2018_2019学年高中数学第一章三角函数8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(一)学案北师大版必修4.pdf
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1、8 函数yAsin(x)的图像与性质(一)8 函数yAsin(x)的图像与性质(一) 内容要求 1.结合具体实例, 了解yAsin(x) 的实际意义(重点).2.能借助计算器或 计算机画出yAsin(x)的图像,观察参数A,、对函数图像变化的影响(难点) 知识点 1 振幅变换 (1)在函数yAsin x(A0)中,A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值, 通常称 A为振幅 (2)要得到函数yAsin x(A0,A1)的图像,只要将函数ysin x的图像上所有点的纵 坐标伸长(当A1 时)或缩短(当 0A1 时)到原来的A倍(横坐标不变)即可得到 【预习评价】 (1)函数y2sin的最大值为
2、_最小值为_ (x 4) 答案 2 2 (2)函数y cos x取得最大值时的x的集合为_ 1 2 答案 x|x2k,kZ Z 知识点 2 相位变换 (1)在函数ysin(x)中,决定了x0 时的函数值, 通常称为初相,x为相位 (2)对于函数ysin(x)(0)的图像,可以看作是把ysin x的图像上所有的点向 左(当0 时)或向右(当0 时)平行移动|个单位长度得到的 【预习评价】 (1)如何由ysin x的图像变换为ysin的图像? (x 4) 提示 向左平移个单位长度 4 (2)如何由ysin的图像变换为ysin x的图像? (x 3) 提示 向右平移个单位长度 3 知识点 3 周期变
3、换 (1)在函数ysin x(0)中,决定了函数的周期T, 通常称周期的倒数f 2 1 T 为频率 2 (2)对于函数ysin x(0,1)的图像,可以看作是把ysin x的图像上所有点的 横坐标缩短(当1 时)或伸长(当 01 时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的 1 【预习评价】 1函数y2sin的周期、振幅依次是( ) ( x 2 5) A4,2B4,2 C,2D,2 答案 B 2若函数y3sin x的最小正周期为 ,则_. 答案 2 题型一 五点作图法 【例 1】 用五点法作函数y3sin的简图,并指出这个函数的振幅、周期、频率 ( 1 2x 4) 和初相 解 (1)列表: x 2 3
4、 2 5 2 7 2 9 2 x 1 2 4 0 2 3 2 2 y03030 (2)描点:在直角坐标系中描出点,. ( 2 ,0) (3 2 ,3) (5 2 ,0) (7 2 ,3) (9 2 ,0) (3)连线:将所得五点用光滑的曲线连起来,如图所示 (4)这样就得到了函数y3sin在一个周期内的图像,再将这部分图像向左、向右 ( 1 2x 4) 平移 4k(kZ Z)个单位长度,得函数y3 sin的图像 ( 1 2x 4) 此函数振幅为 3,周期为 4,频率为,初相为. 1 4 4 规律方法 五点法作图关键是列表,一般有下面两种列表方法: (1)分别令x0, ,2,再求出对应的x,这体
5、现了整体换元的思想 2 3 2 (2)取x00,得x0,再把x0作为五点中第一个点的横坐标,依次递加一个周 期的 ,就可得到其余四个点的横坐标 1 4 【训练 1】 用五点法作函数y2sin的简图,并指出这个函数的振幅、周期、频 (2x 3) 率和初相 解 (1)列表:列表时 2x取值为 0、 、2,再求出相应的x值和y值. 3 2 3 2 x 6 12 3 7 12 5 6 2x 3 0 2 3 2 2 y02020 (2)描点 (3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如右图所示 利用这类函数的周期性, 我们可以把上面所得到的简图向左、 右扩展, 得到y2sin, (2x 3) xR R 的简
6、图(图略) 此函数的振幅为 2,周期为 ,频率为,初相为. 1 3 题型二 由图像求函数的解析式 【例 2】 函数yAsin(x)的图像的一部分如图所示, (A 0, 0,| 0,0,|)的图像,根据图中条件, 写出该函数解析式 解 由图像知A5. 由 , T 2 5 2 3 2 得T3, .y5sin(x) 2 T 2 3 2 3 下面用两种方法求: 方法一 (单调性法) 点(,0)在递减的那段曲线上, 2k, 2k(kZ Z) 2 3 2 3 2 由 sin()0,得2k(kZ Z), 2 3 2 3 2k(kZ Z) 3 |,. 3 方法二 (最值点法) 将最高点坐标(,5)代入y5si
7、n(x), 4 2 3 得 5sin()5, 6 2k(kZ Z), 6 2 2k(kZ Z) 3 |,. 3 函数式为y5sin(x) 2 3 3 【例 3】 如何由ysin x的图像得到y2cos的图像? ( 1 2x 4) 解 y2cos2cos ( 1 2x 4)( 1 2x 4) 2cos(1 2x 4 2) 2sin, ( 1 2x 4) 【迁移 1】 从例 3 中得到的函数图像再得出y2cos的图像应如何变换? ( 1 2x 4) 解 因为y2cos(1 2x 4) 2cos(1 2x 4 2) 2cos, 1 2x 4 所以只需把y2cos的图像向左平移 个单位 ( 1 2x
8、4) 【迁移 2】 从例 3 中得到的函数图像再得出y2cos的图像应如何变换? ( 1 2x 4) 解 因为y2cos2cos,所以只需把y2cos的图像向左平 ( 1 2x 4)( 1 2x 4)( 1 2x 4) 移 个单位 【迁移 3】 从例 3 中得到的函数图像再得出y2cos的图像应如何变换? ( 1 2x 4) 解 把y2cos的图像作关于x轴的对称图像即可 ( 1 2x 4) 规律方法 通常,由ysin x的图像经过变换得到yAsin(x)b(A0,0)的 图像的步骤如下: (1)(相位变换)先把ysin x的图像上所有的点向左(当0时)或向右(当0时)平行 移动|个单位长度,
9、得函数ysin(x)的图像 (2)(周期变换)把函数ysin(x)的图像上所有点的横坐标缩短(当1时)或伸长(当0 1 时)到原来的倍(纵坐标不变),得函数ysin(x)的图像 1 (3)(振幅变换)把函数ysin(x)的图像上所有点的纵坐标伸长(当A1 时)或缩短 (当 0A1 时)到原来的A倍(横坐标不变),得函数yAsin(x)的图像 (4)把得到的yAsin(x)的图像向上(当b0 时)或向下(当b0 时)平移|b|个单位 长度,得函数yAsin(x)b的图像 也可以先周期变换再相位变换. 课堂达标 1已知简谐运动f(x)2sin(|)的图像经过点(0,1),则该简谐运动的最小 ( 3
10、 x) 2 正周期T和初相分别为( ) AT6,BT6, 6 3 CT6,DT6, 6 3 解析 T6,代入(0,1)点得 sin . 2 2 3 1 2 ,. 2 2 6 答案 A 2已知曲线C1:ycos x,C2:ysin,则下面结论正确的是( ) (2x 2 3) A把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单 6 位长度,得到曲线C2 B把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单 12 位长度,得到曲线C2 C把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单 1 2 6 位长度,得到
11、曲线C2 D把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单 1 2 12 位长度,得到曲线C2 解析 C1:ycos x,C2:ysin, (2x 2 3) 首先曲线C1,C2统一三角函数名,可将C1:ycos x用诱导公式处理 ycos xsin,即ysin (x 2)(x 2) ysinsin2 (2x 2)(x 4) ysin 2sin. (x 3)(2x 2 3) 答案 D 3把函数ysin的图像向_平移_个单位得到ysin 2x的图像 (2x 6) 解析 ysinsin 2,所以将其向右移个单位得到ysin 2x的图像 (2x 6)(x 12) 12 答
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