2018_2019学年高中数学第一章三角函数6余弦函数的图像与性质学案北师大版必修4.pdf
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1、6 余弦函数的图像与性质6 余弦函数的图像与性质 内容要求 1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2.理解“五点法”作出余弦函数的图像 (重点).3.掌握余弦函数的图像性质及其运用(难点) 知识点 1 余弦函数的图像 余弦函数ycos x(xR R)的图像叫余弦曲线 根据诱导公式 sincos x,xR R.只需把正弦函数ysin x,xR R 的图像向左平移 (x 2) 个单位长度即可得到余弦函数图像(如图) 2 要画出ycos x,x0,2的图像,可以通过描出(0,1),(,1), ( 2 ,0) ( 3 2,0) (2,1)五个关键点,再用光滑曲线将它们连接起来,就可以得到余弦函数y c
2、os x,x0,2的图像 【预习评价】 (正确的打“” ,错误的打“”) (1)余弦函数ycos x的图像可以向左、向右无限伸展() (2)ycos x 的图像与ysin x的形状完全一样,只是位置不同() (3)ycos x的图像与x轴有无数个交点() (4)ycos x的图像关于y轴对称() 知识点 2 余弦函数的性质 函数ycos x 定义域R R 值域1,1 奇偶性偶函数 周期性2 为最小正周期 单调性 当x2k,2k(kZ Z)时,递增; 当x2k,2k(kZ Z)时,递减 最大值与最小值 当x2k(kZ Z)时,最大值为 1; 当x2k(kZ Z)时,最小值为1 【预习评价】 (正
3、确的打“” ,错误的打“”) (1)ycos x的最小正周期为 2.() (2)函数ycos x在区间0,上是增函数() 2 (3)函数ysin(x)的图像关于x0 对称() 2 (4)函数ysin(x)是奇函数() 2 题型一 余弦函数的图像及应用 【例 1】 画出ycos x(xR R)的简图,并根据图像写出: (1)y 时x的集合; 1 2 (2) y时x的集合 1 2 3 2 解 用“五点法”作出ycos x的简图 (1)过点作x轴的平行线, 从图像中看出 : 在, 区间与余弦曲线交于, (0, 1 2)( 3 ,1 2) 点,在,区间内,y 时,x的集合为. ( 3 ,1 2) 1
4、2x| 3 x 3 当xR R 时,若y , 1 2 则x的集合为Error!. (2)过,点分别作x轴的平行线,从图像中看出它们分别与余弦曲线交于 (0, 1 2)(0, 3 2) ,k Z Z,k Z Z 点 和,k Z Z, ( 2 3 2k,1 2)( 2 3 2k,1 2)( 6 2k, 3 2) ,kZ Z 点,那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求, ( 6 2k, 3 2) 即当 y时x的集合为: 1 2 3 2 Error!或 Error!. 规律方法 “五点法”画函数图像的三个步骤 【训练 1】 (1)函数ycos 2x,x0,2的简图是( ) 解析 由2x
5、0, , , 2可得五点, 描图知, A为x0, 上的简图 ; D为x0,2 2 3 2 上的简图 答案 D (2)作出函数y1 cos x在2,2上的图像 1 3 解 列表: x0 2 3 2 2 ycos x10101 y1 cos x 1 3 2 3 1 4 3 1 2 3 作出y1 cos x在x0,2上的图像由于该函数为偶函数,作关于y轴对称的图 1 3 像从而得出y1 cos x在x2,2上的图像 1 3 题型二 余弦函数的性质 【例 2】 已知f(x)2cos x. (1)判断函数的奇偶性; (2)求函数的单调区间; (3)求函数的最小正周期 解 (1)f(x)2cos x的定义
6、域为 R R 且f(x)f(x), 函数f(x)2cos x为偶函数 (2)ycos x在2k,2k(kZ Z)上是增加的,在2k,2k(kZ Z)上是减 少的, y2cos x的单调递增区间为2k, 2k(kZ Z), 单调递减区间为2 k, 2 k ( kZ Z) (3)由 cos x的周期性知y2cos x的最小正周期为 2. 规律方法 对于余弦函数的性质, 要善于结合余弦函数图像并类比正弦函数的相关性质进行 记忆,其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致 【训练 2】 (1)求函数y1 cos x的单调区间; 1 2 (2)比较 cos与 cos的大小 ( 7) 18 7 解 (
7、1) 0, 1 2 y1 cos x的单调性与ycos x的单调性相反 1 2 ycos x的单调增区间是2k,2k(kZ Z),减区间是2k,2k(kZ Z) y1 cos x的单调减区间是2k, 2k(kZ Z), 增区间是2k, 2k(k 1 2 Z Z) (2)coscoscos. 18 7(2 4 7) 4 7 coscos. ( 7) 7 又 0, 7 4 7 且函数ycos x在0,上是减少的, coscos,即 coscos. 7 4 7 18 7( 7) 【例 3】 函数ycos2xcos x的值域为_ 解析 y 2 . (cos x 1 2) 1 4 因为1cos x1,
8、所以当 cos x 时,ymax . 1 2 1 4 当 cos x1 时,ymin2. 所以函数ycos2xcos x的值域是. 2, 1 4 答案 2,1 4 【迁移 1】 求本例中x时函数的值域 0, 3 解 y 2 , (cos x 1 2) 1 4 因为x,所以 cos x1. 0, 3 1 2 所以当 cos x 时ymax , 1 2 1 4 cos x1 时ymin0, 原函数的值域为0, 1 4 【迁移 2】 求本例中x时函数的值域 2 , 3 解 由x,所以 0cos x1, 2 , 3 此时函数ycos2xcos x的值域也为. 0, 1 4 【迁移 3】 若将本例改为已
9、知函数yabcos x的值域为,求ab的值 1 2, 3 2 解 函数yabcos x的最大值是 ,最小值是 . 3 2 1 2 当b0 时,由题意得: Error!Error! ab . 1 2 当b0 时,由题意得: Error!Error! ab . 1 2 综上所述,ab . 1 2 规律方法 与正弦函数、余弦函数有关的函数值域求法 (1)利用 sin x,cos x的有界性 (2)利用 sin x,cos x的单调性 (3)化为 sin xf(x)或 cos xf(x),利用|f(y)|1 来确定 (4)通过换元转化为二次函数. 课堂达标 1下列函数中,不是周期函数的是( ) Ay|
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