2019版高考数学二轮复习课件+训练:专题跟踪检测(十四)圆锥曲线的综合问题理.pdf
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1、专题跟踪检测(十四) 圆锥曲线的综合问题专题跟踪检测(十四) 圆锥曲线的综合问题 1(2018武汉调研)已知抛物线C:x22py(p0)和定点M(0,1),设过点M的动直线 交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N. (1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值; (2)若ABN的面积的最小值为 4,求抛物线C的方程 解:设直线AB:ykx1,A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p0, 则x1x22pk,x1x22p. (1)由x22py得y ,则A,B处的切线斜率的乘积为 , x p x1x2 p2 2 p 点N在以AB为直径
2、的圆上, ANBN, 1,p2. 2 p (2)易得直线AN:yy1(xx1), x1 p 直线BN:yy2(xx2), x2 p 联立Error!结合式, 解得Error!即N(pk,1) 所以|AB|x2x1|1k2 1k2x1x224x1x2 ,1k24p2k28p 点N到直线AB的距离d, |pk22| 1k2 则SABN |AB|d2, 1 2 ppk2232p 当k0 时,取等号, ABN的面积的最小值为 4, 24,p2,2p 故抛物线C的方程为x24y. 2 (2019 届高三河北 “五个一名校联盟” 模拟)在平面直角坐标系xOy中, 已知椭圆C: y21,点P(x1,y1),
3、Q(x2,y2)是椭圆C上两个动点,直线OP,OQ的斜率分别为k1,k2, x2 4 若m,n,mn0. ( x1 2 ,y1) ( x2 2 ,y2) (1)求证:k1k2 ; 1 4 (2)试探求POQ的面积S是否为定值,并说明理由 解:(1)证明:k1,k2存在,x1x20, mn0,y1y20, x1x2 4 k1k2 . y1y2 x1x2 1 4 (2)当直线PQ的斜率不存在, 即x1x2,y1y2时, 由 ,得y0, y1y2 x1x2 1 4 x2 1 4 2 1 又由P(x1,y1)在椭圆上, 得y1, x2 1 4 2 1 |x1|,|y1|,2 2 2 SPOQ |x1|
4、y1y2|1. 1 2 当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为ykxb(b0) 由Error!得(4k21)x28kbx4b240, 64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)0, x1x2,x1x2. 8kb 4k21 4b24 4k21 y1y20, x1x2 4 (kx1b)(kx2b)0, x1x2 4 得 2b24k21,满足0. SPOQ |PQ| 1 2 |b| 1k2 |b| 1 2 x1x224x1x2 2|b|1. 4k21b2 4k21 POQ的面积S为定值 3.(2018长春质检)如图, 在矩形ABCD中, |AB|4, |AD|2,O为AB 的中点
5、,P,Q分别是AD和CD上的点,且满足,直线AQ |AP| |AD| |DQ| |DC| 与BP的交点在椭圆E:1(ab0)上 x2 a2 y2 b2 (1)求椭圆E的方程; (2)设R为椭圆E的右顶点,M为椭圆E第一象限部分上一点,作MN垂直于y轴,垂足 为N,求梯形ORMN面积的最大值 解:(1)设AQ与BP的交点为G(x,y),P(2,y1),Q(x1,2), 由题可知,. y1 2 x12 4 kAGkAQ,kBGkBP, , y x2 2 x12 y x2 y1 4 从而有 ,整理得y21, y2 x24 y1 2x12 1 4 x2 4 即椭圆E的方程为y21. x2 4 (2)由
6、(1)知R(2,0),设M(x0,y0),则y0, 1 2 4x2 0 从而梯形ORMN的面积S (2x0)y0, 1 2 1 4 4x2 02x02 令t2x0,则 20,u4t3t4单调递增, 当t(3,4)时,u0), 直线xmy3 与E交于A,B两点, 且6,OA OB 其中O为坐标原点 (1)求抛物线E的方程; (2)已知点C的坐标为(3,0),记直线CA,CB的斜率分别为k1,k2,证明 :2m2 1 k2 1 1 k2 2 为定值 解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立Error!消去x,整理得y22pmy6p0, 则y1y22pm,y1y26p,x1x29, y
7、1y22 4p2 由x1x2y1y296p6,OA OB 解得p ,所以y2x. 1 2 (2)证明:由题意得k1, y1 x13 y1 my16 k2, y2 x23 y2 my26 所以m,m, 1 k1 6 y1 1 k2 6 y2 所以2m2 222m2 1 k2 1 1 k2 2 (m 6 y1)(m 6 y2) 2m212m362m2 ( 1 y1 1 y2)( 1 y2 1 1 y2 2) 12m36. y1y2 y1y2 y1y222y1y2 y2 1y2 2 由(1)可知:y1y22pmm,y1y26p3, 所以2m212m3624, 1 k2 1 1 k2 2 ( m 3)
8、 m26 9 所以2m2为定值 1 k2 1 1 k2 2 5(2018惠州调研)已知C为圆(x1)2y28 的圆心,P是圆上的动点,点Q在圆 的半径CP上,且有点A(1,0)和AP上的点M,满足0,2.MQ AP AP AM (1)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程; (2)若斜率为k的直线l与圆x2y21相切, 与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F, H,O是坐标原点,且 ,求k的取值范围 3 4 OF OH 4 5 解:(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线, 所以|CP|QC|QP|QC|QA|2|CA|2,2 所以点Q的轨迹是以点C,A为焦点,焦距为 2,长轴长为 2的椭圆,
9、2 所以a,c1,b1,2a2c2 故点Q的轨迹方程是y21. x2 2 (2)设直线l:ykxt,F(x1,y1),H(x2,y2), 直线l与圆x2y21 相切1t2k21. |t| k21 联立Error!(12k2)x24ktx2t220, 则16k2t24(12k2)(2t22)8(2k2t21)8k20k0, x1x2,x1x2, 4kt 12k2 2t22 12k2 所以x1x2y1y2OF OH (1k2)x1x2kt(x1x2)t2 ktt2 1k22t22 12k2 4kt 12k2 k21 1k22k2 12k2 4k2k21 12k2 , 1k2 12k2 所以 k2
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