江苏省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备五解题模板给力学案2.pdf
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1、必备五 解题模板给力必备五 解题模板给力 模板一 函数性质的应用 典型例题 例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当x0,1)时,f(x)=2x- 1,则 f(lo 6)的值是 . g1 2 答案 - 1 2 解析 因为-30,f(3)=20.12-50.由于 f(1)f(2)0,0 的情况;(3)将 x+ 视为一个整体.解题 思路: 跟踪集训 3.已知函数 f(x)=2asinxcosx+asin2x-acos2x+b(a,bR).3 (1)若 a0,求函数 f(x)的单调增区间; (2)当 x时,函数 f(x)的最大值为 3,最小值为 1-,求 ab 的值
2、.- 4, 4 3 模板四 解三角形 典型例题 例 4 如图,在ABC 中,已知 AC=7,B=45,D 是边 AB 上的一点,AD=3,ADC=120.求: (1)CD 的长; (2)ABC 的面积. 解析 (1)在ACD 中,AC=7,AD=3,ADC=120,(定已知) 由余弦定理得 AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC,(选定理) 72=32+CD2-23CDcos120,解得 CD=5.(得结论) (2)在BCD 中,B=45,CD=5,(定已知) 由正弦定理得=,(选定理) BD sinBCD CD sinB BD sin75 5 sin45 解得 BD=,(得结论) 5
3、 + 53 2 所以 SABC=SACD+SBCD= ADCDsinADC+ CDBDsinBDC= 35sin120+ 5 1 2 1 2 1 2 1 2 5 + 53 2 sin60=. 75 + 553 8 模板构建 利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形边角之间的互化,当已知三角形中的两边 及其一边的对角,或两角及其一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;若已知三边或两 边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下: 跟踪集训 4.(2018 江苏淮海中学模拟)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a2=b2+c2-bc,a=b. 15 2
4、(1)求 sinB 的值; (2)求 cos的值.(C + 12) 模板五 利用函数性质解不等式 典型例题 例 5 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f(x)满足 f(-2)=9,且 f(x)的导数 f(x)在0,+)上恒有 f(x)2.(巧转化) 解得 x2. 所以不等式 f(x)0 时,xf(x)-f(x)0 成立的 x 的取值范围是 . 模板六 基本不等式的应用 典型例题 例 6 设 x,y 是正实数,且 x+y=1,则+的最小值是 . x2 x + 2 y2 y + 1 答案 1 4 解析 设 x+2=s,y+1=t,则 s+t=4,(换元) 所以+=+=+ x2 x + 2 y2 y
5、 + 1 (s - 2)2 s (t - 1)2 t (s - 4 + 4 s) (t - 2 + 1 t) =-2,(巧拼凑)( 4 s + 1 t) 因为 + =(s+t)= ,当且仅当 t= ,s= ,即 x= ,y= 时,取等号,(得定值) 4 s 1 t 1 4( 4 s + 1 t) 1 4( 4t s + s t + 5) 9 4 4 3 8 3 2 3 1 3 所以+ ,即+的最小值是 .(得结论) x2 x + 2 y2 y + 1 1 4 x2 x + 2 y2 y + 1 1 4 模板构建 拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积 为定值
6、的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下: 跟踪集训 6.(2018 江苏盐城中学高三考前热身)已知正实数 a,b 满足+=1,则 3a+2b 的最小值为 . 1 a + b 1 a - b 模板七 不等式恒成立问题 典型例题 例 7 已知 x0,y0,且 + =1,若 x+2y-(m2+2m)0 恒成立,则实数 m 的取值范围为 . 2 x 1 y 答案 (-4,2) 解析 记 t=x+2y,由原不等式恒成立可得 m2+2m0,y0,所以 + 2=4 当且仅当 = ,即 2 x 1 y ( 2 x + 1 y) 4y x x y 4y x x y 4y x x y 4y
7、 x x y x=2y 时等号成立 . 所以 t=4+ + 4+4=8,即 tmin=8.(求最值) 4y x x y 故 m2+2m0)上恰有两点 M,N,使得MAB 和 NAB 的面积均为 4,则 r 的取值范围是 . 模板十二 圆锥曲线中的最值与范围问题 典型例题 例 12 平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为,且点在椭圆 C 上. x2 a2 y2 b2 3 2 ( 3, 1 2) (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 E:+=1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E 于 A,B 两点,射线 PO x2 4a2
8、y2 4b2 交椭圆 E 于点 Q. 求的值; |OQ| |OP| 求ABQ 面积的最大值. 解析 (1)将代入椭圆方程,有 +=1,又e= =,解得a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程( 3, 1 2) 3 a2 1 4b2 c a a2- b2 a 3 2 为 +y2=1. x2 4 (2)由(1)知椭圆 E 的方程为 + =1. x2 16 y2 4 设 P(x0,y0),=(0),由题意知 Q(-x0,-y0). |OQ| |OP| 因为 +=1,+=1,即=1, x20 4 y20 ( - x0)2 16 ( - y0)2 4 2 4( x20 4 + y20) 所以 =2 或 =-
9、2(舍去),即=2. |OQ| |OP| 设 A(x1,y1),B(x2,y2),(设点) 将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,(联立方程) 由 0,可得 m20 等).解题步骤如下: 跟踪集训 12.(2018 江苏南通模拟)已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为,短轴端点到焦点的距离为 2. x2 a2 y2 b2 3 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 A、B 是椭圆 C 上的任意两点,O 是坐标原点,且 OA 垂直 OB. 求证:存在一个定圆,使得直线 AB 始终为该定圆的切线,并求出该定圆的方程; 求AOB 面积的
10、最大值. 模板十三 圆锥曲线中的探索性问题 典型例题 例 13 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y= 与直线 l:y=kx+a(a0)交于 M,N 两点. x2 4 (1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (2)在 y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变化时,总有OPM=OPN?说明理由. 解析 (1)由题设可得 M(2,a),N(-2,a)或 M(-2,a),N(2,a).aaaa 对于 y= ,因为 y= x,所以 y= 在 x=2处的导数值为,在 x=-2处的导数值为-, x2 4 1 2 x2 4 aaaa 所以曲线C在(2,a)处的切线方程为y-a=(
11、x-2),即x-y-a=0,在(-2,a)处的切线方程aaaaa 为 y-a=-(x+2),即x+y+a=0.aaa 故所求切线方程为x-y-a=0 和x+y+a=0.aa (2)假设存在符合题意的点 P(0,b),(假设存在) 设 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2. 将 y=kx+a 代入曲线 C 的方程,整理得 x2-4kx-4a=0,(联立方程) 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4a, 所以 k1+k2=+=. y1- b x1 y2- b x2 2kx1x2+ (a - b)(x1+ x2) x1x2 k(a + b) a 当 b=-a
12、 时,有 k1+k2=0, 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故OPM=OPN,所以存在点 P(0,-a)符合题意.(得出结论) 模板构建 圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现,常用假设存在法求解,其解 题要点如下: 跟踪集训 13.(2018 江苏兴化一中模拟)椭圆 M: + =1(ab0)的离心率为,点 P(0,2)关于直线 y=-x 的对称点在 x2 a2 y2 b2 3 2 椭圆 M 上. (1)求椭圆 M 的方程; (2)如图,椭圆 M 的上、下顶点分别为 A、B,过点 P 的直线 l 与椭圆 M 相交于两个不同的点 C,D. 求的取值范围;OCOD
13、当 AD 与 BC 相交于点 Q 时,试问:点 Q 的纵坐标是不是定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由. 模板十四 应用性问题 典型例题 例 14 (2018 江苏淮阴中学阶段检测)如图所示,江苏省淮阴中学有一块矩形空地 ABCD,其中 AB=10 米,BC=10米,计划在此矩形空地区域内为学生建灯光运动场,BEF 区域内安装一批照明灯(E,F 点在3 线段 AC 上),且EBF=30,BEF 外其余区域建运动场. (1)若 E 在距离 A 点 4 米处,求点 E,F 之间的距离; (2)为了使运动场地区域最大化,要求BEF 面积应尽可能地小,记ABE=,请用 表示BEF 的面积 S(),
14、当 S()最小时,求 的值. 解析 (1)由题意得BAC=60,ACB=30,AC=20 米. BFE=BCF+CBF=30+CBF, ABE=ABC-EBF-CBF=90-30-CBF, BFE+ABE=90. ABE 中,由余弦定理得 BE=2米.19 cosABE=, 419 19 BEF 中,=, EF sin30 BE sinBFE BE cosABE EF= 米. BE 2cosABE 19 4 (2)ABE 中,=,则 BE=. BE sin60 AB sin180 - ( + 60) 10 sin( + 60) 53 sin( + 60) BCF 中,=,则 BF=米. BF
15、sin30 BC sin(60 + + 30) 103 sin( + 90) 53 cos S()= BEBFsin30=. 1 2 75 4cossin( + 60) 75 3 + 2sin(2 + 60) (0,60),当 2+60=90,即 =15时,S()最小. 答:当 =15时,三角形 BEF 的面积最小. 模板构建 跟踪集训 14.(2018 江苏兴化一中模拟)某公司拟购买一块地皮建休闲公园,如图,从公园入口 A 沿 AB,AC 方向修建 两条小路,休息亭 P 与入口的距离为 3a 米(其中 a 为正常数),过 P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带,2 步行带交两条小路于 E、F 处
16、,已知BAP=45,tanCAB= . 12 5 (1)设 AE=x 米,AF=y 米,求 y 关于 x 的函数关系式及定义域; (2)试确定 E,F 的位置,使三条路围成的三角形 AEF 地皮购价最低. 模板十五 求空间角(理科专用) 典型例题 例 15 (2018 江苏徐州铜山中学期中)如图,在三棱锥 A-BOC 中,AO,OB,OC 两两互相垂直,点 D,E 分别 为棱 BC,AC 的中点,F 在棱 AO 上,且满足 OF= OA,已知 OA=OC=4,OB=2. 1 4 (1)求异面直线 AD 与 OC 所成角的余弦值; (2)求二面角 C-EF-D 的正弦值. 解析 (1)如图,以
17、O 为原点,分别以,的方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.OB OC OA 依题意可得:O(0,0,0),A(0,0,4),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),E(0,2,2),F(0,0,1), 所以=(1,2,-4),=(0,4,0),ADOC 所以 cos=.AD OC ADOC |AD|OC| 8 421 221 21 因此异面直线 AD 与 OC 所成角的余弦值为. 221 21 (2)平面 AOC 的一个法向量为=(2,0,0).OB 设 m=(x,y,z)为平面 DEF 的一个法向量, 又=(0,-2,-1),=(-1,0,2),EFDE 则
18、即 mEF = 0, mDE = 0, 2y + z = 0, x - 2z = 0. 不妨取 z=2,则 x=4,y=-1, 所以 m=(4,-1,2)为平面 DEF 的一个法向量, 从而 cos=,OB OBm |OB|m| (2,0,0)(4, - 1,2) 2 21 421 21 设二面角 C-EF-D 的大小为 ,则|cos|=. 421 21 因为 0,所以 sin=.1 - cos2 105 21 因此二面角 C-EF-D 的正弦值为. 105 21 模板构建 空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特 征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空
19、间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化, 具体步骤如下: 跟踪集训 15.(2018 南京、盐城一模)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,AC 与 BD 交于点 O,OP底面 ABCD, 点 M 为 PC 的中点,AC=4,BD=2,OP=4. (1)求直线 AP 与 BM 所成角的余弦值; (2)求平面 ABM 与平面 PAC 所成锐二面角的余弦值. 模板十六 离散型随机变量 典型例题 例 16 现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲
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