2018_2019学年高中数学第三章三角恒等变形章末复习课学案北师大版必修4.pdf
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1、第三章 三角恒等变形第三章 三角恒等变形 章末复习课章末复习课 网络构建 核心归纳 1两角和与差的三角函数公式的理解 (1)正弦公式概括为“正余,余正符号同” “符号同” 指的是前面是两角和, 则后面中间为 “” 号 ; 前面是两角差, 则后面中间为 “” 号 (2)余弦公式概括为“余余,正正符号异” (3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令所得特别地,对于余弦:cos 2 cos2sin22cos2112sin2,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用 即为“降幂公式” ,在考题中常有体现 2重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式” ;变角为:对角的分拆要 尽可能化成已知角
2、、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要 尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、 函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形 要点一 三角函数求值问题 三角函数求值主要有三种类型,即: (1)“给角求值” ,一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发现这类问 题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式 (2)“给值求值” ,即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数的值,这类求值问 题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角当然在这个过程中
3、要注意角的范围 (3)“给值求角” ,本质上还是“给值求值” ,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之 前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围 【例 1】 已知 tan ,且,的值 ( 4) 1 2 2 sin 22cos2 sin( 4) 解 sin 22cos2 sin( 4) 2cos sin cos 2 2 sin cos 2cos .2 tan , ( 4) 1tan 1tan 1 2 tan 3, ,cos , ( 2 ,) 10 10 2cos sin 22cos2 sin( 4) 2 2.2 ( 10 10) 2 5 5 【训练 1】 已知 0,0,且 3sin
4、 sin(2),4 tan1tan2 4 4 2 ,求的值 2 解 3sin sin(2), 即 3sin()sin(), 整理得 2sin()cos 4cos()sin . 即 tan()2tan . 又4tan1tan2, 2 2 tan , 2tan 2 1tan2 2 1 2 tan()2tan 2 1. 1 2 ,. (0, 2) 4 要点二 三角函数的化简与证明 由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构, 所以在三角 函数的化简与证明中,应充分利用所学的三角函数的和、差、倍、半角等公式,首先从角入 手,找出待化简(证明)的式子的特点,然后选择适当的公式“
5、化异为同” ,实现三角函数的 化简与证明 化简三角函数式的要求: 1能求出值的应求出值; 2使三角函数的种数尽量少; 3使项数尽量少; 4尽量使分母不含三角函数; 5尽量使被开方数不含三角函数; 6次数尽量低 【例 2】 求证:tanxtan . 3 2 x 2 2sin x cos xcos 2x 证明 左边tanxtan 3 2 x 2 sin3 2x cos3 2x sinx 2 cosx 2 sin3 2xcos x 2sin x 2cos 3 2x cosx 2cos 3 2x sin x 1 2cos 2xcos x 2sin x cos xcos 2x 右边 tanxtan .
6、3 2 x 2 2sin x cos xcos 2x 【训练 2】 求证:32sin 10. 3 sin240 1 cos240 证明 左边 32 sin 402 1 cos 402 3cos 40 2sin 402 sin240cos240 3cos 40sin 40 3cos 40sin 40 sin240cos240 4 22 3 2 cos 401 2sin 40 3 2 cos 401 2sin 40 2sin 40cos 402 16sin 100sin 20 sin280 16sin 80sin 20 sin280 16sin 20 sin 80 32sin 10右边 32sin
7、 10cos 10 cos 10 原式成立 要点三 整体换元的思想在三角恒等变形中的应用 在三角恒等变形中, 有时可以把一个代数式整体视为一个 “元” 来参与计算和推理, 这个 “元” 可以明确地设出来 【例 3】 求函数f(x)sin xcos xsin xcos x,xR R 的最值及取到最值时x的值 解 设 sin xcos xt, 则tsin xcos x 2 ( 2 2 sin x 2 2 cos x) sin,2 (x 4) t,22 sin xcos x. sin xcos x21 2 t21 2 f(x)sin xcos xsin xcos x g(t)t (t1)21,t,
8、t21 2 1 2 22 当t1,即 sin xcos x1 时,f(x)min1. 此时,由 sin, (x 4) 2 2 解得x2k 或x2k,kZ Z. 2 当t,即 sin xcos x时,f(x)max .222 1 2 此时,由sin,sin1.2 (x 4) 2 (x 4) 解得x2k,kZ Z. 4 综上, 当x2k或x2k,kZ Z时,f(x)取得最小值,f(x)min1; 当x2k 2 ,kZ Z 时,f(x)取得最大值,f(x)max . 4 2 1 2 【训练 3】 求函数ysin xsin 2xcos x(xR R)的值域 解 令 sin xcos xt, 则由tsi
9、n知t,2 (x 4) 22 又 sin 2x1(sin xcos x)21t2. y(sin xcos x)sin 2x t1t2 2 . (t 1 2) 5 4 当t 时,ymax ; 1 2 5 4 当t时,ymin1.22 函数的值域为. 21, 5 4 要点四 构建方程(组)的思想在三角恒等变形中的应用 方程(组)思想是中学重要的思想方法之一 借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)来 求解,也是三角求值中常用的方法之一 【例 4】 已知锐角三角形ABC中,sin(AB) ,sin(AB) . 3 5 1 5 (1)求证:tan A2tan B; (2)设AB3,求AB边上的高 (
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