2019版高考数学二轮复习课件+训练:专题跟踪检测(十一)立体几何中的向量方法理.pdf
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1、专题跟踪检测(十一) 立体几何中的向量方法专题跟踪检测(十一) 立体几何中的向量方法 1(2018全国卷)如图,边长为 2 的正方形ABCD所在的平面 与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点 (1)证明:平面AMD平面BMC; (2)当三棱锥MABC体积最大时,求平面MAB与平面MCD所成二面 角的正弦值 解 : (1)证明 : 由题设知, 平面CMD平面ABCD, 交线为C D.因为BCCD,BC平面ABCD, 所以BC平面CMD,所以BCDM. 因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径, 所以DMCM. 又BCCMC, 所以DM平面BMC. 因为DM平面AMD, 所以平面AM
2、D平面BMC. (2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向, 建立如图所示的空DA 间直角坐标系Dxyz. 当三棱锥MABC的体积最大时,M为CD的中点 由 题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1), (2,1,1),(0,2,0),(2,0,0),AM AB DA 设 n(x,y,z)是平面MAB的法向量, 则Error!即Error!可取 n(1,0,2), 又是平面MCD的一个法向量,DA 所以 cosn,sinn,.DA n |n| 5 5 DA 2 5 5 所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是. 2 5 5 2.(2018
3、唐山模拟)如图,在四棱锥PABCD中,PC底面ABCD,底面ABCD 是直角梯形,ABAD,ABCD,AB2AD2CD,E是PB的中点 (1)求证:平面EAC平面PBC; (2)若二面角PACE的余弦值为, 求直线PA与平面EAC所成 6 3 角的正弦值 解:(1)证明:因为PC平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACPC. 因为AB2AD2CD, 所以ACBCADCD,22 所以AC2BC2AB2,故ACBC. 又BCPCC,所以AC平面PBC. 因为AC平面EAC, 所以平面EAC平面PBC. (2)如图, 以C为坐标原点, , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,CB CA CP 建立
4、空间直角坐标系, 并设CB2,CP2a(a0) 则C(0,0,0),A(0,2,0), B(2,0,0),P(0,0, 2a), 则E(1,0,a), (0,2,0),(0,0,2a), (1,0,a),CA CP CE 易知 m(1,0,0)为平面PAC的一个法向量 设 n(x,y,z)为平面EAC的法向量, 则Error!即Error! 取xa,则z1,n(a,0,1) 依题意,|cosm,n|, |mn| |m| |n| a a21 6 3 解得a.2 于是 n(,0,1),(0,2,2)2PA 2 设直线PA与平面EAC所成角为, 则 sin |cos,n|.PA |n| |n| 2
5、3 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为. 2 3 3 (2018西安质检)如图, 四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,ACBDO,A1O 底面ABCD,AB2,AA13. (1)证明:平面A1CO平面BB1D1D; (2)若BAD60,求二面角BOB1C的余弦值 解:(1)证明:A1O平面ABCD,BD平面ABCD. A1OBD. 四边形ABCD是菱形, COBD. A1OCOO, BD平面A1CO. BD平面BB1D1D, 平面A1CO平面BB1D1D. (2)A1O平面ABCD,COBD,OB,OC,OA1两两垂直,以O为坐标原点,OB OC 的方向为x轴,y轴,z轴的
6、正方向建立如图所示的空间直角坐标系OA1 AB2,AA13,BAD60, OBOD1,OAOC,3 OA1.AA2 1OA26 则O(0,0,0),B(1,0,0),C(0, ,0),A(0,0),A1(0,0,),336 (1,0,0),(0, ,),OB BB1 AA1 36 (1, ,),(0, ,0)OB1 OB BB1 36OC 3 设平面OBB1的法向量为n(x1,y1,z1), 则Error!即Error! 令y1,得 n(0, ,1)是平面OBB1的一个法向量22 设平面OCB1的法向量 m(x2,y2,z2), 则Error!即Error! 令z21,得 m(,0,1)为平面
7、OCB1的一个法向量,6 cosn,m, nm |n|m| 1 3 7 21 21 由图可知二面角BOB1C是锐二面角, 二面角BOB1C的余弦值为. 21 21 4(2018长春质检)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PA平面ABCD,E 为PD的中点 (1)证明:PB平面ACE; (2)设PA1,ABC60,三棱锥EACD的体积为,求二面角DAEC的余弦值 3 8 解:(1)证明:连接BD交AC于点O,连接OE. 在PBD中,PEDE,BODO,所以PBOE. 又PB平面ACE,OE平面ACE,所以PB平面ACE. (2)由题易知VPABCD2VPACD4VEACD, 3 2
8、 设菱形ABCD的边长为a, 则VPABCDSABCDPA 1, 1 3 1 3(2 3 4 a2) 3 2 解得a.3 取BC的中点为M,连接AM,则AMA D.以点A为坐标原点,分别以,AM AD 的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,AP 则A(0,0,0),E,C, (0, 3 2 ,1 2)( 3 2, 3 2 ,0) ,AE (0, 3 2 ,1 2) AC ( 3 2, 3 2 ,0) 设n1(x,y,z)为平面AEC的法向量, 则Error!即Error! 取x1,则 n1(1,3)为平面AEC的一个法向量3 又易知平面AED的一个法向量为n2(1,0
9、,0), 所以 cosn1,n2, n1n2 |n1|n2| 1 139 13 13 由图易知二面角DAEC为锐二面角, 所以二面角DAEC的余弦值为. 13 13 5.(2018郑州质检)如图,在三棱锥PABC中,平面PAB平面ABC,AB6,BC 2,AC2,D,E分别为线段AB,BC上的点,且AD2DB,CE2EB,PDAC.36 (1)求证:PD平面ABC; (2)若直线PA与平面ABC所成的角为45,求平面PAC与平面PDE所成锐 二面角的大小 解:(1)证明:AC2,BC2,AB6,63 AC2BC2AB2,ACB90, cosABC. 2 3 6 3 3 易知BD2, CD222
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