2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版:专题跟踪检测(十三) 圆锥曲线的方程与性质含解析.pdf
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1、专题跟踪检测(十三)专题跟踪检测(十三) 圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的方程与性质 一、全练保分考法一、全练保分考法保大分保大分 1直线直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ,则的距离为其短轴长的 ,则 1 4 该椭圆的离心率为该椭圆的离心率为( ) A. B 1 3 1 2 C. D 2 3 3 4 解析:选解析:选 B 不妨设直线 不妨设直线 l 经过椭圆的一个顶点经过椭圆的一个顶点 B(0,b)和一个焦点和一个焦点 F(c,0),则直线,则直线 l 的 方程为 的 方程为 1,即,即 bxcybc0.由题意
2、知 由题意知 2b,解得 ,即,解得 ,即 e .故选故选 B x c y b | bc| b2c2 1 4 c a 1 2 1 2 2(2019 届高三届高三湖南长郡中学模拟湖南长郡中学模拟)已知已知 F 为双曲线为双曲线 C:1(a0,b0)的一个焦的一个焦 x2 a2 y2 b2 点, 其关于双曲线点, 其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上, 则双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上, 则双曲线C的离心率为的离心率为( ) A. B23 C2 D 5 解析 : 选解析 : 选 C 依题意, 设双曲线的渐近线 依题意, 设双曲线的渐近线 y x 的倾斜角为的倾斜角为 ,
3、则有, 则有 3, , , tan b a 3 b a ,双曲线,双曲线 C 的离心率的离心率 e 2. 3 31(b a) 2 3 (2019 届高三届高三南宁、 柳州名校联考南宁、 柳州名校联考)已知双曲线 已知双曲线 1(b0)的一个焦点与抛物线的一个焦点与抛物线 y2 x2 3 y2 b 8x 的焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为的焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为( ) Ay x Byx 1 3 3 3 Cy3x Dyx3 解析:选解析:选 B 由题意知,抛物线的焦点是 由题意知,抛物线的焦点是(2,0),即双曲线 ,即双曲线 1 的一个焦点坐标是的一个焦点坐标是 x2 3 y2 b
4、 (2,0),则,则 c2,且双曲线的焦点在,且双曲线的焦点在 x 轴上,所以轴上,所以 3b22,即,即 b1,于是双曲线的渐近线 方程为 ,于是双曲线的渐近线 方程为 yx. 3 3 4(2018昆明调研昆明调研)过抛物线过抛物线 C:y22px(p0)的焦点的焦点 F 且倾斜角为锐角的直线且倾斜角为锐角的直线 l 与与 C 交于交于 A, B 两点, 过线段两点, 过线段 AB 的中点的中点 N 且垂直于且垂直于 l 的直线与的直线与 C 的准线交于点的准线交于点 M, 若, 若|MN|AB|, 则 , 则 l 的倾斜角为的倾斜角为( ) A15 B30 C45 D60 解析:选解析:选
5、 B 分别过 分别过 A,B,N 作抛物线的准线的垂线,垂足分别为作抛物线的准线的垂线,垂足分别为 A,B,Q,由,由 抛物线的定义知抛物线的定义知|AF|AA|,|BF|BB|,|NQ| (|AA|BB|) |AB|,因为,因为|MN| 1 2 1 2 |AB|,所以,所以|NQ| |MN|,所以,所以MNQ60,即直线,即直线 MN 的倾斜角为的倾斜角为 120,又直线,又直线 MN 与与 1 2 直线直线 l 垂直且直线垂直且直线 l 的倾斜角为锐角,所以直线的倾斜角为锐角,所以直线 l 的倾斜角为的倾斜角为 30. 5(2018南昌模拟南昌模拟)已知已知 F1,F2是椭圆和双曲线的公共
6、焦点,是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点, 且 是它们的一个公共点, 且F1PF2 ,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 ,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) 4 A. B 1 2 2 2 C1 D 2 解析 : 选解析 : 选 B 如图,设 如图,设 F1,F2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点,分别是椭圆和双曲线的左、右焦点,P 是第一象限的点, 椭圆的长半轴长为是第一象限的点, 椭圆的长半轴长为 a1, 双曲线的实半轴长为, 双曲线的实半轴长为 a2, 则根据椭 圆及双曲线的定义得 , 则根据椭 圆及双曲线的定义得|PF1|PF2|2a1,|PF1|PF2|2a2,|
7、PF1|a1 a2,|PF2|a1a2.设设|F1F2|2c,又,又F1PF2 ,则在 ,则在PF1F2中,由余弦定理得,中,由余弦定理得,4c2 4 (a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos , 化简得, 化简得(2)a (2)a 4c2,设椭圆的,设椭圆的 4 2 2 1 2 2 2 离心率为离心率为 e1,双曲线的离心率为,双曲线的离心率为 e2,4, 2 2 e2 1 2 2 e2 2 又又2, 2 2 e2 1 2 2 e2 2 2 2 e2 1 2 2 e2 2 2 2 e1e2 4,即,即 e1e2, 2 2 e1e2 2 2 椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值
8、为椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为. 2 2 6(2018长春质检长春质检)已知已知 O 为坐标原点,设为坐标原点,设 F1,F2分别是双曲线分别是双曲线 x2y21 的左、右焦 点, 的左、右焦 点, P 为双曲线上任意一点, 过点为双曲线上任意一点, 过点 F1作作F1PF2的平分线的垂线, 垂足为的平分线的垂线, 垂足为 H, 则, 则|OH|( ) A1 B2 C4 D1 2 解析:选解析:选 A 不妨设 不妨设 P 在双曲线的左支,如图,延长在双曲线的左支,如图,延长 F1H 交交 PF2 于点于点 M,由于,由于 PH 既是既是F1PF2的平分线又垂直于的平分线又垂直于 F1M,
9、故,故PF1M 为 等腰三角形, 为 等腰三角形,|PF1|PM|且且H为为F1M的中点,所以的中点,所以OH为为MF1F2的中位 线,所以 的中位 线,所以|OH| |MF2| (|PF2|PM|) (|PF2|PF1|)1. 1 2 1 2 1 2 7已知椭圆已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线的右焦点与抛物线 C:y28x 的焦的焦 1 2 点重合,点重合,A,B 是是 C 的准线与的准线与 E 的两个交点,则的两个交点,则|AB|_. 解析 : 抛物线解析 : 抛物线C: y28x的焦点坐标为的焦点坐标为(2,0), 准线方程为
10、, 准线方程为x2.从而椭圆从而椭圆E的半焦距的半焦距c2. 可设椭圆可设椭圆 E 的方程为的方程为1(ab0), 因为离心率, 因为离心率 e , 所以 , 所以 a4, 所以, 所以 b2a2c212. x2 a2 y2 b2 c a 1 2 由题意知由题意知|AB|26. 2b2 a 12 4 答案:答案:6 8 (2018南宁模拟南宁模拟)已知椭圆已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是的一条弦所在的直线方程是 xy50, x2 a2 y2 b2 弦的中点坐标是弦的中点坐标是 M(4,1),则椭圆的离心率是,则椭圆的离心率是_ 解析:设直线解析:设直线 xy50 与椭圆与椭圆1 相
11、交于相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,两点, x2 a2 y2 b2 因为因为 AB 的中点的中点 M(4,1), 所以所以 x1x28,y1y22. 易知直线易知直线 AB 的斜率的斜率 k1. y2y1 x2x1 由由Error!两式相减得,两式相减得, 0, x 1 x2 x 1 x2 a2 y 1 y2 y 1 y2 b2 所以所以,所以 ,所以 , y1y2 x1x2 b2 a2 x1x2 y1y2 b2 a2 1 4 于是椭圆的离心率于是椭圆的离心率 e . c a 1b 2 a2 3 2 答案:答案: 3 2 9(2019 届高三届高三惠州调研惠州调研)已知已知 F
12、1,F2是双曲线是双曲线1(a0,b0)的两个焦点,过的两个焦点,过 y2 a2 x2 b2 其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M,若点,若点 M 在 以线段 在 以线段 F1F2为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是_ 解析 : 如图, 不妨设解析 : 如图, 不妨设 F1(0, c), F2(0, , c), 则过点, 则过点 F1与渐近线与渐近线 y x a b 平行的直线为平行的直线为 y xc, 联立, 联立Error! a b 解得解得Err
13、or!即即M.因为点因为点M在以线段在以线段F1F2为直径的圆为直径的圆x2 ( bc 2a, , c 2) y2c2内, 故内, 故 2 2b0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1,F2, x2 a2 y2 b2 上顶点为上顶点为 B,若,若BF1F2的周长为的周长为 6,且点,且点 F1到直线到直线 BF2的距离为的距离为B (1)求椭圆求椭圆 C 的方程;的方程; (2)设设 A1,A2是椭圆是椭圆 C 长轴的两个端点,长轴的两个端点,P 是椭圆是椭圆 C 上不同于上不同于 A1,A2的任意一点,直 线 的任意一点,直 线 A1P 交直线交直线 xm 于点于点 M,若以,若以 M
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