2018_2019学年高中数学第三章三角恒等变形2.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦余弦函数学案北师大版必修4.pdf
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1、21 两角差的余弦函数21 两角差的余弦函数 22 两角和与差的正弦、余弦函数22 两角和与差的正弦、余弦函数 内容要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式(重点).2.能利用两角差的余弦公 式导出两角差的正弦公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦公式,了解 它们的内在联系(重点).4.能运用上述公式进行简单恒等变换(难点) 知识点 1 两角和与差的余弦公式 C:cos()cos_cos_sin_sin_.(3.3) C:cos()cos_cos_sin_sin_.(3.4) 【预习评价】 1cos 20cos 10sin 20sin 10( ) A B. 3 2 3
2、2 C D. 1 2 1 2 答案 B 2cos 75_. 答案 6 2 4 知识点 2 两角和与差的正弦公式 S:sin()sin_cos_cos_sin_.(3.5) S:sin()sin_cos_cos_sin_.(3.6) 【预习评价】 1计算 sin 43cos 13cos 43sin 13的结果等于( ) A. B. 1 2 3 3 C. D. 2 2 3 2 答案 A 2已知 sin ,0,则 cos _,sin_. 3 5 2( 4) 答案 4 5 7 2 10 题型一 给角求值 【例 1】 求值:(1)sin 15cos 15; (2)sin 119sin 181sin 91
3、sin 29. 解 (1)方法一 sin 15cos 15 sin(4530)cos(4530) sin 45cos 30cos 45sin 30cos 45cos 30sin 45sin 30 . 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 6 2 方法二 sin 15cos 15 2 ( 2 2 sin 15 2 2 cos 15) sin(1545)2 sin 60.2 6 2 (2)原式sin(2990)sin(1180)sin(190)sin 29 cos 29(sin 1)cos 1sin 29 (sin 29cos 1cos 29sin 1) sin(291)
4、sin 30 . 1 2 规律方法 解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化, 充分利用拆角、 凑角的技巧转化为 和、 差角的正弦、 余弦公式的形式, 同时注意活用、 逆用公式, “大角” 利用诱导公式化为 “小 角” 【训练 1】 求下列式子的值: (1)cos(15); (2)sin 795; (3)cos 43cos 77sin 43cos 167. 解 (1)cos(15)cos(3045) cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30 . 2 2 3 2 2 2 1 2 6 2 4 (2)sin 795sin(236075)sin 75sin(4530) sin
5、45cos 30cos 45sin 30 2 2 3 2 2 2 1 2 . 6 2 4 (3)cos 167cos(9077)sin 77 原式cos 43cos 77sin 43sin 77 cos(4377)cos 120 . 1 2 题型二 给值求值 【例2】已知 0,cos ,sin,求 4 4 3 4( 4 ) 3 5( 3 4 ) 5 13 sin()的值 解 ,0. 4 3 4 2 4 sin . ( 4 )1(3 5) 2 4 5 又0, 4 3 4 3 4 cos, ( 3 4 )1( 5 13) 2 12 13 sin()cos( 2 ) cos(3 4 )( 4 ) c
6、oscossinsin ( 3 4 ) ( 4 ) ( 3 4 ) ( 4 ) . ( 12 13) 3 5 5 13( 4 5) 56 65 规律方法 在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、 拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角具体做法是: (1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差 (2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角 【训练 2】 已知, cos(), sin() , 求 sin 2的值 2 3 4 12 13 3 5 解 , 2 3 4 0,. 4 3 2 sin(),1cos2 5 13 c
7、os() .1sin2 4 5 sin 2sin()() sin()cos()cos()sin() . 5 13( 4 5) 12 13( 3 5) 56 65 【探究 1】 已知A,B均为钝角,且 sin A,sin B,求AB的值 5 5 10 10 解 A,B均为钝角,且 sin A,sin B, 5 5 10 10 cos A,1sin2 A 2 5 5 cos B,1sin2 B 3 10 10 cos(AB)cos Acos Bsin Asin B (). 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 又A,B,AB2, 2 2 AB. 7 4 【探究 2】 已知 cos
8、 ,cos(),且、,求的值 1 7 11 14(0, 2) 解 、且 cos ,cos(), (0, 2) 1 7 11 14 sin ,1cos2 4 3 7 sin().1cos2 5 3 14 又(), cos cos()cos()cos sin()sin . ( 11 14) 1 7 5 3 14 4 3 7 1 2 又,. (0, 2) 3 【探究 3】 已知 cos(),cos(),且, 12 13 12 13( 2 ,) ,求的值 ( 3 2 ,2) 解 由,且 cos(), ( 2 ,) 12 13 得 sin(), 5 13 由,且 cos(), ( 3 2 ,2) 12
9、13 得 sin(). 5 13 cos 2cos()() cos()cos()sin()sin() 1. 12 13( 12 13) ( 5 13) 5 13 又,2. ( 3 2 ,2) ( 2 ,) ( 2 ,3 2) 2,则. 2 规律方法 1.解答此类题目的步骤为:第一步,求角的某一个三角函数值;第二步,确定角 所在的范围;第三步,根据角的取值范围写出所求的角至于选取角的哪一个三角函数值, 应根据所求角的取值范围确定,最好是角的取值范围在该函数的单调区间内 2选择求角的三角函数值的方法:若角的取值范围是,则选正弦函数、余弦函数均 (0, 2) 可;若角的取值范围是,则选正弦函数;若角
10、的取值范围是(0,),则选余弦 ( 2 , 2) 函数. 课堂达标 1sin 75等于( ) A. B. 6 2 4 6 2 4 C. D. 6 2 2 6 2 2 解析 sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45 1 2 2 2 3 2 . 2 2 2 6 4 答案 B 2sin 69cos 99cos 69sin 99的值为( ) A.B 1 2 1 2 C.D 3 2 3 2 解析 原式sin(6999)sin(30) . 1 2 答案 B 3计算: sin 60cos 60_. 1 2 3 2 解析 原式sin 30sin 60cos 30cos 6
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