2018_2019学年高中数学第一章三角函数8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)学案北师大版必修4.pdf
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1、8 函数yAsin(x)的图像与性质(二)8 函数yAsin(x)的图像与性质(二) 内容要求 1.掌握函数yAsin(x)的周期、单调性及最值的求法(重、难点). 2.理解函数yAsin(x)的对称性(难点) 知识点 函数yAsin(x)(A0,0)的性质 定义域R R 值域A,A 周期T2 奇偶性 k,kZ Z 时,yAsin(x)是奇函数 ;k,kZ Z 时,y 2 Asin(x)是偶函数 对称轴方程由xk(kZ Z)求得 2 对称中心由xk(kZ Z)求得 单调性 递增区间由 2kx2k(kZ Z)求得; 2 2 递减区间由 2kx2k (kZ Z)求得 2 3 2 【预习评价】 (1
2、)函数y2sin(2x)1 的最大值是( ) 6 A1B2 C3D4 解析 当 2x2k时,即xk(kZ Z)时最大值为 3. 6 2 6 答案 C (2)函数f(x)sin的最小正周期为( ) (2x 3) A4 B2 C D. 2 解析 由题意T,故选 C. 2 2 答案 C 题型一 函数yAsin(x)的最值问题 【例 1】 求函数ysin,x的值域2 (2x 4)0, 2 解 0x,02x. 2 2x. 4 4 5 4 sin1. 2 2(2x 4) 1sin,即1y.2 (2x 4) 22 函数ysin,x的值域为1,2 (2x 4)0, 2 2 规律方法 求函数yAsin(x),x
3、m,n的值域的步骤: (1)换元,ux,并求u的取值范围; (2)作出ysin u(注意u的取值范围)的图像; (3)结合图像求出值域 【训练 1】 求函数y2sin的最大值和最小值 (2x 3)( 6 x 6) 解 x, 6 6 02x,0sin1. 3 2 3(2x 3) 当 sin1 时,ymax2; (2x 3) 当 sin0 时,ymin0. (2x 3) 方向 1 求函数yAsin(x)的周期 【例 21】 求下列函数的周期: (1)ysin(xR R); (2x 3) (2)ysin(xR R) ( 2 x 6) 解 (1)T. 2 2 (2)T4. 2 2 方向 2 函数yAs
4、in(x)的奇偶性与对称性 【例 22】 (1)函数ysin的图像的对称轴方程为_,对称中心为 (2x 3) _ (2)若函数f(x)2sin是偶函数,则的值可以是( ) (2x 3 ) A. B. 5 6 2 C.D 3 2 解析 (1)令y1, 即 sin1, 则 2xk(kZ Z), x(k (2x 3) 3 2 k 2 12 Z Z), 即对称轴方程为x(kZ Z) 令y0, 即 sin0, 则 2xk(kZ Z), k 2 12(2x 3) 3 x(kZ Z),函数ysin的图像的对称中心为(kZ Z) k 2 6(2x 3)( k 2 6 ,0) (2)由f(x)2sin为偶函数得
5、k(kZ Z),即k. (2x 3 ) 3 2 5 6 当k0 时.故选 A. 5 6 答案 (1)x(kZ Z) (kZ Z) k 2 12( k 2 6 ,0) (2)A 方向 3 函数yAsin(x) 单调性 【例 23】 求函数y2sin的递增区间 ( 4 x) 解 y2sin2sin, ( 4 x) (x 4) 函数y2sin的递增区间就是函数 ( 4 x) u2sin的递减区间 (x 4) 2kx2k(kZ Z), 2 4 3 2 得 2kx2k(kZ Z), 3 4 7 4 函数y2sin的递增区间为: ( 4 x) (kZ Z) 2k 3 4 ,2k7 4 规律方法 1.关于函
6、数yAsin(x)的对称性与奇偶性 (1)将x看作整体,代入到ysin x的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数y Asin(x)的对称中心、对称轴或求值 (2)若函数yAsin(x)为奇函数,则k,kZ Z,若函数yAsin(x) 为偶函数, 则k,kZ Z, 函数yAsin(x)的奇偶性实质是函数的对称中心、 2 对称轴的特殊情况 2求解函数yAsin(x)单调区间的四个步骤 (1)将化为正值 (2)根据A的符号确定应代入ysin 的单调增区间,还是单调减区间 (3)将x看作一个整体,代入到上述的单调区间中解出x的范围即为函数在 R R 上的单 调区间 (4)如果要求函数在给定区间上的单调
7、区间,则给k赋值求单调区间 题型三 函数yAsin(x)性质的综合应用 【例 3】 已知函数f(x)sin(x)(0,0)是 R R 上的偶函数,其图像关于 点M对称,且在区间上是单调函数,求和的值 ( 3 4 ,0) 0, 2 解 由f(x)是偶函数,得f(x)f(x),即函数f(x)的图像关于y轴对称, f(x)在x0 时取得最值即 sin 1. 依题设 0,解得. 2 由f(x)的图像关于点M对称,可知 sin0,解得 ,kZ Z. ( 3 4 2) 4k 3 2 3 又f(x)在0,上是单调函数, 2 T,即,2.又0, 2 当k1 时, ; 2 3 当k2 时,2. ,2 或 . 2
8、 2 3 规律方法 函数yAsin(x)综合应用的注意点 (1)对于平移问题,应特别注意要提取x的系数,即将x变为后再观察x (x ) 的变化 (2)对于对称性、 单调性问题应特别注意将x看作整体, 代入一般表达式解出x的值 (3)对于值域问题同样是将x看作整体,不同的是根据x的范围求x的范围, 再依据图像求值域 (4)对于奇偶性问题,由来确定,k(kZ Z)时是奇函数,k(kZ Z)时是偶 2 函数 【训练 2】 设函数f(x)sin(2x)(0)图像的一条对称轴是直线x. 8 (1)求的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间 解 (1)x是函数f(x)sin(2x)的一条对称轴, 8 2k
9、,kZ Z. 8 2 0,由此可得. 3 4 (2)由题意,得 2k2x2k,kZ Z, 2 3 4 2 解得kxk,kZ Z, 8 5 8 函数f(x)sin的单调递增区间为 (2x 3 4) ,kZ Z. k 8 ,k5 8 课堂达标 1函数y2sin1 的图像的一个对称中心坐标是( ) (3x 4) A. B. ( 12,0)( 4 ,0) C. D. ( 4 ,1) ( 12,1) 解析 3xk(kZ Z),x(kZ Z), 4 12 k 3 令k0,则x,把x代入y2sin1, 12 12(3x 4) 得y1,对称中心为. ( 12,1) 答案 D 2函数y3sin的单调递减区间是(
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