2018_2019学年高中数学第二章平面向量2.2向量的减法学案北师大版必修42.pdf
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1、2.2 向量的减法2.2 向量的减法 内容要求 1.知道向量减法的定义,理解相反向量的意义(重点).2.掌握向量减法的运算及 几何意义,能作出两个向量的差向量(难点) 知识点 1 相反向量 与a a长度相等、方向相反的向量,叫作a a的相反向量,记作a a. (1)规定:零向量的相反向量仍是零向量; (2)(a a)a a; (3)a a(a a)(a a)a a0; (4)若a a与b b互为相反向量,则a ab b,b ba a,a ab b0. 【预习评价】 (正确的打“” ,错误的打“”) (1).()AB BA (2)a aa a0.() (3)零向量的相反向量仍是零向量() 知识点
2、 2 向量的减法 (1)定义,向量a a加上b b的相反向量,叫作a a与b b的差,即a ab ba a(b b)求两个向量差 的运算,叫作向量的减法 (2)几何意义:在平面内任取一点O,作a a,b b,则向量a ab b,如图所示OA OB BA (3)文字叙述:如果把两个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起 点,被减向量的终点为终点的向量 【预习评价】 1在ABC中,a a,b b,则( )CB CA AB Aa ab bBb ba a Ca ab bDa ab b 答案 A 2.可以写成;.AC AO OC AO OC OA OC OC OA 其中正确的是( )
3、AB CD 答案 D 题型一 向量减法法则的应用 【例 1】 如图所示,已知向量a a、b b、c c、d d,求作向量a ab b,c cd d. 解 如图所示,在平面内任取一点O,作a a,b b,c c,d d.OA OB OC OD 则a ab b,c cd d.BA DC 规律方法 利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量a a,b b,如图所示,作a a,b b,利用向量减法的三角形法则可得a ab b,OA OB 利用此方法作图时, 把两个向量的起点放在一起, 则这两个向量的差是以减向量的终点为起 点,被减向量的终点为终点的向量 (2)利用相反向量作图,通过向量求和的平行四
4、边形法则作出a ab b.如图所示,作a a,OA b b,b b,则a a(b b),即a ab b.OB AC OC BA 【训练 1】 如图,已知向量a a,b b,c c不共线,求作向量a ab bc c. 解 如图所示, 在平面内任取一点O, 作a a,b b, 则a ab b, 再作c c, 则a ab bOA AB OB OC CB c c. 题型二 向量减法的运算 【例 2】 化简下列式子: (1);NQ PQ NM MP (2)()()AB CD AC BD 解 (1)原式0.NP MN MP NP PN NP NP (2)原式AB CD AC BD ()()0.AB AC
5、DC DB CB BC 规律方法 化简向量的和差的方法 (1)如果式子中含有括号,括号里面能运算的直接运算,不能运算的去掉括号 (2)可以利用相反向量把差统一成和,再利用三角形法则进行化简 (3)化简向量的差时注意共起点,由减数向量的终点指向被减数向量的终点 特别提醒 利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧 【训练 2】 化简: (1)()();BA BC ED EC (2)()()AC BO OA DC DO OB 解 (1)()()BA BC ED EC .CA CD DA (2)()()AC BO OA DC DO OB ()AC BA DC DO OB AC BA DC D
6、B BC DC DB BC CD DB 0.BC CB 方向 1 用已知向量表示未知向量 【例 31】 已知O为平行四边形ABCD内一点,a a,b b,c c, 试用a a,b b,c c表示OA OB OC .OD 解 方法一 如图所示: OD OA AD a aBC a a()OC OB a ac cb b. 方法二 OD OA AB BC CD ()OA BC AB CD 0OA BC ()OA BO OC a a(b bc c) a ab bc c. 方向 2 求向量的模 【例 32】 已知非零向量a a、b b满足|a a|1,|b b|1,且|a ab b|4,求|a ab b|
7、77 的值 解 设a a,b b, 则|a ab b|.以OA、OB为邻边作平行四边形OACB, 则|a ab b|.OA OB BA OC (1)2(1)242,77 |2|2|2,OAOB.OA OB BA 平行四边形OACB是矩形 矩形的对角线相等, |4,即|a ab b|4.OC BA 方向 3 判断形状 【例 33】 设平面内四边形ABCD及任一点O,a a,b b,c c,d d, 若a ac cb bOA OB OC OD d d且|a|ab|b|a|ad|d|.试判断四边形ABCD的形状 解 由a ac cb bd d得a ab bd dc c, 即,OA OB OD OC
8、,于是AB綊CD,BA CD 四边形ABCD为平行四边形 又|a|ab|b|a|ad|d|,从而|,OA OB OA OD |,四边形ABCD为菱形BA DA 规律方法 1.关于向量的加法和减法, 一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决, 另一 种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决 2用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是:第一步,观察向量位置;第二步,寻找(或 作)有关的平行四边形或三角形;第三步,利用三角形或平行四边形法则找关系;第四步, 化简结果. 课堂达标 1化简的结果等于( )OP QP PS SP A. B. QP OQ C. D.SP SQ 答案 B 2如图所示
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