知函数 f (x)(axb)ln xbx3 在在(1,f (1)处的切线方程为处的切线方程为 y2.例例3 (1)求求 a,b 的值;的值; (2)求函数求函数 f (x)的极值;的极值; (3)若若 g(x)f (x)kx 在在(1,3)上是单调函数,求上是单调函数,求 k 的取值范围的取值范围 解解 (1)因为因为 f (1)b32,所以,所以 b1. 又又 f (x) aln xab aln xa1, b x 1 x 而函数而函数 f (x)在在(1,f (1)处的切线方程为处的切线方程为 y2, 所以所以 f (1)1a10,所以,所以 a0. (2)由由(1)得得 f (x)ln
10、 xx3,f (x) 1(x0) 1 x 令令 f (x)0,得,得 x1. 当当 00;当;当 x1 时,时,f (x)0),g(x) k1, 1 x 又又 g(x)在在 x(1,3)上是单调函数,上是单调函数, 若若 g(x)为增函数,有为增函数,有 g(x)0, 即即 g(x) k10,即,即 k1 在 在 x(1,3)上恒成立上恒成立 1 x 1 x 又又 1 ,所以 ,所以 k . 1 x (0, , 2 3) 2 3 若若 g(x)为减函数,有为减函数,有 g(x)0, 即即 g(x) k10,即,即 k1 在 在 x(1,3)上恒成立,上恒成立, 1 x 1 x 又又 1 ,所以
11、 ,所以 k0. 1 x (0, , 2 3) 综上,综上,k 的取值范围为的取值范围为(,0. 2 3, , ) 技法领悟技法领悟 破解此类问题需注意两点:破解此类问题需注意两点: (1)求函数的单调区间时应优先考虑函数的定义域;求函数的单调区间时应优先考虑函数的定义域; (2)求得函数在多个区间单调性相同时,区间之间用“,”分割,或用“和”相连,不 能用“”相连 求得函数在多个区间单调性相同时,区间之间用“,”分割,或用“和”相连,不 能用“”相连 经典好题经典好题练一手练一手 1已知直线已知直线 2xy10 与曲线与曲线 yaexx 相切相切(其中其中 e 为自然对数的底数为自然对数的底
12、数),则实数,则实数 a 的值是的值是( ) A. B1 1 2 C2 De 解析:选解析:选 B 由题意知 由题意知 yaex12,则,则 a0,xln a,代入曲线方程得,代入曲线方程得 y1ln a,所以切线方程为,所以切线方程为 y(1ln a)2(xln a),即,即 y2xln a12x1a1. 2若函数若函数 f (x)axx2ln x 存在极值,且这些极值的和不小于存在极值,且这些极值的和不小于 4ln 2,则,则 a 的取值 范围为 的取值 范围为( ) A2,) B2,)2 C2,) D4,)3 解析 : 选解析 : 选 C f (x)a2x (x0), 因为, 因为 f
13、(x)存在极值, 所以存在极值, 所以 f (x) 1 x 2x2ax1 x 0 在在(0, , )上有根, 即上有根, 即 2x2ax10 在在(0, , )上有根, 所以上有根, 所以 a280, 显然当, 显然当 0 时,时,f (x)无极值,不合题意,所以无极值,不合题意,所以 a280,即,即 a2或或 a0,则,则 f (x1),f (x2)为为 f 1 2 a 2 (x)的极值,所以的极值,所以 f (x1)f (x2)(ax1x ln x1)(ax2x ln x2)a(x1x2)(x x )(ln 2 12 22 12 2 x1ln x2)ln 24ln 2,所以,所以 a2.
14、综上,综上,a 的取值范围为的取值范围为2,) a2 2 ( a2 4 1)33 3 是圆周率,是圆周率,e 是自然对数的底数,在是自然对数的底数,在 3e,e3,e,3,3,e六个数中,最小的数与 最大的数分别是 六个数中,最小的数与 最大的数分别是( ) A3e,3 B3e,e Ce3,3 De,3 解析 : 选解析 : 选 A e0, ln x x 1 ln x x2 即即 0e 时,函数时,函数 f (x)单调递减故函数单调递减故函数 f (x) 的单调递增区间为的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为,单调递减区间为(e,)由由 e3, 在, 在 3e, e3, e, 3,3, l
15、n ln 3 3 ln e e ln ln 3 3 e六个数中的最大的数是六个数中的最大的数是 3,同理得最小的数为,同理得最小的数为 3e. 4已知函数已知函数 f (x)1ln xa2x2ax(aRR) (1)讨论函数讨论函数 f (x)的单调性;的单调性; (2)若若 a0 且且 x(0,1),求证:,求证:x2 0,则当,则当 x 时, 时,f (x)0, 1 a 当当 0 时,时,f (x)0, 1 a 1 a 故故 f (x)在上单调递减,在上单调递增在上单调递减,在上单调递增 (0, , 1 a) ( 1 a, , ) 若若 a时,时,f (x)0. 1 2a 1 2a 故故 f
16、 (x)在上单调递减,在上单调递增在上单调递减,在上单调递增 (0, , 1 2a) ( 1 2a, , ) (2)证明:若证明:若 a0 且且 x(0,1), 则则 f (x)1ln x,x(0,1) 欲证欲证x2 0,故函数,故函数 g(x)在在(0,1)上单调递增,所以上单调递增,所以 g(x)p(0)2, 当当 x(x0,1)时,时,p(x0)p(1)0, 当当 x(x1,1)时,时,h(x)h(0)1, 所以所以 x(1ln x)0,0)的图象相邻两条对称轴的距离为 ,且的图象相邻两条对称轴的距离为 ,且 f (x 3) 2 (0)1. (1)求函数求函数 f (x)的解析式;的解析
17、式; (2)设设 ,f ,f ,求 ,求 tan(22)的值的值 (0, , 4) ( 3) 10 13 ( 6) 6 5 解 :解 : (1)函数函数 f (x)Acos(A0,0)的图象相邻两条对称轴的距离为 , 的图象相邻两条对称轴的距离为 , (x 3) 2 T 2 , ,2, 2 又又 f (0)1, A1,A2, 1 2 f (x)2cos. (2x 3) (2),f 2cos2cos(2)2cos 2, (0, , 4) ( 3) 2 10 13 cos 2,sin 2, 5 13 1 cos22 12 13 则则 tan 2. sin 2 cos 2 12 5 , (0, ,
18、4) f 2cos2cos 2 , , ( 6) 2 6 5 cos 2 , ,sin 2 , , 3 5 1 cos22 4 5 则则 tan 2 . sin 2 cos 2 4 3 tan(22). tan 2tan 2 1tan 2tan 2 12 5 4 3 112 5 4 3 16 63 常用结论常用结论记一番记一番 三角公式中常用的变形三角公式中常用的变形 (1)对于含有对于含有 sin cos , sin cos 的问题, 利用的问题, 利用(sin cos )212sin cos , 建立, 建立 sin cos 与与 sin cos 的关系的关系 (2)对于含有对于含有 si
19、n ,cos 的齐次式,利用的齐次式,利用 tan 转化转化 (如 如sin cos sin cos , ,sin cos ) sin cos 为含为含 tan 的式子的式子 (3)对于形如对于形如 cos2sin 与与 cos2sin cos 的变形, 前者用平方关系的变形, 前者用平方关系 sin2cos21 化为二次型函数,而后者用降幂公式化为一个角的三角函数化为二次型函数,而后者用降幂公式化为一个角的三角函数 (4)含含 tan tan 与与 tan tan 时考虑时考虑 tan(). tan tan 1tan tan (五)正弦余弦 相得益彰(五)正弦余弦 相得益彰 速解技法速解技法
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