2019版高考数学二轮复习课件+训练:专题检测(十三)立体几何中的向量方法理.pdf
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1、专题检测(十三) 立体几何中的向量方法专题检测(十三) 立体几何中的向量方法 A 组大题考点落实练 1.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,A1A底面ABCD,四边形ABCD为菱形,A1A AB2,ABC60 ,E,F分别是BC,A1C的中点 (1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值; (2)点M在线段A1D上,若CM平面AEF,求实数的 A1M A1D 值 解:(1)因为A1A平面ABCD,AE平面ABCD,AD平面ABCD, 所以A1AAE,A1AAD. 在菱形ABCD中,ABC60 ,连接AC, 则ABC是等边三角形 因为E是BC的中点,所以BCAE. 因为BCAD,所以AEAD.
2、 以A为坐标原点,AE为x轴,AD为y轴,AA1为z轴建立如图所 示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),C(,1,0),D(0,2,0),3 A1(0,0,2),E(,0,0),F,3 ( 3 2 ,1 2,1) (0,2,0),AD EF ( 3 2 ,1 2,1) 所以 cos,AD EF | 1 2 2 2 4 所以异面直线EF,AD所成角的余弦值为. 2 4 (2)设M(x,y,z),由于点M在线段A1D上,且, A1M A1D 所以,则(x,y,z2)(0,2,2)A1M A1D 解得M(0,2,22),所以(,21,22)CM 3 设平面AEF的一个法向量为 n(x0,y0,z
3、0) 因为(,0,0),AE 3AF ( 3 2 ,1 2,1) 所以Error!即Error! 取y02,得z01, 则平面AEF的一个法向量为 n(0,2,1) 由于CM平面AEF,则 n0,CM 即 2(21)(22)0,解得 . 2 3 2.(2019 届高三河北三市联考)如图, 三棱柱ADEBCG中, 四边形 ABCD是矩形,F是EG的中点,EAAB,ADAEEF1,平面ABGE 平面ABCD. (1)求证:AF平面FBC; (2)求二面角BFCD的正弦值 解:(1)证明:四边形ABCD是矩形, BCAB, 又平面ABGE平面ABCD, BC平面ABGE, AF平面ABGE, BCA
4、F. 在AFB中,AFBF,AB2,2 AF2BF2AB2, 即AFBF,又BFBCB, AF平面FBC. (2)分别以AD,AB,AE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间 直角坐标系, 则A(0,0,0),D(1,0,0),C(1,2,0),E(0,0,1),B(0,2,0), F(0,1,1), (1,0,1),(0,2,0),DE DC 设 n1(x,y,z)为平面CDEF的法向量, 则Error!即Error! 令x1,得z1,即 n1(1,0,1)为平面CDEF的一个法向量, 取 n2(0,1,1)为平面BCF的一个法向量,AF cosn1,n2 , n 1n 2 | n 1| n 2
5、| 1 2 二面角BFCD的正弦值为. 3 2 3如图,在四棱锥EABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中CDAB, BCAB,侧面ABE平面ABCD, 且ABAEBE2BC2CD2, 动点F 在棱AE上,且EFFA. (1)试探究的值,使CE平面BDF,并给予证明; (2)当1 时,求直线CE与平面BDF所成角的正弦值 解:(1)当 时,CE平面BDF.证明如下: 1 2 连接AC交BD于点G,连接GF, CDAB,AB2CD, , CG GA CD AB 1 2 EFFA, ,GFCE, 1 2 EF FA CG GA 1 2 又CE平面BDF,GF平面BDF, CE平面BDF. (2)取
6、AB的中点O,连接EO,则EOAB, 平面ABE平面ABCD,平面ABE平面ABCDAB, EO平面ABCD, 连接DO,BOCD,且BOCD1, 四边形BODC为平行四边形,BCDO, 又BCAB,ABOD, 则OD,OA,OE两两垂直,以O为坐标原点,OD,OA,OE所在直 线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz, 则O(0,0,0),A(0,1,0),B(0, 1,0),D(1,0,0),C(1, 1, 0), E(0,0,)3 当1 时,有,F,EF FA (0, 1 2, 3 2) (1,1,0),(1,1,)BD BF (0, 3 2, 3 2) CE 3 设平面BD
7、F的法向量为 n(x,y,z), 则Error!即Error! 令z,得y1,x1,3 则 n(1,1,)为平面BDF的一个法向量,3 设直线CE与平面BDF所成的角为, 则 sin |cos,n| ,CE |113| 5 5 1 5 故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为 . 1 5 4 (2018成都一诊)如图, 在边长为 5 的菱形ABCD中,AC6, 现沿对角线AC把ADC 翻折到APC的位置得到四面体PABC,如图所示已知PB4.2 (1)求证:平面PAC平面ABC; (2)若 Q 是线段AP上的点,且,求二面角 QBCA的余弦值AQ 1 3 AP 解:(1)证明:取AC的中点O,连
8、接PO,BO. 四边形ABCD是菱形, PAPC,POAC. DC5,AC6, OC3,POOB4, PB4,2 PO2OB2PB2, POOB. OBACO,PO平面ABC. PO平面PAC,平面PAC平面ABC. (2)ABBC,BOAC. 故OB,OC,OP两两垂直 以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直 角坐标系Oxyz. 则B(4,0,0),C(0,3,0),P(0,0,4),A(0,3,0) 设点 Q(x,y,z) 由,得 Q.AQ 1 3 AP (0,2, 4 3) (4,3,0),.BC BQ (4,2, 4 3) 设 n1(x1,y
9、1,z1)为平面BCQ 的法向量, 由Error!得Error! 取x13,则 n1(3,4,15) 取平面ABC的一个法向量 n2(0,0,1) cosn1,n2, n1n2 |n1|n2| 15 3242152 3 10 10 二面角 QBCA为锐角, 二面角 QBCA的余弦值为. 3 10 10 B 组大题专攻补短练 1.在三棱锥PABC中,PAPBPC2,BC1,AC,ACBC.3 (1)求点B到平面PAC的距离 (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值 解 : (1)以C为坐标原点,CA为x轴,CB为y轴,过C作平面ABC 的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,取AB的中点D,连接PD,
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