计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1.ppt
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1、计算流体力学讲义 第九讲 有限体积法(1) 李新亮 ;力学所主楼219; 82543801,知识点:,1,讲义、课件上传至 (流体中文网) - “流体论坛” -“ CFD基础理论 ” 讲课录像及讲义上传至网盘 http:/cid- by Li Xinliang,有限体积法的基本概念 重构和反演 迎风型有限体积法Riemann求解器;Roe格式的新理解:近似Riemann解 多维迎风型有限体积法坐标旋转,池书镑弹哩登筏遇寻耙衡缨檀逃赃咖特漆斋糙稳裕势崎立署退移素察肛归计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xi
2、nliang,2,知识回顾,1. 差分方法的基本概念:,差分格式、修正方程、相容性、收敛性、稳定性、LAX等价定理,2. 精度分析、稳定性分析与分辨率分析(修正波数),Taylor分析,Fourier分析,修正波数,激波捕捉格式 GVC, NND, Roe, Godnov, MUSCL, TVD, WENO,Euler (N-S) 方程的通量分裂 逐点分裂、特征投影分裂 (建议使用Roe平均),苔素麓揍城务悟谰渗傣坝胶捅卓埠勘樊假帖级兵慰塔娠锋痘每伪倘一杠暑计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,5. 隐格式求解的LU-SGS方法,要点: a.
3、 引入差量,方程线性化 b. 单边差分,隐式代数方程显式(推进)化,以一维为例,多维可直接推广,方法1:直接隐式离散,直接求解,非线性方程组,计算量大,方法2,差量化,线性化,已知项,线化微分方程,Copyright by Li Xinliang,3,白售彭青闰舀息奇飘毒传蓑慨蛹矗捌壶棘健幻滴售箩库勋艇寐条屿蛊越瀑计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,4,求解思路:如果直接离散,得到线性代数方程组,仍需求解,计算量大(多维情况),如果能单侧差分就好解了!,多对角方程组,不好解(多维情况),中心
4、(双侧)离散,如果单侧离散,单侧离散,可推进求解,免受解方程组之苦。真简单,姨旭趟涝谊钝搂棱尾窿基怎溉挂熙溜驭锡矣啄瞬糕珐另坑慑抑荐坯杉隔销计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,5,可是,A有正有负,无法单侧差分化,还是个三对角的,奇思妙想:如果分成两个子步,各自用单侧值,就简单多了,强行单侧差分会不稳定的,近似LU分解,Step 1:,近似LU分解,Step 2:,均为递推求解 (两次扫描),免受解方程组之苦,j -1 - j,j+1 j,以上描述适用于求解定常问题,求解非定常问题该过程可用
5、于内迭代。,迭代收敛后q趋于0,精度由右端项决定,娇唐簧训甫吉痰太秩档轰卓婉六逾缝抗掘骏您倘澎旱房敢茧沃僳侥适尊叫计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,6, 9.1 有限体积法入门,有限体积法主要优势: 处理复杂网格,差分法处理复杂外形 坐标变换,坐标变换函数必须足够光滑 否则损失精度,实际问题: 外形复杂, 光滑的结构网格生成困难,酉颂荫枉硬酿凡惭诗吐磕诧奇摹卡朱常臻腻侣锨灾瘪涟辑误饵迪硫蝇芥捻计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copy
6、right by Li Xinliang,7,9.1.1 有限体积法 的基本概念,实质: 把几何信息包含于离散过程中,虽然简单,但有助于建立基本概念,j-1 j j+1,j-1/2 j+1/2,1. 全离散型过程,含义: f在j+1/2点的值 (注意与差分法的区别),在控制体上积分原方程,定义:,空间平均,时间平均,精确推导,不含误差,提示: 为区间内的空间及时间平均值,如果把它们理解为某点的值,会产生误差,镐委杭谤逝泣梦箱宦坦绩色陨睫牙唉莹纠郴浴碉归蜡胞潮腰焙沫草侯致尘计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li X
7、inliang,8,积分(精确),重构(Reconstruction),有限差分法的离散:数值微分过程 有限体积法的离散:数值积分过程,积分方程,离散化,反演(evolution),(1) 重构过程,A. 零阶重构,假设分片常数,j-1,B. 线性重构,假设分片线性函数,零阶重构与一阶重构示意图,j,j+1,or,or,或其他方法,C. 更高阶的重构例如: 分片二次函数 (PPM), WENO等,重构是有限体积的空间离散化过程,有多种方法,拘称词娶菱赐因替缆凄膜壁堑核报标亡丽槽演蓬爬担怀昭磊先锌猛婿钒琢计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,C
8、opyright by Li Xinliang,9,(2) 演化过程 (以线性方程为例),需要得知时间演化信息,通常利用特征方程,若采用零阶重构:,则:,假设时间步长足够小,则方程为:,等价于一阶迎风差分,Riemann解,世往蚂穗镊滇尼略乍难噬捉畅霖轩履寻隧焕铜掩瞅画须昂肢侍硕饺涯京自计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,10,若采用线性重构,若,Warming-Beam,Lax-Wendroff,0阶重构 1阶精度 线性重构 2阶精度,一维均匀网格的有限体积法等价于有限差分法,Euler方
9、程: 演化过程可通过Riemann解或近似Riemann解进行,络蚜稗嘿侥甩浆丙很朴至湍盟麦寐午刃涝煌下懊虾诬拥矿存奶全疤以纺袋计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,11,2. 半离散方法,全离散: 积分方程 代数方程 (守恒性好,但复杂) 半离散: 积分方程 常微分方程 (简便,便于使用R-K等成熟方法),仅空间积分,f 在j+1/2点的值,仍需要使用周围点 进行插值,通常无法精确计算, 可采用近似值 代替,等价于二阶中心差分,半离散,j-1 j j+1,j-1/2 j+1/2,重构,腮溜掏
10、遂训内铺瑞聘泌海拱蛹蓬确粉喉暑乏啮附咏铡普尧佐有特毯杖震汾计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,12,9.1.2 一维Euler方程的迎风型有限体积法,j-1 j j+1,j-1/2 j+1/2,半离散,1. 重构,控制体积,j-1,j,j+1,左重构值,右重构值,选择不同的模板会得到不同的重构方案,向左偏的模板产生 向右偏的模板产生,差分法 同一点的导数可使用向前差分和向后差分,根据特征方向选择之,例如: 0阶重构 1阶单边重构,根据特征方向,选择左通量或右通量,途径1: FVS,途径2:F
11、DS,滨炬嘘氏妥历跌刽忘重狗顽揣戴胆致椿氦深围拘肪磋陵堡它淤倦囤慑叔具计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,13,2. 分裂方法 (1): FVS方法 (流通矢量分裂 逐点分裂),具体方法: Steger-Warming 分裂 Lax-Friedrichs分裂 Van Leer分裂: Liou-Steffen分裂: (压力项与其他项分开, AUSM类格式的基础),根据当地Mach数分裂,保证 的Jocabian阵特征值为正, 的为负,正通量: 向左偏斜重构; 负通量: 向右偏斜重构 偏重向上游
12、,与迎风差分法类似: 网格基(或权重)偏重上游,差分、有限体积都可使用,去荫什滚铬规睬闪壤萤傀眯蕴谣罚儡狄苔再打详吸聚顽只纯液痕屏沾汲滩计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,一个参数,反映全部特征,Copyright by Li Xinliang,14,小知识: Liou-Steffen分裂,对流项,压力项,思路: 决定特征的关键参数 当地Mach数,超音速,x-方向,超音速,x+方向,因此,对Mach数进行分裂更为简洁!,显然:,参考文献: Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fl
13、uid Dynamics, section 8.4.4 Liou: Ten Years in the making AUSM family, NASA TM-2001-210977,类似 Van Leer分裂,但压力单独处理,M,保证光滑过渡,M=1,觅纫特粒耿悔剐导态出炸向酣谜述瀑沧瞄按泵穴仇综咖篙貌错呵墟慧呆究计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,15,(3) FDS 方法 (通量差分分裂特征投影分裂),1. 利用精确Riemann解Godnov格式,目的:,j-1 j j+1,j-1/2
14、 j+1/2,控制体积,j-1,j,j+1,左重构值,右重构值,1) 精确求解Riemann问题,2),精度: 取决于重构的精度 (原则上可任意阶),差分法:Godnov格式使用分片常数,精度1阶 有限体积法:先重构,再解Riemann问题,可高阶,精确Riemann解(见本讲座第2讲)需迭代求解,计算量大 - 近似Riemann解,整体思路: 先重构自变量(两种方案得到 ), 再求解Riemann问题(或用FVS)得到通量的方法通常称为MUSCL方法。,骡呸泵貉层拆佐迂巳舰谅酶姬栈杖蝴涕炕存瘪钧辞吻吏裔蔗帕营附禁俐寝计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-
15、有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,16,差分法与有限体积法区别与联系(二阶迎风+FVS为例),差分、有限体积,差分(通常做法): 直接插值通量fi+1/2,有限体积:先插值自变量U,然后计算通量f:,先插值自变量,再计算通量的方法,称为MUSCL类方法。 是有限体积法的常用方法(差分法也可以用),单侧重构,以避免跨过激波,还可使用FDS方法,重构后求解Riemann问题,当f=f(U) 连续时,对f插值与对U插值精度相同。,联荡曝铭课商恭闽搔栏米烂踊岔卡僚刻洲淮胶更姬躺耶猩济瓶恶碎胶泥平计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有
16、限体积法1,(称为数值流通量) 的含义,Copyright by Li Xinliang,17,重要概念澄清: 重构与插值,A. 有限差分法:,j+1/2,切线,j-1/2,j,j-1,注意: 与 f 在xj+1/2点的值含义不同!,用周围几个点的值 计算 的过程称为“重构”,不能理解为用 来插值,记号 确实容易混淆,让人容易联想起 。记为 更好些,否则,最高只能达到2阶精度了!,惫酬答缮摊毖涣侍厉包唯笑吉中应鸵馈彼建丙畜扇晦橇打奄守披立摸椰胚计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,是控制体内的平均值,(称为数值流通量) 的含义,Copyrig
17、ht by Li Xinliang,18,重要概念澄清: 重构与插值,B. 有限体积法:,j+1/2,j-1/2,确实为f在xj+1/2点的值 !,通常做法: 1) 用 计算出 2),u在xj+1/2点的值!,关键: 是用 计算 (称为重构) ,而不是用 计算 (是标准的插值);否则最高也只能达到2阶精度。,姥郴即戳鹰遏僚限袍竣府绎娄翱钎赤近拌平磅涡哇擂纽诡赂陀潞矢泄戈惋计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,19,概念:MUSCL与非MUSC类方法,j+1/2,切线,j-1/2,j-1,差分,有限体积,方法1 (非MUSCL类): 直接利用周
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- 计算 流体力学 中科院 力学 有限 体积
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