2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版:专题跟踪检测(十七) 概率、随机变量及其分布列含解析.pdf
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1、专题跟踪检测(十七)专题跟踪检测(十七) 概率、随机变量及其分布列概率、随机变量及其分布列 一、全练保分考法一、全练保分考法保大分保大分 1(2018全国卷全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成 果哥德巴赫猜想是“每个大于 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成 果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ,如的偶数可以表示为两个素数的和” ,如 30723.在不超 过 在不超 过 30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 30 的概率是的概率是( ) A. B. 1 12 1 14
2、C. D. 1 15 1 18 解析:选解析:选 C 不超过 不超过 30 的所有素数为的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共,共 10 个,随机选取两 个不同的数,共有 个,随机选取两 个不同的数,共有 C 45 种情况,而和为种情况,而和为 30 的有的有 723,1119,1317 这这 3 种情况,所种情况,所 2 10 求概率为求概率为.故选故选 C. 3 45 1 15 2(2018武汉调研武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次,得到的点数依次记为将一枚质地均匀的骰子投掷两次,得到的点数依次记为 a 和和 b,则 方程 ,则 方程 ax2bx10 有实
3、数解的概率是有实数解的概率是( ) A. B. 7 36 1 2 C. D. 19 36 5 18 解析 : 选解析 : 选 C 投掷骰子两次, 所得的点数 投掷骰子两次, 所得的点数 a 和和 b 满足的关系为满足的关系为Error!a 和和 b 的组合有的组合有 36 种,若方程种,若方程 ax2bx10 有实数解,则有实数解,则 b24a0,b24a. 当当 b1 时,没有时,没有 a 符合条件;当符合条件;当 b2 时,时,a 可取可取 1;当;当 b3 时,时,a 可取可取 1,2;当;当 b4 时,时,a 可取可取 1,2,3,4;当;当 b5 时,时,a 可取可取 1,2,3,4
4、,5,6;当;当 b6 时,时,a 可取可取 1,2,3,4,5,6. 满足条件的组合有满足条件的组合有 19 种,则方程种,则方程 ax2bx10 有实数解的概率有实数解的概率 P. 19 36 3(2018合肥质检合肥质检)已知某公司生产的一种产品的质量已知某公司生产的一种产品的质量 X(单位:克单位:克)服从正态分布服从正态分布 N(100,4)现从该产品的生产线上随机抽取现从该产品的生产线上随机抽取 10 000 件产品,其中质量在件产品,其中质量在98,104内的产品估 计有 内的产品估 计有( ) 附:若附:若 X 服从正态分布服从正态分布 N(,2),则,则 P(X)0.682
5、7,P(2X 2)0.954 5. A3 413 件 件 B4 772 件件 C6 826 件件 D8 186 件件 解析 : 选解析 : 选 D 由题意知 由题意知 100, 2, 则, 则 P(98X104) P(X)P( 1 2 2X2)0.818 6,所以质量在,所以质量在98,104内的产品估计有内的产品估计有 10 0000.818 68 186 件件 4.(2019届高三届高三洛阳联考洛阳联考)如图,圆如图,圆O: x2y22内的正弦曲线内的正弦曲线ysin x 与与 x 轴围成的区域记为轴围成的区域记为M(图中阴影部分图中阴影部分), 随机往圆, 随机往圆O内投一个点内投一个点
6、A, 则点, 则点A落在区域落在区域M内 的概率是 内 的概率是( ) A. B. 4 2 4 3 C. D. 2 2 2 3 解析:选解析:选 B 由题意知圆 由题意知圆 O 的面积为的面积为 3,正弦曲线,正弦曲线 ysin x,x,与与 x 轴围成 的区域记为 轴围成 的区域记为 M,根据图形的对称性得区域,根据图形的对称性得区域 M 的面积的面积 S2 sin xdx2cos xError!4,由,由 0 0 几何概型的概率计算公式可得, 随机往圆几何概型的概率计算公式可得, 随机往圆 O 内投一个点内投一个点 A, 则点, 则点 A 落在区域落在区域 M 内的概率内的概率 P ,故选
7、 ,故选 B. 4 3 5(2018潍坊模拟潍坊模拟)某篮球队对队员进行考核,规则是 : 每人进行某篮球队对队员进行考核,规则是 : 每人进行 3 个轮次的投篮 ; 每个轮次每人投篮 个轮次的投篮 ; 每个轮次每人投篮 2 次,若至少投中次,若至少投中 1 次,则本轮通过,否则不通过已知队员甲投篮次,则本轮通过,否则不通过已知队员甲投篮 1 次投中的概率为 ,如果甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲次投中的概率为 ,如果甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲 3 个轮次通过的次数个轮次通过的次数 X 的期的期 2 3 望是望是( ) A3 B.8 3 C2 D.5 3 解析 : 选解析 : 选 B
8、每个轮次甲不能通过的概率为 ,通过的概率为 每个轮次甲不能通过的概率为 ,通过的概率为 1 ,因为甲 ,因为甲 3 1 3 1 3 1 9 1 9 8 9 个轮次通过的次数个轮次通过的次数 X 服从二项分布服从二项分布 B,所以,所以 X 的数学期望为的数学期望为 3 . (3, , 8 9) 8 9 8 3 6.(2018潍坊模拟潍坊模拟)如图, 六边形如图, 六边形 ABCDEF 是一个正六边形, 若在正六边形内任取一点, 则该点恰好在图中阴影部分的概率是 是一个正六边形, 若在正六边形内任取一点, 则该点恰好在图中阴影部分的概率是( ) A. B. 1 4 1 3 C. D. 2 3 3
9、 4 解析 : 选解析 : 选 C 设正六边形的中心为点 设正六边形的中心为点 O, BD与与 AC交于点交于点 G, BC1, 则 , 则 BGCG, ,BGC120,在,在BCG 中,由余弦定理得中,由余弦定理得 1BG2BG2 2BG2cos 120,得 ,得 BG,所以,所以 S BCG BGBGsin 120 3 3 1 2 1 2 3 3 ,因为,因为 S六边形 六边形 ABCDEF S BOC 6 11sin 606 3 3 3 2 3 12 1 2 ,所以该点恰好在图中阴影部分的概率是,所以该点恰好在图中阴影部分的概率是 1 . 3 3 2 6S BCG S六 六边 边形形AB
10、CDEF 2 3 7(2018福州模拟福州模拟)某商店随机将三幅分别印有福州三宝某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸伞脱胎漆器、角梳、油纸伞)的 宣传画并排贴在同一面墙上,则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是 的 宣传画并排贴在同一面墙上,则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是_ 解析 : 记脱胎漆器、 角梳、 油纸伞的宣传画分别为解析 : 记脱胎漆器、 角梳、 油纸伞的宣传画分别为 a, b, c, 则并排贴的情况有, 则并排贴的情况有 abc, acb, bac,bca,cab,cba,共,共 6 种,其中种,其中 b,c 相邻的情况有相邻的情况有 abc,acb,bca,cb
11、a,共,共 4 种,故 由古典概型的概率计算公式,得所求概率 种,故 由古典概型的概率计算公式,得所求概率 P . 4 6 2 3 答案:答案:2 3 8(2018唐山模拟唐山模拟)向圆向圆(x2)2(y)24 内随机投掷一点,则该点落在内随机投掷一点,则该点落在 x 轴下方的轴下方的3 概率为概率为_ 解析:如图,连接解析:如图,连接 CA,CB,依题意,圆心,依题意,圆心 C 到到 x 轴的距离为,所以弦轴的距离为,所以弦 AB 的长为的长为 2.3 又圆的半径为又圆的半径为 2,所以弓形,所以弓形 ADB 的面积为 的面积为 2 2 ,所,所 1 2 2 3 1 2 3 2 3 3 以向
12、圆以向圆(x2)2(y)24内随机投掷一点,则该点落在内随机投掷一点,则该点落在x轴下方的概轴下方的概3 率率 P . 1 6 3 4 答案: 答案: 1 6 3 4 9从混有从混有 5 张假钞的张假钞的 20 张百元钞票中任意抽取两张,将其中一张放到验钞机上检验 发现是假钞,则两张都是假钞的概率是 张百元钞票中任意抽取两张,将其中一张放到验钞机上检验 发现是假钞,则两张都是假钞的概率是_ 解析 : 设事件解析 : 设事件 A 为“抽到的两张都是假钞” ,事件为“抽到的两张都是假钞” ,事件 B 为“抽到的两张至少有一张假钞” , 则所求的概率为 为“抽到的两张至少有一张假钞” , 则所求的概
13、率为 P(A|B), 因为因为 P(AB)P(A), C2 5 C 2 20 1 19 P(B), C2 5C1 5C 1 15 C 2 20 17 38 所以所以 P(A|B). P AB P B 1 19 17 38 2 17 答案:答案: 2 17 10.(2018唐山模拟唐山模拟)某篮球队在某赛季已结束的某篮球队在某赛季已结束的 8 场比赛中, 队员 甲得分统计的茎叶图如图 场比赛中, 队员 甲得分统计的茎叶图如图 (1)根据这根据这 8 场比赛,估计甲每场比赛中得分的均值场比赛,估计甲每场比赛中得分的均值 和标准差和标准差 ; (2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布假设甲在每场比赛
14、的得分服从正态分布 N(,2),且各场比赛间相互没有影响,依 此估计甲在 ,且各场比赛间相互没有影响,依 此估计甲在 82 场比赛中得分在场比赛中得分在 26 分以上的平均场数分以上的平均场数 参考数据:参考数据: 5.66,5.68,5.70.3232.2532.5 正态总体正态总体 N(,2)在区间在区间(2,2)内取值的概率约为内取值的概率约为 0.954. 解 :解 : (1) (78101517192123)15,2 (8)2(7)2(5)202 1 8 1 8 2242628232.25. 所以所以 5.68. 所以估计甲每场比赛中得分的均值所以估计甲每场比赛中得分的均值 为为 1
15、5,标准差,标准差 为为 5.68. (2)由由(1)得甲在每场比赛中得分在得甲在每场比赛中得分在 26 分以上的概率分以上的概率 P(X26) 1P(2X2) (10.954)0.023, 1 2 1 2 设在设在 82 场比赛中, 甲得分在场比赛中, 甲得分在 26 分以上的次数为分以上的次数为 Y, 则, 则 YB(82,0.023) Y 的均值的均值 E(Y) 820.0231.886. 由此估计甲在由此估计甲在 82 场比赛中得分在场比赛中得分在 26 分以上的平均场数为分以上的平均场数为 1.886. 11某化妆品公司从国外进口美容型和疗效型两种化妆品,分别经过本公司的两条生 产线
16、分装后进行销售, 两种化妆品的标准质量都是 某化妆品公司从国外进口美容型和疗效型两种化妆品,分别经过本公司的两条生 产线分装后进行销售, 两种化妆品的标准质量都是 100 克克/瓶, 误差不超过瓶, 误差不超过5 克克/瓶即视为合 格产品,否则视为不合格产品现随机抽取两种产品各 瓶即视为合 格产品,否则视为不合格产品现随机抽取两种产品各 60 瓶进行检测,检测结果统计如下 :瓶进行检测,检测结果统计如下 : 质量质量/克克90,95)95,100)100,105)105,110 美容型化妆 品 美容型化妆 品/瓶瓶 5222310 疗效型化妆 品 疗效型化妆 品/瓶瓶 5211915 (1)根
17、据上述检测结果,若从这两种化妆品中各任取一瓶,以频率作为概率,分别计算 这两瓶化妆品为合格产品的概率; 根据上述检测结果,若从这两种化妆品中各任取一瓶,以频率作为概率,分别计算 这两瓶化妆品为合格产品的概率; (2)对于一瓶美容型化妆品,若是合格产品,则可获得的利润为对于一瓶美容型化妆品,若是合格产品,则可获得的利润为 a(单位:百元单位:百元),若不是 合格产品,则亏损 ,若不是 合格产品,则亏损 a2(单位:百元单位:百元);对于一瓶疗效型化妆品,若是合格产品,则可获得的利 润为 ;对于一瓶疗效型化妆品,若是合格产品,则可获得的利 润为a(单位:百元单位:百元),若不是合格产品,则亏损,若
18、不是合格产品,则亏损 2a2(单位:百元单位:百元)那么当那么当 a 为何值时,该为何值时,该 35 8 公司各销售一瓶这两种化妆品所获得的利润最大?公司各销售一瓶这两种化妆品所获得的利润最大? 解:解:(1)由表可知,任取一瓶美容型化妆品,其为合格产品的概率为 ;由表可知,任取一瓶美容型化妆品,其为合格产品的概率为 ; 22 23 60 3 4 任取一瓶疗效型化妆品,其为合格产品的概率为任取一瓶疗效型化妆品,其为合格产品的概率为 . 21 19 60 2 3 (2)记记 X 为任意一瓶美容型化妆品和一瓶疗效型化妆品所获得的利润之和,则为任意一瓶美容型化妆品和一瓶疗效型化妆品所获得的利润之和,
19、则 X 的所有 可能取值为 的所有 可能取值为a,a2a2,aa2,3a2, 43 8 35 8 则则 P , , (X 43 8 a) 3 4 2 3 1 2 P(Xa2a2) , , 3 4 1 3 1 4 P , , (X 35 8 a a2) 1 4 2 3 1 6 P(X3a2) , , 1 4 1 3 1 12 所以随机变量所以随机变量 X 的分布列为的分布列为 Xa 43 8 a2a2aa2 35 8 3a2 P 1 2 1 4 1 6 1 12 所以所以 E(X)a (a2a2) (3a2)a2a(a 43 8 1 2 1 4 ( 35 8 a a2) 1 6 1 12 11
20、12 11 3 11 12 2)2, 11 3 所以当所以当 a2 时,时,E(X)取得最大值,取得最大值, 即当即当 a 为为 2 时,该公司各销售一瓶这两种化妆品所获得的利润最大时,该公司各销售一瓶这两种化妆品所获得的利润最大 12(2019 届高三届高三贵阳模拟贵阳模拟)从从 A 地到地到 B 地共有两条路径地共有两条路径 L1和和 L2,经过这两条路径所 用的时间互不影响,且经过 ,经过这两条路径所 用的时间互不影响,且经过 L1和和 L2所用时间的频率分布直方图分别如图所用时间的频率分布直方图分别如图(1)和和(2)现甲选 择 现甲选 择 L1或或 L2在在 40 分钟内从分钟内从
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